求解MArP風(fēng)險(xiǎn)過程破產(chǎn)時間的新方法

張超權(quán)，劉曉輝

（桂林航天工業(yè)學(xué)院 理學(xué)部，廣西 桂林 541004）

0 引言

本文考慮隨機(jī)環(huán)境下索賠服從PH分布的MArP風(fēng)險(xiǎn)過程:

其中，常數(shù)u≥0是初始盈余，設(shè)ζ={ζ(t)，t≥0} 是狀態(tài)空間為Eζ={1 ，2，…，m}，m＜∞ ，初始分布為αζ，轉(zhuǎn)移矩陣為Q的齊次不可約Markov過程，稱ζ為環(huán)境過程。本文假設(shè)風(fēng)險(xiǎn)過程受外界隨機(jī)因素ζ影響，在時刻t,當(dāng)ζ(t)=i時,則對應(yīng)保費(fèi)率為ui,從而即為 (0，t]內(nèi)收取的保費(fèi)總額。N(t)表示(0，t]內(nèi)發(fā)生的索賠次數(shù)，Ki表示第i次的索賠大小，{(ζ(t)，Nt)，t≥0} 構(gòu)成Markov到達(dá)過程(Markov Arrival Process，MArP)。在狀態(tài)空間Eζ×N上，存在矩陣,滿 足Q=Q(0)+Q(1)，對所有i∈Eζ，有,令,對j≠i∈Eζ,有表示ζ由i轉(zhuǎn)移至j時，沒有索賠發(fā)生的轉(zhuǎn)移速率；對所有i，j∈Eζ,有表示ζ由i轉(zhuǎn)移至j時，有索賠發(fā)生的轉(zhuǎn)移速率。

基于以上的假定，我們稱風(fēng)險(xiǎn)過程(1)為隨機(jī)環(huán)境下的MArP風(fēng)險(xiǎn)過程。本文同時假定索賠具有PH分布，由于PH分布對有限混合具有封密性，同時對于一切具有正支撐分布類稠密，因而這類索賠假設(shè)更具一般性及概括性。不失一般性，設(shè)ζ由i轉(zhuǎn)移至j時發(fā)生的索賠額的分布為PH(βij，Bij),i，j∈Eζ,顯然，記PH分布潛在Markov過程的瞬間狀態(tài)空間為EP={1 ，2，…，n} 。

本文總是假定風(fēng)險(xiǎn)過程⑴滿足正的安全負(fù)荷條件:

對i，j∈Eζ，μij是分布PH(βij，Bij)的數(shù)學(xué)期望，即μij=-βij(Bij)-1e，e是維數(shù)適當(dāng)?shù)膯挝涣邢蛄?，設(shè)π是ζ的平穩(wěn)分布，即 πQ=0，πe=1。其中,π=(π1，π2，...，πm)。

本文提出并建立了外界隨機(jī)因素影響下具有不確定收入且索賠服從PH分布的MArP風(fēng)險(xiǎn)過程，即引入兩個隨機(jī)境過程，它們分別對過程的保費(fèi)收入以及索賠次數(shù)和大小產(chǎn)生影響，選擇合適的Q(k)，k=0，1及PH分布形式，減弱某些相關(guān)程度條件，風(fēng)險(xiǎn)過程(1)可簡化為經(jīng)典風(fēng)險(xiǎn)模型，及其它風(fēng)險(xiǎn)模型的各種形式。

風(fēng)險(xiǎn)過程的一般的分析方法是通過過程的更新特點(diǎn)獲得相關(guān)的微分-積分方程，通過求解微分方程求得破產(chǎn)相關(guān)量，在求解中，特征方程的特征根求解十分重要，但特征根的求解具有不穩(wěn)定性，它對整個運(yùn)算結(jié)果影響很大。隨機(jī)流體模型（Stochastic Fluid Model,SFM）是目前研究十分活躍的領(lǐng)域，它已被成功應(yīng)用網(wǎng)絡(luò)通訊、柔性制造、供應(yīng)鏈、火災(zāi)防控、風(fēng)險(xiǎn)理論等領(lǐng)域。Asmussen[1]于1995年首次采用SFM來分析風(fēng)險(xiǎn)過程，同時，SFM的求解也存在著穩(wěn)定及收斂速度快的算法[2,3]。Badescu[4,5]、Ramaswami[6]等將這一方法推廣應(yīng)用于各種風(fēng)險(xiǎn)過程。采用SFM理論來求解風(fēng)險(xiǎn)過程，回避了特征方程的求解問題，通過SFM與QBD的相似性，可直觀地分析求解出相應(yīng)的性能指標(biāo)量。Badescu和Ramaswami等的方法主要處理保費(fèi)收入恒定為γ的風(fēng)險(xiǎn)過程，將風(fēng)險(xiǎn)過程轉(zhuǎn)化為SFM。即將每次的賠付Ki假定為不是一次瞬間付清,而是以速率γ連續(xù)支付Kiγ個時間單位長度。從而風(fēng)險(xiǎn)過程轉(zhuǎn)化為對應(yīng)的SFM，根據(jù)轉(zhuǎn)化方法，SFM的樣本路徑中上升階段與下降階段存在一定的比例關(guān)系，從而根據(jù)這一比例關(guān)系求解破產(chǎn)時間，但是這一方法存在一個缺陷，即當(dāng)保費(fèi)收入不以線性收取，或逐段不同斜率的線性收取時，此時，整個隨機(jī)流體的上升階段與下降階段就不存在對應(yīng)的比例關(guān)系，因此，針對本文提出的保費(fèi)不確定風(fēng)險(xiǎn)過程，利用上述轉(zhuǎn)化為SFM以后，由于保費(fèi)收入的隨機(jī)性，從而使得相應(yīng)的的SFM中樣本路徑的上升階段與下降階段不再具有聯(lián)系，從而這種方法對(1)所定義的風(fēng)險(xiǎn)過程失效。

針對Asmussen等提出方法的缺陷，即受二維隨機(jī)流體模型(Stochastic 2-Dimensional Fluid Model,2D-SFM)[7]的啟發(fā)，本文提出一種新的破產(chǎn)時間的轉(zhuǎn)換方法，這一方法完全克服了上述方法的不足，這一思想簡單來說，即我們不依賴于SFM的上升與下降階段的比例關(guān)系求解破產(chǎn)時間，而是給SFM定義一個計(jì)時器，當(dāng)過程處于上升階段時（即風(fēng)險(xiǎn)過程變化過程），此時讓計(jì)時器進(jìn)行計(jì)時，當(dāng)過程處于下降階段時（對應(yīng)賠付），則讓計(jì)時器停止。從而當(dāng)SFM水平達(dá)到零時計(jì)時器上所記錄的時間即對應(yīng)為相應(yīng)風(fēng)險(xiǎn)過程的破產(chǎn)時間。

1 模型

設(shè) (J，Y)={(J(t)，Y(t))，t≥0}是隨機(jī)流體模型(SFM)，即J={J(t)，t≥0}是狀態(tài)空間為E={1，2，…N}，N＜∞,轉(zhuǎn)移率矩陣為T,平穩(wěn)分布為 π=(π1，π2，…πN)的非周期不可約的Markov過程，稱J為背景過程，連續(xù)過程Y={Y(t)，t≥0}稱為水平過程，表示流體介質(zhì)的容量，其中Y的變化受過程J的控制，在t時刻，J(t)=i，設(shè)，

其中，B為任意給定正數(shù)，稱為Y的上界，表示容器最大容量。

(J，Y)的具體演變過程如下：在t時刻，J(t)=i，若0＜Y(t)＜B，則當(dāng)ci＞0時，則Y以速率ci增加，當(dāng)ci＜0時，Y以速率-ci減少，當(dāng)ci=0時，則Y不發(fā)生變化。在邊界上，當(dāng)Y(t)=0時，表示容器容量為空，故當(dāng)ci≤0時，Y保持不變直至J轉(zhuǎn)移到新的狀態(tài)j∈E，且cj＞0，Y才以速率cj增加；若Y(t)=B時，表示容器容量已經(jīng)充滿，故當(dāng)ci≥0時，Y保持不變直至J轉(zhuǎn)移到新的狀態(tài)j∈E，且cj＜0，Y才以速率 -cj減少，當(dāng)B=∞ 時，稱 (J，Y)為無限容量的SFM。

引入另一過程 (J，X)={(J(t)，X(t))，t≥0} ，在t時刻，J(t)=i，設(shè)，從而，

不妨，設(shè)X(0)=0，顯然，X(t)∈(-∞，+∞)，稱X為Y的伴隨累積過程，可見，當(dāng)給定J(t)=i時，X與Y是條件獨(dú)立的。于是稱 (J，X，Y)={(J(t)，X(t)，Y(t))，t≥0} 是二維隨機(jī)流體隊(duì)列模型(2D-SFM)。

2D-SFM由Nigel G.Bean等[7]2013年提出，它推廣了傳統(tǒng)的SFM，即系統(tǒng)中除了水平過程Y，又引入連續(xù)的性能測度過程X，其中X與當(dāng)前背景過程J相關(guān)，也可與過程Y相關(guān)（本文不考慮這類情況），如可用X描述過程Y所對應(yīng)的收益，效用等的累積過程等，2D-SFM延拓了傳統(tǒng)SFM的實(shí)際應(yīng)用范圍，本文將利用這一模型來分析隨機(jī)保費(fèi)下索賠服從PH分布的MArP風(fēng)險(xiǎn)過程的破產(chǎn)時間的LST變換表示式。

對狀態(tài)空間E作如下分類E1={i∈E，ci＞0}，E2={i∈E，ci＜0} ，E3={i∈E，ci=0}，對應(yīng)于E=E1∪E2∪E3，將T作如下分解：,相應(yīng)地，令C1=diag(ci，i∈E1) ，C2=diag(ci，i∈E2)，R1=diag(ri，i∈E1) ，R2=diag(ri，i∈E2) ，R3=diag(ri，i∈E3)，設(shè)符號A為矩陣，本文記Aij為A的分塊矩陣，記[A]ij為矩陣A的第i行j列元素。

本文主要研究累積過程X的LST，給出如下定義:

下面給出幾個常用的基本矩陣[7]，設(shè)：

對y＞0 的解析式，顯然成立如下結(jié)論,詳細(xì)證明讀者可參閱文獻(xiàn)[7]：即對y＞0，有如下等式成立：

從上式可見，φ(s)在2D-SFM指標(biāo)量的計(jì)算中具有十分重要的地位，下一結(jié)論給出了φ(s)的計(jì)算方法[7]。即φ(s)滿足如下方程：

上述方程稱為Riccati方程，文獻(xiàn)[7]給出了此方程的高效算法。

2 風(fēng)險(xiǎn)過程轉(zhuǎn)換2D-SFM

下面將風(fēng)險(xiǎn)過程(1)轉(zhuǎn)化為2D-SFM(J，X，Y)，在發(fā)生索賠時，每次的賠付Ki假定為不是一次瞬間付清,而是以速率1連續(xù)支付Ki個時間單位長度。于是風(fēng)險(xiǎn)過程轉(zhuǎn)換成SFM[1]，記為(J，Y)，其中環(huán)境過程J的狀態(tài)空間為：E=Eζ∪(Eζ×Eζ×EP)，J的初始分布為α=( )αζ，0 ，0 是適當(dāng)維數(shù)的零向量，當(dāng)J(t)=i∈Eζ時，Y對應(yīng)的速率為ci=ui≥0 ，X對應(yīng)的速率為ri=1；當(dāng)J(t)=(i，j，l)∈Eζ×Eζ×EP時，Y對應(yīng)的速率為ci=-1，X對應(yīng)的速率為ri=0。定義過程計(jì)時器X，當(dāng)J(t)=i∈Eζ時，X對應(yīng)的速率為ri=1；當(dāng)J(t)=(i，j，l)∈Eζ×Eζ×EP時，X對應(yīng)的速率為ri=0。于是過程X對應(yīng)于風(fēng)險(xiǎn)過程(1)的演變時間，于是，由此構(gòu)造相應(yīng)的2D-SFM(J，X，Y)。相應(yīng)的SFM的狀態(tài)轉(zhuǎn)移率矩陣T如下構(gòu)造[8]，對l，v∈Eij,i，j∈E有:

表1 隨機(jī)流體階段狀態(tài)轉(zhuǎn)移率

從而，風(fēng)險(xiǎn)過程(1)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的2D-SFM(J，X，Y)，我們可以用2D-SFM理論來對風(fēng)險(xiǎn)過程(1)進(jìn)行研究。

定義：θ=inf{t＞ 0，Ut=0|U0=u} 表為風(fēng)險(xiǎn)過程(1)的破產(chǎn)時刻。

記Γi(x，u)=P{θ≤x|U0=u，J(0)=i},i∈Eζ，從 而Γi(x，u)表示風(fēng)險(xiǎn)過程（1）初始狀態(tài)J(0)=i及初始盈余U0=u時破產(chǎn)時間的分布函數(shù)，設(shè)LST變換

于是我們得到破產(chǎn)時間的LST，我們有如下結(jié)論成立：

定理 對于風(fēng)險(xiǎn)過程（1），給定初始狀態(tài)J(0)∈Eζ及初始盈余U0=u時，破產(chǎn)時間的LST的表示式：

證明：由式(3)-(5)，上述結(jié)論顯然。

上結(jié)論給出了破產(chǎn)時間的LST，通過對LST取逆[9]，即可得到破產(chǎn)時間的概率密度函數(shù)。

3 數(shù)值實(shí)例

下面給出一數(shù)值實(shí)例：考慮風(fēng)險(xiǎn)過程，設(shè)背景過程Eζ={1，2}，即1表示高風(fēng)險(xiǎn)外界環(huán)境狀態(tài)，對應(yīng)保費(fèi)率為u1；2表示高風(fēng)險(xiǎn)外界環(huán)境狀態(tài)，對應(yīng)保費(fèi)率為u1，定義初始盈余為，狀態(tài)1轉(zhuǎn)移至狀態(tài)2時對應(yīng)的索賠分布為PH(β12，B12)，其中，，狀態(tài)2轉(zhuǎn)移至狀態(tài)1時對應(yīng)的索賠分布為均值為0.25的指數(shù)分布.于是：

根據(jù)定理，我們可以計(jì)算得到相應(yīng)的破產(chǎn)概率密度函數(shù)。

如圖圖(a)-(d)揭示了在不同背景過程下的概率密度函數(shù)，其中(a)-(d)對應(yīng)保費(fèi)率(u1，u2)分別為(2,2),(5,5),(1,5)和(2,5)。從圖中可以看出，當(dāng)保費(fèi)率不發(fā)生變化時，如圖（a）,保費(fèi)率均為2，此時，概率密度函數(shù)差別不大，說明環(huán)境過程對破產(chǎn)時間影響不顯著，但當(dāng)將保費(fèi)調(diào)至5時，如圖(b)，我們可以看出，此時概率密度函數(shù)差別明顯，在圖(c)和圖(d)中，在相同的環(huán)境過程狀態(tài)下，不同的保費(fèi)率導(dǎo)致不同的破產(chǎn)時間分布，圖(a)-(d)說明，在進(jìn)行風(fēng)險(xiǎn)管理時，考慮外界隨機(jī)環(huán)境的影響是必要的，對于不同的外界環(huán)境，我們考慮對應(yīng)的不同的保費(fèi)率機(jī)制以規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)。

4 結(jié)論

本文提出并建立了保費(fèi)受外界隨機(jī)因素影響下索賠服從PH分布的MArP風(fēng)險(xiǎn)過程，本文給出了一種破產(chǎn)時間計(jì)算的新方法，即將風(fēng)險(xiǎn)過程轉(zhuǎn)化為2D-SFM(J，Y，X)，同時設(shè)計(jì)一個與風(fēng)險(xiǎn)過程破產(chǎn)時間同步變化的計(jì)時過程X，使得X僅對我們感興趣的時間段進(jìn)行計(jì)時，從而，得到了這一風(fēng)險(xiǎn)過程的破產(chǎn)時間的LST變換表示式，本文最后給出了破產(chǎn)時間的數(shù)值計(jì)算實(shí)例。本文的結(jié)論具有實(shí)際可操作性，這些結(jié)論對于保險(xiǎn)公司分析外界隨機(jī)因素對保險(xiǎn)業(yè)務(wù)的經(jīng)營及管理的影響提供了理論基礎(chǔ)，對保險(xiǎn)人規(guī)避風(fēng)險(xiǎn)，穩(wěn)健經(jīng)營具有重要指導(dǎo)意義。本文提出的這一方法還可推廣至其它風(fēng)險(xiǎn)過程，如可以考慮帶紅利分配，稅收等情況下的風(fēng)險(xiǎn)過程，同時，這一方法也可用于網(wǎng)絡(luò)通信，供應(yīng)鏈、存儲論等相關(guān)領(lǐng)域。

[1]Asmussen S.Stationary Distributions Via First Passage Times[J].In Advances in Queueing:Theory,Methods,and Open Problems,ed.Dshalalow[M].CRC Press,Boca Raton,FL,1995.

[2]Ramaswami V.Matrix Analytic Methods for Stochastic Fluid flows.Proceedings of The 16th International Teletraffic Congress[J].Edinburgh,1999,(7-11).

[3]Bean N G,O’Reilly M M,Taylor P G.Algorithms for The Laplace-Stieltjes Trans Forms of first Return Probabilities for Stochastic Fluid Flows[J].Methodology and Computing in Applied Probability 2008,10(3).

[4]Badescu A L,Breuer L.et al.Risk Processes Analyzed As Fluid Queues[J].Scand.Actuar,2005,15(1).

[5]Badescu A L,David L.Applications of Fluid Flow Matrix Analytic Methods in Ruin Theory A Review[J].Rev.R.Acad.Cerie A.Mat.2009,103(2).

[6]Ramaswami V.Passage Times in Fluid Models with Application to Risk Processes[J].Methodol.Comput.Appl.Probab,2006,8(4).

[7]Nigel G,Bean-Ma?gorzata M,O'Reilly.A Stochastic Two-Dimensional Fluid Model[J],Stochastic Models,2013,29(1).

[8]Latouche G,Ramaswami V.Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modeling[M].Sayam:Phladelphia,1999．

[9]Abate J,Whitt W.Numerical Inversion of Laplace Transforms of Probability Distributions[J].ORSA Journal on Numerical Merhods and Computer Applications,1995,7(1).