具有線性代數(shù)約束的微分代數(shù)系統(tǒng)的Adomian分解解法

馮再勇， 陳寧

(1.南京鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 社科部，江蘇 南京 210031；2.南京林業(yè)大學(xué) 機械電子工程學(xué)院，江蘇 南京 210037)

具有線性代數(shù)約束的微分代數(shù)系統(tǒng)的Adomian分解解法

馮再勇1，2， 陳寧2

(1.南京鐵道職業(yè)技術(shù)學(xué)院 社科部，江蘇 南京 210031；2.南京林業(yè)大學(xué) 機械電子工程學(xué)院，江蘇 南京 210037)

在回顧Adomian分解方法解微分方程的基礎(chǔ)上，分析了利用Adomian分解方法解微分代數(shù)系統(tǒng)的主要困難。針對具有線性代數(shù)約束的微分代數(shù)系統(tǒng)給出了確定其代數(shù)變量解的便利方法，基于這種方法能夠得到系統(tǒng)級數(shù)形式的精確解。最后舉例驗證了該方法的有效性和實用性。

微分代數(shù)系統(tǒng)； 線性代數(shù)約束； Adomian分解； 級數(shù)解

微分代數(shù)系統(tǒng)一般具有F(t,y,y′)=0的形式，系統(tǒng)同時包含微分方程以及代數(shù)方程(這部分方程中不出現(xiàn)導(dǎo)數(shù)項)作為約束，可以更真實地刻畫工程應(yīng)用問題。因此微分代數(shù)系統(tǒng)在解決科學(xué)及工程問題，特別是在多體系統(tǒng)動力學(xué)等方面有很多有效的研究和應(yīng)用[1-5]。微分代數(shù)系統(tǒng)的求解對其應(yīng)用具有重要的實際意義。目前微分代數(shù)系統(tǒng)的解法主要有數(shù)值解法[6-7]，此外文獻[8]研究了微分代數(shù)系統(tǒng)的微分變換解法，得到了級數(shù)形式的近似解析解。另一方面，自AdomianG提出解非線性方程的Adomian分解方法以來，Adomian分解方法在解微分方程方面取得了很大的成功[9-10]。Adomian分解方法能夠得到級數(shù)形式的解析解，而且收斂快、計算簡單，具有類似于泰勒級數(shù)展開的直觀意義等優(yōu)點。因此本文討論利用Adomian分解方法求形如式 (1)的微分代數(shù)系統(tǒng)的級數(shù)解。

(1)

式中代數(shù)約束Lj為線性函數(shù)，變量yi(t)稱為微分變量，yj(t)稱為代數(shù)變量，并假設(shè)yi′(t)=fi(t,y1,y2,…,yn)和Lj(y1,y2,…,yn)=0滿足相容性。

本文首先回顧求解微分方程的Adomian分解方法，然后探討求解微分代數(shù)系統(tǒng)的Adomian分解方法，最后給出相關(guān)算例并得到結(jié)論。

1 解微分方程的Adomian分解方法

yi(t)=yi(0)+I[fi(t,y1,y2,…,yn)]

(2)

i=1,2,3,…,l

由Adomian分解可知，解yi(t)可以表示為級數(shù)形式：

(3)

fi(t,y1,y2,…,yn)則可分解為一列Adomian多項式的和：

(4)

Aim依賴于(y10,…,y1m;y20,…,y2m;yn0,…,ynm)。引入?yún)?shù)λ，則Aim可按如下方式確定：

(5)

由式(2)、(3)、(4)得到：

i=1,2,3,…,l

于是結(jié)合式(5)不難得到以下遞推公式:

(6)

式中，m=0,1,2,…;i=1,2,…,l。

文獻[11-13]證明了該方法的收斂性。

(7)

2 確定代數(shù)變量的方法

由于微分代數(shù)系統(tǒng)在微分方程yi′(t)=fi(t,y1,y2,…,yn)的基礎(chǔ)上增加了代數(shù)約束Lj(y1,y2,…,yn)=0，因此用Adomian方法求解微分代數(shù)系統(tǒng)的難點在于如何處理其代數(shù)約束部分Lj(y1,y2,…,yn)=0。一種直接的想法是聯(lián)立代數(shù)約束方程組，解出yj(t)(j=l+1,…,n;m=1,2,…)，然后代入微分部分，從而將系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為僅含微分約束的純微分系統(tǒng)，利用Adomian方法求解。這種方法有其可行之處，同時也存在不足。不足之處在于求解得到y(tǒng)j(t)，將其代入微分部分后，確定Adomian多項式的復(fù)雜度會增加。因為在fi(t,y1,y2,…,yn)中若yj(t)(j=l+1,…,n)和yi(t)(i=1,…,l)是相互獨立的變量，求導(dǎo)確定Adomian多項式相對簡單。然而解出yj(t)=φj(y1,…,yl)后，fi(t,y1,y2,…,yn)變?yōu)橐韵滦问降膹?fù)合函數(shù)：

fi(t,y1,y2,…,yn)=fi(t,y1,…,yl,φ1(y1,

…,yl),φ2(y1,…,yl),…,φn-l(y1,…,yl))

這樣即使在線性代數(shù)約束的情況下，確定Adomian多項式時求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)特別是求其高階導(dǎo)數(shù)的過程會變得復(fù)雜得多，從而計算復(fù)雜度顯著增加。

事實上,代數(shù)變量初值的確定相對容易。由于yi0(t)=yi(0)(i=1,2,…,n)滿足代數(shù)約束Lj(y1,y2,…,yn)=0，于是不難由該式用初值yi(0)(i=1,…,l)算出yj(0)(j=l+1,…,n)，直接令yj0(t)=yj(0)(j=l+1,…,n)。從而Ai0得以確定，利用遞推公式(6)，進一步得到y(tǒng)i1(t),i=1,…,l。

由于代數(shù)約束部分沒有微分算子，不能通過積分進行遞推，故yjm(t)(j=l+1,…,n;m=1,2,…)的確定比較困難。為了既能利用代數(shù)約束得到y(tǒng)jm(t)，又不增加計算Adomian多項式的復(fù)雜度，至少在線性代數(shù)約束這一簡單情況下能得到理想的解，自然想到能否將各個變量之間的代數(shù)約束關(guān)系轉(zhuǎn)化為變量級數(shù)解中各相應(yīng)分量之間的關(guān)系。不難證明，當(dāng)代數(shù)約束為線性時，這種線性關(guān)系是可以保持的。即有如下定理。

定理1 設(shè)微分代數(shù)系統(tǒng)(1)中各變量具有如下級數(shù)形式解：

則變量y1,y2,…,yn滿足線性約束(8)的充分條件是：對任意m=0,1,2,…，都滿足式(9)。

Lj(y1,y2,…,yn)=0 (j=l+1,l+2,…,n)

(8)

Lj(y1m,y2m,…,ynm)=0 (j=l+1,l+2,…,n)

(9)

證明：約束Lj(y1,y2,…,yn)=0,j=l+1,…,n為線性，可以設(shè)為：

Lj(y1,y2,…,yn)=aj1y1+aj2y2+…+ajnyn=0

j=l+1,l+2,…,n

(10)

(11)

上式中的級數(shù)都是收斂級數(shù)[11-13]，設(shè)它們的收斂半徑分別為R1,…,Rn，記R=min{R1,…,Rn},則當(dāng)t∈(-R，R)時，式(11)可整理為如下等價形式：

(12)

于是，若對任意m=0,1,2,…都有Lj(y1m,y2m,…,ynm)=0,j=l+1,…,n,則式(12)顯然成立，由于式(10)、(11)、(12)等價，故式(10)也成立，從而Lj(y1,y2,…,yn)=0,j=l+1,l+2,…,n。

證畢。

由定理1可知，對任意m=0,1,2,…，Lj(y1m,y2m,…,ynm)=0,j=l+1,l+2,…,n可以保證各變量滿足線性約束Lj(y1,y2,…,yn)=0,j=l+1,l+2,…,n。于是可以利用式(9)解出yjm(t),j=l+1,…,n。據(jù)此得到Aim，進而完成式(6)的遞推計算，最終得到整個系統(tǒng)的解。

3 舉 例

下面通過幾個具有線性代數(shù)約束的微分代數(shù)系統(tǒng)的例子說明上述方法的有效性和實用性。

例1 微分代數(shù)系統(tǒng)：

沒有關(guān)于y2(t)的微分約束，故無須計算A2m,m=0,1,…。

由第2部分的分析過程結(jié)合式(6)、定理1可知：

y10(t)=y1(0)=1，y20(t)=-2，

于是，得到兩個解的5級近似：

此外，總結(jié)y1(t)、y2(t)中各項的規(guī)律，可將求和項拓展為無窮，則得到系統(tǒng)的精確級數(shù)解：

例2 微分代數(shù)系統(tǒng)：

A20=ty10，A21=ty11，A22=ty12，A23=ty13，

觀察以上各個分量，不難得到解的規(guī)律：

m=1,2,…

由于規(guī)定0!=1，于是系統(tǒng)解可以寫為如下包含y10、y20的級數(shù)形式：

此解也不再是近似解，而是微分代數(shù)系統(tǒng)的精確級數(shù)解，正確性可直接由y2(t)求導(dǎo)驗證。

4 結(jié) 語

針對微分代數(shù)系統(tǒng)(1)，本文提出了一種基于Adomian分解的求級數(shù)解方法。該方法的計算過程既避免了復(fù)合函數(shù)求高階導(dǎo)數(shù)的復(fù)雜運算，又能有效利用系統(tǒng)的線性代數(shù)約束，確定解的各個分量，最終得到系統(tǒng)解。算例說明該方法方便有效，并且能夠根據(jù)級數(shù)解的規(guī)律得到系統(tǒng)精確解的級數(shù)表示。另一方面，如何將這種方法進行適當(dāng)推廣，比如推廣到代數(shù)約束為非線性，值得進行深入研究。

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(責(zé)任編輯 王衛(wèi)勛，王緒迪)

The solution to differential-algebraic system with linear algebraic constraints by Adomian decomposition method

FENG Zaiyong1,2， CHEN Ning2

(1.Department of Social Science，Nanjing Institute of Railway Technology，Nanjing 210031, China;2.College of Mechanical and Electronic Engineering, Nanjing Forestry University, Nanjing 210037, China)

Based on reviewing the Adomian decomposition method in decomposing the differential system, this paper analyzes the main difficulties by means of the Adomian decomposition method to decompose differential-algebraic system. Also, with an aim at the differential-algebraic system with the linear constraints, the paper gives the convenient method to determine its algebraic variable solution, on the basis of which, the series accurate solution to the system can be obtained. Finally, the examples are listed to test the effectiveness and practicity of this method.

differential-algebraic system; linear constraints; Adomian decomposition; series solution

1006-4710(2015)04-0464-04

2015-06-29

國家自然科學(xué)基金資助項目(11272159)。

馮再勇，男，講師，博士生，研究方向為應(yīng)用數(shù)學(xué)。E-mail：77403497@qq.com。

陳寧，男，教授，博士，博導(dǎo)，研究方向為分數(shù)階理論及其在車輛工程中的應(yīng)用。E-mail：chenning@njfu.com.cn。

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