正交異性矩形板固有頻率的確定*

蘇　鐵　堅(jiān)

(吉林建筑大學(xué)交通科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)春　130118)

正交異性矩形板固有頻率的確定*

蘇鐵堅(jiān)

(吉林建筑大學(xué)交通科學(xué)與工程學(xué)院，長(zhǎng)春130118)

摘要：筆者應(yīng)用最小余能原理的理論和方法對(duì)彈性正交異性矩形板進(jìn)行動(dòng)力分析，計(jì)算了結(jié)構(gòu)的固有頻率，對(duì)于剪力以及不同邊界支承條件對(duì)正交異性板動(dòng)力參數(shù)的影響進(jìn)行討論.

關(guān)鍵詞：最小余能原理；彈性正交異性板；固有頻率

0引言

在實(shí)際工程中，有許多構(gòu)造上的正交異性(矩形)板結(jié)構(gòu).如建筑工程、橋梁工程或船舶工程中由交叉梁和連續(xù)矩形板構(gòu)成的整體梁板結(jié)構(gòu)；機(jī)械工程及航空工程中廣泛使用的具有輾制方向的金屬板、波紋板和加肋板等.分析這類(lèi)正交異性板的動(dòng)力問(wèn)題，作為近似計(jì)算方法之一的最小余能原理顯示出獨(dú)特的優(yōu)越性.尤其是在處理多種變形共存以及復(fù)雜邊界條件下的振動(dòng)問(wèn)題時(shí)更為突出.

1基本原理與方法

對(duì)于彈性正交異性板，仍然采用與普通同性板相同的假設(shè)條件.為了計(jì)算和推導(dǎo)方便，假設(shè)正交異性板的兩個(gè)彈性主方向與坐標(biāo)方向(x , y方向)重合.

當(dāng)板以頻率ω作自由振動(dòng)時(shí)，假設(shè)其振型函數(shù)為：

W=w(x,y)

所對(duì)應(yīng)的板上的面分布橫向慣性力集度為：

(1)

式中：D1，D2分別為彈性主方向(x,y方向)的抗彎剛度；Dk為板的抗扭剛度；μ1，μ2分別為板的主方向(x,y方向)的泊松比，且D3=D1μ2+2Dk[1].

對(duì)于每一種特定情況，由上式可確定滿(mǎn)足平衡方程及力邊界條件的振型函數(shù)，進(jìn)而求出結(jié)構(gòu)的彎矩(Mx，My)、扭矩(Mxy).由諸內(nèi)力及振型函數(shù)表示的結(jié)構(gòu)總余能為：

(2)

式中，第二個(gè)積分為剪力引起的應(yīng)變能，δ為板的厚度，最后一個(gè)積分表示結(jié)構(gòu)的動(dòng)能.問(wèn)題的位移邊界條件(變形連續(xù)條件)應(yīng)用最小余能原理：

(3)

2四邊簡(jiǎn)支板的動(dòng)力分析

2.1　固有頻率的計(jì)算

如圖1所示，當(dāng)邊長(zhǎng)分別為a,b的四邊簡(jiǎn)支板作自由振動(dòng)時(shí)，其振型取為在x方向有m個(gè)正弦半波，在y方向有n個(gè)正弦半波，對(duì)應(yīng)的固有頻率為ωmn，采用一次近似計(jì)算.

圖1 四邊簡(jiǎn)支板模型

設(shè)振型函數(shù)為：

對(duì)應(yīng)的面分布橫向慣性力集度為：

將前兩式代入平衡方程(1)中，求得振型函數(shù)為：

式中：

由慣性力引起的內(nèi)力為：

(4)

對(duì)于同性板，固有頻率

(5)

為該問(wèn)題的精確解[3].

2.2　剪力對(duì)固有頻率的影響

在問(wèn)題2.1中加入剪力的影響.設(shè)m=n=1，按邊長(zhǎng)為a的方板計(jì)算，取慣性力作用下的剪力為：

(6)

式中：

(7)

(8)

式中：

(9)

為剪力影響系數(shù).對(duì)于同性板，有

(10)

3不同支承條件下正交異性板的固有頻率

3.1　一邊固定，另三邊簡(jiǎn)支

一邊固定，三邊簡(jiǎn)支、邊長(zhǎng)為a的正交異性方板，見(jiàn)圖2，求固有頻率.將問(wèn)題簡(jiǎn)化成四邊簡(jiǎn)支方板，對(duì)應(yīng)原固定邊界處有分布力矩作用，見(jiàn)圖3.采用一次近似計(jì)算，設(shè)振型函數(shù)為：

由慣性力引起的內(nèi)力均與問(wèn)題2.1中的結(jié)果一致.

圖2 一邊固定，三邊簡(jiǎn)支板模型

圖3 簡(jiǎn)化后的簡(jiǎn)支板模型

設(shè)邊界分布力偶m0引起的內(nèi)力為：

式中：B0=D2(1+μ1)/D1(1+μ2)為內(nèi)力比例系數(shù)，對(duì)于同性板有B0=1.則板的總內(nèi)力為：

(11)

式中：

對(duì)于同性板有D0=D，其固有頻率為：

(12)

結(jié)果(μ=0.2)與問(wèn)題精確解的誤差為1.50%.

3.2　一對(duì)邊固定支承，另兩邊簡(jiǎn)支

一對(duì)邊(平行于y軸)固定支承，另兩邊簡(jiǎn)支、邊長(zhǎng)為a的正交異性方板，求結(jié)構(gòu)的固有頻率.將其簡(jiǎn)化為四邊簡(jiǎn)支方板，對(duì)應(yīng)原固定支承邊界上有分布力偶作用的計(jì)算模型.由慣性力引起的內(nèi)力與問(wèn)題2.1相同，由邊界力偶引起的內(nèi)力取為：

(13)

對(duì)于同性板，其固有頻率為：

(14)

結(jié)果(μ=0.2)為問(wèn)題的精確解[4].

參考文獻(xiàn)

[1] 曹治杰,余傳禧.正交異性板的計(jì)算[M].北京：中國(guó)鐵道出版社，1983:2-6.

[2] 林家浩,曲乃泗,孫煥純.計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)[M].北京：高等教育出版社，1989:167-170.

[3] 徐芝綸.彈性力學(xué)(第三版)下冊(cè)[M].北京：高等教育出版社，2003:79-82.

[4] Warren C.Young Richard G.Bndynas.Roark’s Formulas for Stress and Strain (Seventh Ed)[M].New York:McGraw-Hill Companies,2002:764-766.

*基金項(xiàng)目：吉林省科技廳應(yīng)用基礎(chǔ)研究項(xiàng)目資助(201205056).

Determine the Natural Frequencies of Rectangle Orthogonal Plate

SU Tie-jian

(SchoolofCommunicationScienceandEngineering,JilinJianzhuUniversity，Changchun，China130118)

Abstract：In this paper, the minimum excess principle are used in dynamic analysis of rectangle orthogonal plate. The natural frequencies are calculated in detail, and the influences of shear and different Constraints on the natural frequency are discussed.

Keywords:minimum excess principle；rectangle orthogonal plate；natural frequencies

中圖分類(lèi)號(hào)：TU 311.3

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：2095-8919(2015)06-0005-04

作者簡(jiǎn)介：蘇鐵堅(jiān)(1957~),男,吉林省長(zhǎng)春市人,教授.

收稿日期：2015-02-09.