表面效應(yīng)對(duì)平面壓縮波(P波)散射的影響

汝艷， 曹小杉

(西安理工大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，陜西 西安 710048)

表面效應(yīng)對(duì)平面壓縮波(P波)散射的影響

汝艷， 曹小杉

(西安理工大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院，陜西 西安 710048)

研究了陣列納米孔洞周圍的彈性波散射和動(dòng)應(yīng)力集中問題。當(dāng)孔洞的尺寸縮小到納米尺度時(shí),比表面積顯著增加,表面效應(yīng)對(duì)材料力學(xué)特性的影響變得非常重要?；诒砻鎻椥岳碚摵徒?jīng)典彈性理論，用位移勢(shì)函數(shù)法、波函數(shù)展開法和彈性波的多重散射理論，求得了無限大空間中一組以正四邊形方式排列的納米圓柱孔洞附近由平面彈性壓縮波(P波)誘發(fā)的應(yīng)力場。分析了表面效應(yīng)對(duì)孔洞周圍動(dòng)應(yīng)力集中的影響。結(jié)果表明，納米圓柱孔洞周圍的動(dòng)應(yīng)力集中不僅和表面效應(yīng)有關(guān)，還和孔洞之間的距離有關(guān)。

表面效應(yīng)； 彈性波散射； 多重散射； 動(dòng)應(yīng)力集中因子

Mow和 Pao[1]詳細(xì)的研究了在無限大彈性介質(zhì)中不同形狀的單個(gè)夾雜和孔洞周圍的彈性波散射問題。近年來，隨著復(fù)合材料的發(fā)展，越來越多的人對(duì)彈性波的多重散射問題更感興趣。通過不同局部坐標(biāo)系統(tǒng)之間的相互轉(zhuǎn)換，人們研究了波在雙夾雜附近的多重散射問題[2-3]，波在一列圓柱孔周圍的反射和傳播問題[4]，聲波和電磁波在有隨機(jī)排列的圓柱孔附近的多重散射問題[5]，Wang 和 Sudak[6]研究了波在一組有界面缺陷的圓柱孔周圍的多重散射問題。

納米材料的物理、光學(xué)和力學(xué)等特性都不同于宏觀材料[7]，隨著比表面積的增大，表面能對(duì)納米材料的力學(xué)行為的影響很大[8-9]。Gurtin 和 Murdoch[10]、Gurtin等[11]以連續(xù)介質(zhì)力學(xué)為基礎(chǔ)建立了表面彈性理論的模型，此理論和原子仿真結(jié)果吻合的很好[12]。因此，以表面彈性理論為基礎(chǔ)，分析并研究了很多納米尺度的力學(xué)問題[13-16]。Wang等[13]得到了平面壓縮波引起的單納米圓柱孔洞周圍的彈性解，Ru等[14]研究了無限大平面上P波和SV波在納米圓柱夾雜附近的散射問題；Wang[15]和Zhang等[16]研究了一對(duì)和一列納米夾雜周圍平面壓縮波的散射問題。這些研究都表明了表面效應(yīng)對(duì)波的散射現(xiàn)象有很大影響，

本文研究了由平面彈性壓縮波(P波)所誘發(fā)的以正四邊形方式排列的一組納米圓柱孔洞周圍波的多重散射問題。

1 基本方程

本文將表面看成無厚度的不同于基體材料的二維膜，并且無滑移的與基體粘接，由于表面應(yīng)力的存在，經(jīng)典彈性理論已不再適用。

(1)

不考慮表面殘余應(yīng)力，表面應(yīng)力和表面應(yīng)變之間的關(guān)系為[11]:

(2)

其中μsur和λsur均為表面常數(shù)。

假設(shè)表面和基體材料理想粘接并且沒有滑移，那么表面處的平衡方程為[16]:

(3)

(4)

在基體處，平衡方程與本構(gòu)方程和經(jīng)典彈性理論中的一致：

(5)

(6)

其中，ρ是基體材料的密度，t是時(shí)間，μ和ν分別為剪切模量和泊松比。σij和εij分別為基體處的應(yīng)力和應(yīng)變。應(yīng)變張量和位移分量的關(guān)系如下所示:

(7)

2 由P波誘發(fā)的納米孔洞周圍彈性波的多重散射

如圖1所示，在無限大彈性介質(zhì)中(彈性常數(shù)和密度分別為λ，μ和ρ)，有N+1(N→∞)個(gè)半徑為a的納米圓柱孔洞以正四邊形方式排列，這種排列方式的特點(diǎn)是孔洞的半徑為a，排列在正方形頂點(diǎn)的孔洞和排列在這個(gè)正方形中心的孔洞間的距離為2b(圖2)。以中間孔洞的中心為圓心建立全局坐標(biāo)系(r0,θ0)，以第j個(gè)孔洞的中心為圓心建立局部坐標(biāo)系(rj,θj)(j=1,2,…,N)。圓柱孔洞的軸線與坐標(biāo)z軸平行。

假設(shè)一組簡諧平面彈性P波沿著圖1所示方向傳播(沿x軸正向)。在局部坐標(biāo)系(r0,θ0)下，入射P波可用Bessel函數(shù)表示成如下形式：

(8)

當(dāng)入射波傳播并碰撞到孔洞的表面時(shí)，將會(huì)有P波和SV波被反射出來，第j′個(gè)(此時(shí)，j′=0,1,2,...,N)孔洞表面反射出來的波可以用位移勢(shì)函數(shù)表示為：

(9)

(10)

根據(jù)Graf Addition Theorem[2-3]，兩個(gè)局部坐標(biāo)系(rl,θl)和(rk,θk)之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

(11)

這樣就得到了在全局坐標(biāo)系下，任意孔洞周圍的全波表達(dá)式。

在基體處，經(jīng)典彈性理論仍然適用。因此在圓柱坐標(biāo)系下，各位移分量可以用兩個(gè)勢(shì)函數(shù)φ和ψ表示如下：

(12)

圓柱坐標(biāo)系下，幾何方程可以寫為：

(13)

因此，本構(gòu)方程可以寫為：

(14)

在孔洞的表面，應(yīng)變?chǔ)纽圈群蛻?yīng)力的關(guān)系為：

(15)

(16)

通過(3)式和(4)式，我們得到了孔洞表面處的邊界條件：

(17)

將式(15)代入式(16)再代入式(17)，邊界條件可寫成：

(18)

因?yàn)槊總€(gè)孔洞周圍的彈性波散射現(xiàn)象都相同，為了方便研究，本文只討論最中間孔洞周圍的彈性波的散射。運(yùn)用Graf addition theorem理論(式(11))，由式(10)，(12)～(14)，我們得到了在全局坐標(biāo)系下中間孔洞周圍的應(yīng)力表達(dá)式。根據(jù)孔洞處的邊界條件(式(18))，就能求出兩組未知系數(shù)Anj′和Bnj′。這樣，就得到了由P波誘發(fā)的一組以正四邊形方式排列的納米圓柱孔洞周圍的應(yīng)力場。

3 結(jié)果和討論

為了檢驗(yàn)表面效應(yīng)對(duì)彈性波散射的影響,本文將討論表面效應(yīng)對(duì)P波誘發(fā)的納米圓柱孔洞周圍動(dòng)應(yīng)力集中的影響。

定義動(dòng)應(yīng)力集中因子(DSCFp)為：

(19)

考慮了表面效應(yīng)的影響后，DSCFp不但和入射波的波數(shù)α有關(guān)，而且和泊松比ν、孔洞間的距離2b以及表面彈性參數(shù)s有關(guān)。當(dāng)入射波以很低的頻率入射α→0，并且保持σp為一個(gè)不變的常數(shù)，當(dāng)s=0.0時(shí)，該問題就退化成遠(yuǎn)場雙向加載的靜態(tài)問題[1]：σx=σ0，σy=σ0ν/(1-ν)。由圖3可知，當(dāng)入射波以低頻αa=10-3入射，并且s=0.0時(shí)，該問題的理論解與相應(yīng)靜態(tài)問題的數(shù)值解吻合的比較好。

1) 入射波以低頻入射(αa=0.001)

在這種情況下，入射波的波長遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于孔洞的半徑(λ=2000πa)。當(dāng)孔洞之間的距離保持不變b=1.2a，圖4表示了對(duì)于不同的s，孔周動(dòng)應(yīng)力集中因子的分布。DSCFp的最大值出現(xiàn)在θ=0.3π和θ=0.7π，隨著s值的增大，動(dòng)應(yīng)力集中因子幾乎在整個(gè)區(qū)域內(nèi)都是逐漸減小的。

當(dāng)s=0.0時(shí)，對(duì)于不同的孔間距離，孔洞周圍的動(dòng)應(yīng)力集中因子的分布如圖5所示?？组g距離越大，孔洞間的相互影響越小。當(dāng)孔間距離大于10a時(shí)，孔洞之間的相互影響就可以忽略，并且DSCFp的分布和無限大平面中一個(gè)納米圓柱孔洞周圍的DSCFp分布基本相同。還可以看出，隨著孔洞之間距離的增大，動(dòng)應(yīng)力集中因子在區(qū)間0.25π<θ<0.4π和0.55π<θ<0.7π逐漸減小。

此時(shí)入射波的波長與孔洞半徑相差不多(λ=4a)。圖6顯示了當(dāng)孔洞間保持一定的距離，對(duì)不同的s值，孔洞周圍的動(dòng)應(yīng)力集中因子的分布。從圖中可以清楚的看出入射波和反射波之間的干涉現(xiàn)象，并且不考慮表面效應(yīng)時(shí)干涉現(xiàn)象較明顯(s=0.0)，隨著s值的增大干涉現(xiàn)象越來越不明顯(當(dāng)s=2.0時(shí)，基本可以忽略)。

圖7顯示了對(duì)于不同的孔間距離和一個(gè)給定的表面彈性常數(shù)(s=0.0)，動(dòng)應(yīng)力集中因子沿著孔周的變化情況。干涉現(xiàn)象依然很明顯。當(dāng)孔間距離比較近時(shí)，孔間的相互影響很大；當(dāng)孔和孔之間的距離一定大的時(shí)候(b>20a)，孔間的相互影響就可以忽略，并且DSCFp的分布和無限大平面中一個(gè)納米圓柱孔洞周圍的DSCFp的分布基本相同。

4 結(jié) 論

本文討論了表面效應(yīng)對(duì)P波誘發(fā)的陣列納米圓柱孔洞周圍彈性波多重彈射的影響。運(yùn)用位移勢(shì)函數(shù)法和波函數(shù)展開法，我們得到了孔洞周圍的應(yīng)力分布。當(dāng)孔洞的尺寸縮小到納米尺度，表面效應(yīng)對(duì)孔周應(yīng)力分布的影響將不能忽略。結(jié)果表明，表面效應(yīng)不但減弱了孔周的動(dòng)應(yīng)力集中現(xiàn)象，而且還減弱了入射波和反射波之間的干涉現(xiàn)象。

動(dòng)應(yīng)力集中因子不僅受表面效應(yīng)的影響，孔洞之間的距離對(duì)其影響也很大。不論入射波以低頻還是以高頻入射，當(dāng)孔間距比較小的時(shí)候，孔洞間相互影響比較大。隨著孔洞之間距離的增大(增大到某一值時(shí))，孔洞間的相互影響就可以被忽略。

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(責(zé)任編輯 楊小麗)

Surface effects on the scattering of plane elastic P-wave

RU Yan, CAO Xiaoshan

(Faculty of Civil Engineering and Architecture, Xi’an University of Technology, Xi’an 710048,China)

In this paper, the multiple scattering of P-wave by nanosized cylindrical holes arranged as quadrangular shape is studied. When the radius of the holes shrinks to nanometers, surface effects play an important role in their mechanical performance. Based on the surface elasticity theory and classical elasticity theory, the displacement potential method, wave functions expansion method and multiple scattering methods are uses to obtain the scattering fields around the nanosized cylindrical holes induced by P-wave. The surface effects upon the dynamic stress concentration of hole surrounding is analyzed. The results indicate that the dynamic stress concentration around nanosized cylindrical holes is closely related not only to the surface effects but to the distance among the holes as well.

Surface effect; scattering of elastic waves; multiple scattering; dynamic stress concentration factor

1006-4710(2015)02-0176-04

2015-01-12

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11302166)。

汝艷，女，博士，講師，研究方向?yàn)榧{米材料及納米構(gòu)件的動(dòng)力學(xué)行為。E-mail：ruyan@xaut.edu.cn。

O343

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