基于遞歸趨勢調(diào)整的單位根檢驗

江海峰，楊海文

（1.安徽工業(yè)大學商學院，安徽 馬鞍山243001；2.江西財經(jīng)大學信息管理學院，南昌 330013）

0 引言

眾所周知，單位根檢驗不僅包括單位根項本身的估計，還涉及到漂移項、趨勢項估計及其經(jīng)濟意義解釋，為使參數(shù)意義更為明確，Bhargava(1986)將數(shù)據(jù)生成的趨勢項和單位根過程分離，提出如下數(shù)據(jù)生成過程：

并檢驗假設(shè) H01:ρ=1和聯(lián)合假設(shè) H02:ρ=1，α=β=0。然而，對于此類數(shù)據(jù)生成的遞歸趨勢調(diào)整單位根檢驗尚沒有文獻研究，受到上述遞歸趨勢調(diào)整模式研究的啟發(fā)，本文也從遞歸趨勢調(diào)整角度研究數(shù)據(jù)生成為dt=0的單位根過程而估計與模型（4）相對應的單位根檢驗量分布，并與經(jīng)典DF檢驗量比較檢驗水平和檢驗功效。

1 遞歸趨勢調(diào)整單位根檢驗量分布

為討論這類模型，本文采用類似Bhargava(1986)的做法，估計如下模型：

2 蒙特卡羅模擬分析

為得到上述基于遞歸趨勢調(diào)整單位根檢驗量有限樣本下的分位數(shù)，下面進行蒙特卡羅模擬分析。設(shè)定模擬次數(shù)為50000次，為降低分位數(shù)的隨機性，將該過程進行50次，取50次分位數(shù)的平均值作為最終的模擬結(jié)果。表1給出5種樣本常見分位數(shù)的模擬結(jié)果，其中每個樣本中第一行和第二行是分別與式（8）和式（9）對應檢驗量的分位數(shù)。和同種條件下的經(jīng)典DF檢驗量相比，分位數(shù)明顯偏大。模擬顯示，當 ρ=1時，表1中5種樣本單位根項ρ基于遞歸趨勢調(diào)整式（7）估計的平均值分別為0.919、0.959、0.979、0.992和0.996，而根據(jù)式（4）得到 ρ的平均值分別為0.647、0.810、0.902、0.959和0.979，顯然，正是由于采用了遞歸趨勢調(diào)整估計方法，消除了存在于經(jīng)典DF模式中解釋變量與擾動項之間自相關(guān)問題，因此降低了估計偏差，這從估計角度說明了遞歸趨勢調(diào)整方法的優(yōu)越性。

表1 遞歸趨勢調(diào)整單位根檢驗量常見分位數(shù)

為比較基于遞歸趨勢調(diào)整檢驗量與經(jīng)典DF檢驗量這兩類檢驗方法的優(yōu)劣，接下來再進行模擬分析，設(shè)定模擬次數(shù)為10000次，自回歸系數(shù) ρ的取值分別為1、0.95、0.90、0.85、0.80和0.75，顯著性水平為0.05。表2給出了模擬結(jié)果，其中DF1、DF2分別表示對模型（4）采用傳統(tǒng)DF檢驗量對應的系數(shù)檢驗量和偽t檢驗量，而DFR1、DFR2表示基于遞歸趨勢調(diào)整的系數(shù)檢驗量和偽t檢驗量。

表2 兩類檢驗量的檢驗水平與檢驗功效的模擬結(jié)果

首先比較兩類檢驗量的檢驗水平扭曲程度，即當ρ取1時實際拒絕率與名義拒絕率0.05的差異程度。由于模擬的隨機性，無論使用哪類檢驗方法，每類檢驗的實際顯著性水平不可能正好等于名義水平0.05，根據(jù)Godfrey和Orme（2000）提供的實際顯著性水平區(qū)間估計公式，取概率度為1.96得到實際顯著性水平的區(qū)間估計為（4.57%，5.43%）。根據(jù)這個標準，除樣本為25且檢驗量DF1的實際檢驗水平落在上述區(qū)間之外，其它場合的實際檢驗水平均落在上述區(qū)間之內(nèi)，這表明本文提出的遞歸趨勢調(diào)整檢驗量和經(jīng)典的DF檢驗量相比，也具有滿意的檢驗水平。其次就檢驗功效而言，當樣本為25和50時，基于遞歸趨勢調(diào)整的兩個檢驗量DFR1和DFR2的檢驗功效明顯高于對應檢驗量DF1和DF2的結(jié)果，且樣本越小優(yōu)勢越明顯；當樣本為100時，DFR1較DF1仍有較高的功效，而DFR2較DF2在 ρ≤0.85時仍有優(yōu)勢；當樣本為250和500時，如果ρ≤0.85，則兩種檢驗方法下的檢驗功效基本相當，但當ρ＞0.85時，傳統(tǒng)DF檢驗量的檢驗功效明顯高于遞歸趨勢調(diào)整下對應的檢驗量結(jié)果。這表明，基于遞歸趨勢調(diào)整檢驗量更適合于小樣本和中等樣本的檢驗，而當樣本較大時，該方法適用于序列偏離單位根過程較遠時的檢驗。

3 結(jié)論

對于數(shù)據(jù)生成為無漂移項的單位根過程而言，本文得到以下幾點結(jié)論：

（1）采用基于遞歸趨勢調(diào)整方法進行單位根檢驗，當原假設(shè)成立時，用于單位根檢驗的系數(shù)檢驗量和偽t檢驗量都具有明確的分布，且分布中不含有任何未知的參數(shù)，因此可以用于單位根檢驗，同時也給出了幾組樣本下檢驗的分位數(shù)，這與文獻3和文獻4所提出的三種轉(zhuǎn)換方法單位根檢驗量沒有精確分布形成鮮明對比。

（2）蒙特卡羅模擬表明，當原假設(shè)成立時，基于遞歸趨勢調(diào)整的單位根項估計結(jié)果比經(jīng)典DF檢驗方法下單位根項估計更為精確，而且系數(shù)檢驗量和偽t檢驗量都具有滿意的檢驗水平；在檢驗功效方面，當樣本為中小樣本時，該檢驗量在ρ的5種取值中較經(jīng)典DF檢驗量都具有更高的功效，而當樣本較大時，經(jīng)典DF檢驗量具有優(yōu)勢，但此時當序列偏離單位根較遠時，兩種方法下檢驗量的檢驗功效基本相當。因此，當實證分析中的樣本較小時，對于此類單位根檢驗應使用基于遞歸趨勢調(diào)整的檢驗量以降低犯第二類錯誤的可能。

[1]Bhargava A.On the Theory of Testing for Unit Roots in Observed Time Series[J].Review of Economic Studies,1986,53(3).

[2]Shin D H,So B S,Recursive Mean Adjustment for Unit Root Tests[J].Journal of Time Series Analysis,2001,22(5).

[3]Rodrigues P.Properties of Recursive Trend-Adjusted Unit Root Tests[J].Economics Letters,2006,91(3).

[4]Alanez E L,Alva J A V.Ajuste Recursivo con Transformaciones Invariantes y Bootstrapping:El Caso de Una Caminata Aleatoria Conintercepto[J].EconoQuantum,2010,7(1).

[5]Dickey D A,Fuller W A.Likelihood Ratio Statistics for Autoregressive Time Series With a Unit Root[J].Econometirca,1981,49(4).

[6]Kurtz T G,Protter,P.Weak Limit Theorems for Stochastic Integrals and Stochastic Differential Equations[J].Ann.Probab,1991,(19).

[7]Godfrey L G,Orme C D.Controlling the Significance Levels of Prediction Error Tests for Linear Regression Models[J].Econometrics Journal,2000,3(1).