貝葉斯快速初始響應(yīng)控制圖及其仿真

龐晨鵬，劉 堅(jiān)，張 星

（湖南大學(xué) 汽車車身先進(jìn)設(shè)計制造國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，長沙410082）

0 引言

在統(tǒng)計過程控制方法中，貝葉斯模型經(jīng)常同連續(xù)決策模型一起，用來監(jiān)測過程的最小預(yù)期成本。然而，貝葉斯方法的核心機(jī)理是統(tǒng)計方法，更加貼近統(tǒng)計過程控制。貝葉斯方法的核心是對經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的充分使用，并對其進(jìn)行累積更新，從而獲取更加全面的信息。這屬于典型的統(tǒng)計過程控制方法。

貝葉斯控制圖起源于Girshick和Rubin[1]、Bathers[2]和Taylor[3,4]的研究成果。Tagaras[5,6]結(jié)合成本模型，提出了短周期運(yùn)行過程的動態(tài)貝葉斯控制圖。Makis[7]研究了短周期運(yùn)行的多元貝葉斯控制問題。Nenes[8,9]研究了雙邊貝葉斯控制圖的經(jīng)濟(jì)性設(shè)計。朱慧明研究了貝葉斯序貫過程質(zhì)量監(jiān)控模型[10]，提出了基于多階段預(yù)報分布的貝葉斯多變量均值向量監(jiān)控模型[11]。Marcellus[12,13]從統(tǒng)計控制角度，研究了均值漂移過程的貝葉斯分析問題。大多學(xué)者都是結(jié)合經(jīng)濟(jì)性研究了貝葉斯模型，單純從統(tǒng)計性角度開展的研究較少。

Lucas和Crosier[14]提出了CUSUM控制圖的快速初始響應(yīng)（Fast Initial Response，簡稱FIR）方法，提高了CUSUM控制圖在監(jiān)測大偏差的靈敏度。Stefan Steiner[15]和Seven Knoth[16]提出了EWMA控制圖的FIR方法，提高了EWMA的監(jiān)測靈敏度。

貝葉斯控制圖通過研究過程失控的概率來進(jìn)行過程控制，核心思想在于對于以往經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)的應(yīng)用和對參數(shù)的更新。而貝葉斯控制圖中，過程失控的判斷、先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率的轉(zhuǎn)移規(guī)是控制的重要環(huán)節(jié)。

本文從統(tǒng)計學(xué)角度出發(fā)，針對雙邊貝葉斯控制圖，采用FIR方法，通過設(shè)置控制限和轉(zhuǎn)移規(guī)則，提出了貝葉斯快速初始響應(yīng)控制圖。通過蒙特卡洛仿真，采用過程失控條件下的平均運(yùn)行鏈長（簡稱ARL）與原有貝葉斯控制（簡稱Bayes）進(jìn)行對比。結(jié)果顯示，改進(jìn)的貝葉斯控制圖能較快發(fā)現(xiàn)過程偏移，在控制圖允許一定的誤報，靈敏度要求較高的情況下有較好的適用性。

1 貝葉斯均值控制圖

在時刻 Hi，后驗(yàn)概率 π0(i)，π1(i)和 π2(i)分別為過程受控的概率、第一失控狀態(tài)的概率和第二失控狀態(tài)的概率。 π0(i)，π1(i)和 π2(i)基于先驗(yàn)概率 π0(i-1)，π1(i-1)和π2(i-1)，以及在時間Hi-Hi-1，過程操作進(jìn)行，得到Y(jié)i。

為獲得相關(guān)概率，假設(shè)過程在時間Hi-1處于受控狀態(tài)，在時間Hi-1到Hi，從受控狀態(tài)轉(zhuǎn)移到失控狀態(tài)。轉(zhuǎn)移到第一失控狀態(tài)和第二失控狀態(tài)的概率分別為

根據(jù)后驗(yàn)概率式（4）和式（5），決定是否進(jìn)行故障檢查。如果不檢查故障，則計算得到的后驗(yàn)概率成為下一過程的先驗(yàn)概率。如果檢查故障，則后驗(yàn)概率需根據(jù)檢查結(jié)果進(jìn)行設(shè)置。通過先驗(yàn)概率和后驗(yàn)概率的不斷更新，實(shí)現(xiàn)貝葉斯過程控制。

2 貝葉斯FIR控制策略

為了提高監(jiān)測偏差的靈敏度，在原有貝葉斯控制圖的基礎(chǔ)之上，參照CUSUM控制圖和EWMA控制圖的FIR方法，改進(jìn)參數(shù)設(shè)置和轉(zhuǎn)移規(guī)則，提出了貝葉斯FIR控制圖。具體的貝葉斯FIR控制策略如下。

3 仿真分析

3.1 仿真模型

本文基于蒙特卡洛隨機(jī)過程抽樣理論，假設(shè)過程在失控條件下仍為正態(tài)分布，均值發(fā)生偏移，標(biāo)準(zhǔn)差保持不變。通過選取均值偏移在0±3σ時，繪制貝葉斯控制圖，給出過程失控情況，并計算過程失控條件下的ARL，進(jìn)行控制圖改進(jìn)效果的對比分析。具體的仿真流程如圖1所示。

3.2 ARL對比分析

由表1和表2可以看出，在控制限分別為0.05、0.1、0.2、0.3、0.4和0.5，相同的均值偏移σ情況下，貝葉斯FIR控制圖的ARL均小于常規(guī)貝葉斯控制圖的ARL。由此可見，在過程失控情況下，改進(jìn)的貝葉斯控制圖能夠更早發(fā)現(xiàn)過程失控。

令參數(shù)ω代表過程受控情況下，單位時間內(nèi)的誤報次數(shù)，則ω=誤報次數(shù)/總時間。由此計算出相關(guān)的ω如表3所示。

由表4分析得出，在過程均值偏移情況下，貝葉斯FIR控制圖的ARL比常規(guī)貝葉斯控制圖的ARL明顯減小，當(dāng)控制限為0.05、0.1、0.2、0.3、0.4和0.5時，ARL的平均減小百分比分別為36%、45%、51%、56%、58%和58%。由此可見，貝葉斯FIR控制圖監(jiān)測過程失控的靈敏度得到了明顯提高。

圖1 仿真流程圖

表1 貝葉斯FIR控制圖與常規(guī)貝葉斯控制圖的對比分析

4 結(jié)束語

本文從統(tǒng)計學(xué)角度出發(fā)，研究貝葉斯控制圖的統(tǒng)計性能。通過控制限和轉(zhuǎn)移規(guī)則的設(shè)置，提出了貝葉斯快速初始響應(yīng)控制圖。通過蒙特卡洛仿真，采用過程失控條件下的平均運(yùn)行鏈長與原有貝葉斯控制進(jìn)行對比分析。結(jié)果顯示，改進(jìn)的貝葉斯控制圖能較快發(fā)現(xiàn)過程偏移，在控制圖誤報率要求寬松，靈敏度要求較高的情況下有較好的適用性?；趩卧狥IR方法的提出，多元貝葉斯控制圖的快速初始響應(yīng)方法有待研究。同時，此方法與貝葉斯控制圖經(jīng)濟(jì)性的結(jié)合以及最優(yōu)控制限的設(shè)置研究成為了后續(xù)的研究方向。

表2 貝葉斯FIR控制圖與常規(guī)貝葉斯控制圖的對比分析

表3 單位時間內(nèi)的誤報次數(shù)

表4 貝葉斯FIR控制圖與常規(guī)貝葉斯控制圖的效率對比

[1]Girshick M A,Rubin H..A Bayes Approach to a Quality Control Model[J].Annals of Mathematical Statistics,1952,(23).

[2]Bather J A.Control Charts and Minimization of Costs[J].Journal of the Royal Statistical Statistical Society-Series B,1963,(25).

[3]Taylor H M.Markovian Sequential Replacement Processes[J].Annals of Mathematical Statistics,1965,36(6).

[4]Taylor H M.Statistical Control of a Gaussian Process[J].Technometrics,1967,9(1).

[5]Tagaras G.A Dynamic Programming Approach to the Economic Design of X-Charts[J].IIE Transactions,1994,26(3).

[6]TagarasG .Dynamic Control Charts for Finite Production Runs[J].European Journal of Operational Research,1996,91(1).

[7]Makis V.Multivariate Bayesian Process Control for a Finite Production run[J].European Journal of Operational Research,2009,194.

[8]Nenes G,Tagaras G.The Economically Designed Two-sided Bayesian XˉControl Charts[J].European Journal of Operational Research,2007,183(1).

[9]Nenes G.A new Approach for the Economic Design of Fully Adaptive Control Charts[J].International Journal of Production Economics,2011,131(2).

[10]朱慧明，李素芳，虞克明.基于多階段抽樣的貝葉斯序貫過程質(zhì)量監(jiān)控分析[J].統(tǒng)計與決策,2010,(8).

[11]朱慧明，管皓云，林靜等.基于多階段預(yù)報分布的貝葉斯多變量均值向量監(jiān)控模型[J].湖南大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）.2011,38（3）.

[12]Marcellus R L.Bayesian Statistical Process Control[J].Quality Engineering,2007,20(1).

[13]Marcellus R L.Bayesian Monitoring to Fetect a Shift in Process Mean[J].Quality and Reliability Engineering International.2008,(24).

[14]Lucas J M,Crosier R B.Fast Initial Response for CUSUM Quality-control Schemes:Give your CUSUM a Head Start[J].Technometrics.1982,24(3).

[15]Steiner S H.Exponentially Weighted MovingAverageControlChartswith time-varying Control Limits and Fast initial response[J].Journal of Quality Technology,1999,(31).

[16]Knoth S.Fast Initial Response Features for EWMA Control Charts[J].Statistical Papers.2005,(46).