一種新的對(duì)數(shù)混沌系統(tǒng)及其動(dòng)力學(xué)特性研究

范婷婷，王光義

(杭州電子科技大學(xué)射頻電路與系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310018)

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一種新的對(duì)數(shù)混沌系統(tǒng)及其動(dòng)力學(xué)特性研究

范婷婷，王光義

(杭州電子科技大學(xué)射頻電路與系統(tǒng)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，浙江 杭州 310018)

摘要：為了產(chǎn)生復(fù)雜的混沌序列，針對(duì)Chen混沌系統(tǒng)參數(shù)范圍比較小的問題，利用自然對(duì)數(shù)函數(shù)設(shè)計(jì)了一個(gè)新的對(duì)數(shù)混沌系統(tǒng)。對(duì)該系統(tǒng)進(jìn)行了動(dòng)力學(xué)特性分析，包括平衡點(diǎn)、分岔圖、Lyapunov指數(shù)圖以及Poincare截面圖。設(shè)計(jì)了一個(gè)模擬電子電路對(duì)該混沌系統(tǒng)進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，仿真和實(shí)際電路實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析基本一致。對(duì)對(duì)數(shù)混沌系統(tǒng)產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列進(jìn)行NIST測(cè)評(píng)，結(jié)果表明，系統(tǒng)具有混沌特性且產(chǎn)生的序列隨機(jī)性能良好。

關(guān)鍵詞：混沌；對(duì)數(shù)；動(dòng)力學(xué)特性；電路實(shí)現(xiàn)；NIST測(cè)試

0引言

對(duì)初始條件的高度敏感性、類噪聲特性和長(zhǎng)期不可預(yù)測(cè)性是混沌信號(hào)的本質(zhì)特征。利用混沌序列的偽隨機(jī)特性，可將其應(yīng)用于信息加密(如音頻視頻加密，文件加密等)和保密通信之中[1-3]。為了獲得高性能的混沌序列，行為復(fù)雜的混沌系統(tǒng)設(shè)計(jì)成為當(dāng)前的研究熱點(diǎn)之一?，F(xiàn)有的混沌系統(tǒng)一般都含有兩個(gè)或兩個(gè)以上的非線性函數(shù)項(xiàng)[4-5]，為了進(jìn)一步提高混沌序列的復(fù)雜性，本文設(shè)計(jì)了一個(gè)新的含有自然對(duì)數(shù)函數(shù)的混沌系統(tǒng)，對(duì)其動(dòng)力學(xué)特性進(jìn)行了理論和仿真分析，對(duì)產(chǎn)生的混沌序列進(jìn)行隨機(jī)性測(cè)試，并進(jìn)行了電路實(shí)現(xiàn)。相對(duì)含有簡(jiǎn)單非線性項(xiàng)的混沌系統(tǒng)，本系統(tǒng)可用以產(chǎn)生復(fù)雜的混沌偽隨機(jī)序列，應(yīng)用于保密通信和密碼系統(tǒng)之中。

1對(duì)數(shù)混沌系統(tǒng)

本文設(shè)計(jì)的對(duì)數(shù)混沌數(shù)學(xué)模型為：

(1)

式中，系統(tǒng)參數(shù)a，b，c為實(shí)常數(shù)。調(diào)整各個(gè)參數(shù)的數(shù)值大小，可以發(fā)現(xiàn)在很大范圍內(nèi)，系統(tǒng)的解是混沌的。選取數(shù)值a=35，b=10，c=25，系統(tǒng)初值[x0,y0,z0]=[0.1,0.1,0.1]，利用Matlab數(shù)值仿真獲取的混沌吸引子圖如圖1所示。

圖1　混沌吸引子相圖

2對(duì)數(shù)混沌系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性分析

首先對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行耗散性分析。系統(tǒng)的散度為：

(2)

當(dāng)▽V<0，即z>-1時(shí)，且lnz要求z>0,因而系統(tǒng)是耗散的。為求系統(tǒng)平衡點(diǎn)，令：

(3)

解得系統(tǒng)的平衡點(diǎn)：

(4)

當(dāng)參數(shù)a=35，b=10，c=25時(shí)代入表達(dá)式得到S1=(5.203 9,5.203 9,15)，S2=(-5.203 9,-5.203 9,15)。

系統(tǒng)的Jacobian矩陣為：

(5)

當(dāng)初始值[x0,y0,z0]=[0.1,0.1,0.1]時(shí)，固定b,c的數(shù)值，改變參數(shù)a,觀察分岔圖隨a的變化規(guī)律，如圖2(a)所示。固定a,c的數(shù)值，改變b的值，分岔圖如圖2(b)所示。固定a,b的數(shù)值，改變參數(shù)c的值，系統(tǒng)分岔圖如圖2(c)所示。從圖2中可以看出，系統(tǒng)在a∈[29,39]，b∈[1,29]，c∈[22.5,31]的范圍時(shí)，始終處于混沌狀態(tài)。

Lyapunov指數(shù)和Poincare截面是判斷混沌的主要依據(jù)。李氏指數(shù)在本質(zhì)上刻畫了混沌運(yùn)動(dòng)中的局部不穩(wěn)定性，如圖3(a)所示，該系統(tǒng)的最大李氏指數(shù)較大，Poincare截面如圖3(b)所示，選取z=10作為Poincare截面，圖中截面上有一些密集點(diǎn)，進(jìn)一步證明系統(tǒng)是混沌的。

圖2　對(duì)數(shù)混沌系統(tǒng)隨參數(shù)變化的分叉圖

圖3　Lyapunov指數(shù)圖和Poincare截面圖

3對(duì)數(shù)混沌系統(tǒng)的電路實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

(6)

再用線性電阻、電容、模擬乘法器和運(yùn)算放大器設(shè)計(jì)一個(gè)模擬電路用于實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)，設(shè)計(jì)結(jié)果如圖4所示。其中R9、D1和U1D構(gòu)成對(duì)數(shù)運(yùn)算電路。根據(jù)圖4列出電路狀態(tài)方程，與尺度變化后的方程相比較，確定電阻的阻值。

圖4　對(duì)數(shù)混沌系統(tǒng)的電路實(shí)現(xiàn)

為了進(jìn)一步驗(yàn)證該對(duì)數(shù)混沌電路的可行性，在模擬示波器上觀察實(shí)際電路的混沌吸引子如圖5。由圖5可知，實(shí)際電路的混沌吸引子與仿真結(jié)果一致，進(jìn)一步表明文中提出的對(duì)數(shù)混沌電路是可行的。

圖5　模擬示波器觀察到的混沌吸引子圖

4對(duì)數(shù)混沌系統(tǒng)序列性能測(cè)試

為了進(jìn)一步了解混沌序列的隨機(jī)特性，采用美國國家標(biāo)準(zhǔn)與技術(shù)(National Institute oF Standards and Technology，NIST)提供的測(cè)試包[6]，對(duì)其產(chǎn)生的偽隨機(jī)序列的基本性能進(jìn)行測(cè)試。

判斷序列性能好壞，主要依靠P-Value值和通過率兩個(gè)重要的指標(biāo)。這里選擇位抽取法作為抽樣方法，抽取后采用閾值量化方法獲得二進(jìn)制隨機(jī)序列。再對(duì)序列進(jìn)行NIST測(cè)試，根據(jù)二進(jìn)制序列是否滿足p-value≥α(α是指顯著性水平)來計(jì)算通過率。對(duì)數(shù)混沌系統(tǒng)序列的NIST測(cè)試結(jié)果如表1所示。與Chen混沌系統(tǒng)相比較，對(duì)數(shù)混沌系統(tǒng)通過了離散傅里葉變換的測(cè)試，同時(shí)在均勻性分布上，有10項(xiàng)測(cè)試明顯優(yōu)于Chen系統(tǒng)，在通過率上也高于Chen系統(tǒng)。

表1　對(duì)數(shù)混沌系統(tǒng)偽隨機(jī)序列NIST測(cè)試結(jié)果

5結(jié)束語

本文在Chen系統(tǒng)的基礎(chǔ)上構(gòu)造了一個(gè)新的對(duì)數(shù)連續(xù)混沌系統(tǒng)。通過引入對(duì)數(shù)這一非線性項(xiàng)，擴(kuò)展了混沌區(qū)間范圍。利用Matlab仿真手段分析了該系統(tǒng)參數(shù)對(duì)混沌區(qū)間的影響以及其基本動(dòng)力學(xué)特性。最后構(gòu)造電路實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)混沌系統(tǒng)，并對(duì)該系統(tǒng)產(chǎn)生的混沌序列進(jìn)行NIST隨機(jī)性測(cè)試。電路實(shí)現(xiàn)結(jié)果與理論相一致，且序列有較好的隨機(jī)性。與其他含非線性項(xiàng)混沌系統(tǒng)相比，新系統(tǒng)混沌信號(hào)更加復(fù)雜，具有更大的參數(shù)和密鑰空間，更適合用于混沌加密。

參考文獻(xiàn)

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Study on Logarithmic Chaotic System and Its Dynamic Characteristics

Fan Tingting， Wang Guangyi

(SchooloFElectronicInFormation，HangzhouDianziUniversity，HangzhouZhejiang310018，China)

Abstract:This paper designs a new logarithm chaotic system to get a higher complexity chaotic sequence. The dynamic characteristic oF logarithm chaotic mapping is analyzed， including Lyapunov exponential graph and biFurcation diagram， which veriFies the chaotic characteristics about the system. An analog electronic circuit experiments has been designed to veriFy the chaotic characteristics about the system， and the result oF experiment is Fully compliance with the simulation results. National Institute oF Standards and Technology(NIST) test For pseudo system are analyzed， and the results show that its random is better. The complex chaotic pseudo-random sequence can be produced by the system and be applied toward secrecy communication and password system．

Key words:chaos; logarithm; dynamic characteristic; circuit implementation; national institute oF standards and technology

中圖分類號(hào)：TN918.1

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1001-9146(2015)03-0068-05

通信作者：

作者簡(jiǎn)介：范婷婷(1990-)，女，河南許昌人，在讀研究生，非線性電路與智能信息處理.王光義教授，E-mail:wanggyi@163.com.

基金項(xiàng)目：國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61271064,60971046)；浙江省自然科學(xué)基金重點(diǎn)資助項(xiàng)目(LZ12F01001)；浙江省重點(diǎn)科技創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)計(jì)劃資助項(xiàng)目(2010R50010)

收稿日期：2014-10-31

DOI:10.13954/j.cnki.hdu.2015.03.014