一種基于修正西原模型的凍土蠕變本構(gòu)關(guān)系

孫 凱 ，陳正林 ，陳 劍 ，徐學(xué)燕

（1.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 結(jié)構(gòu)工程災(zāi)變與控制教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，黑龍江 哈爾濱 150090；2.哈爾濱工業(yè)大學(xué) 土木工程學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150090）

1 引 言

凍土通常由土顆粒、孔隙氣、冰以及未凍水組成。由于冰和未凍水的存在，凍土在外部環(huán)境因素的變化時(shí)通常表現(xiàn)出流變特性[1－2]。凍土的蠕變是凍土流變特性的一個(gè)重要表現(xiàn)，近年來隨著在多年凍土區(qū)一系列重要工程的逐步開展、人工凍結(jié)法施工技術(shù)的廣泛應(yīng)用，凍土在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，尤其是高應(yīng)力水平下的蠕變變形計(jì)算成為一個(gè)非常重要的研究課題。凍土的蠕變是非常復(fù)雜的一種現(xiàn)象，土的類型、密度、含水率、溫度及應(yīng)力狀態(tài)等因素都會(huì)影響凍土的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系[3]。研究結(jié)果表明[4]，凍土在恒定應(yīng)力作用下蠕變過程可以分為兩個(gè)階段：減速蠕變階段（變形速率隨時(shí)間降低）和穩(wěn)態(tài)蠕變階段（變形速率近似為常數(shù)）。某些情況下，尤其是高應(yīng)力水平下，土顆粒的破碎、冰晶體的破碎、冰-土膠結(jié)體結(jié)構(gòu)性的損傷以及冰在高應(yīng)力作用下的融化都會(huì)導(dǎo)致凍土原有結(jié)構(gòu)的破壞而導(dǎo)致蠕變進(jìn)入加速階段。在加速蠕變階段，變形速率加速增長，而這種蠕變會(huì)導(dǎo)致試樣的迅速破壞。

基于元件模型的流變模型理論由于其概念直觀也被廣泛應(yīng)用于描述巖土材料的蠕變特性。經(jīng)典的模型有Kelvin 模型、Burgers 模型、Bingham 模型以及Nishihara 模型等。這些經(jīng)典元件模型中通常認(rèn)為模型參數(shù)是定常數(shù)，無法很好地描述蠕變的全過程，尤其是對(duì)加速蠕變階段的描述[5]。康永剛[6]采用非定常、非牛頓黏性元件代替冪律型黏性元件描述加速蠕變。汪仁和等[7]在Nishihara 模型中采用非牛頓黏性元件代替牛頓黏性元件來描述凍土一維加速蠕變狀態(tài)。

凍土的蠕變是典型的非線性流變，即應(yīng)力-應(yīng)變的等時(shí)曲線不是直線或折線，應(yīng)力水平的變化和時(shí)間的變化都能引起非線性，且應(yīng)力和時(shí)間對(duì)非線性的影響是耦合的。凍土的蠕變機(jī)制非常復(fù)雜，如果考慮到這些因素，建立的模型形式上將非常復(fù)雜，同時(shí)也不容易推廣到三維應(yīng)力狀態(tài)。因此基于元件模型，在黏滯系數(shù)中引入時(shí)間和應(yīng)力水平的影響，根據(jù)凍土的蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)擬合，進(jìn)而建立簡單而適用的凍土的蠕變本構(gòu)關(guān)系。本文首先基于Nishihara 模型，采用非定常的黏性元件（見圖1）。將黏彈性元件的黏滯系數(shù)修正為時(shí)間的函數(shù)，將黏塑性元件的黏滯系數(shù)修正為應(yīng)力水平和時(shí)間的函數(shù)，建立起凍土的一維蠕變方程，進(jìn)而推廣到三維應(yīng)力狀態(tài)。通過與試驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)比，無論是一維還是三維應(yīng)力狀態(tài)，該模型均能夠較好地反映凍土蠕變過程中的衰減、穩(wěn)定和加速階段。

圖1 非線性Nishihara 模型Fig.1 Nonlinear Nishihara model

2 改進(jìn)的凍土一維蠕變模型

Nishihara 模型被廣泛應(yīng)用于描述巖土材料的流變特性，能夠描述衰減和穩(wěn)態(tài)蠕變過程，但不能反映加速蠕變。Nishihara 模型由一個(gè)廣義Kelvin 體和一個(gè)黏塑性體串聯(lián)而成，通過將其中的黏性元件修正來描述凍土的非線性蠕變特性。

2.1 非定常的廣義Kelvin 體

Kelvin 體把一個(gè)彈簧和一個(gè)黏性元件的并聯(lián)，可以定性地描述蠕變過程中的衰減蠕變和穩(wěn)態(tài)蠕變，但Kelvin 體在許多情況下不能很好地定量描述這兩個(gè)階段。根據(jù)試驗(yàn)結(jié)果分析，凍土蠕變具有非線性蠕變特征，且其非線性程度與蠕變時(shí)間有關(guān)，由于蠕變過程中黏滯系數(shù)將隨時(shí)間增加而發(fā)生硬化增大的規(guī)律[6]。本文假設(shè)黏滯系數(shù)的方程符合：

式中：η10、m、n為材料參數(shù)，且m≥0，n≥0；t為蠕變時(shí)間。

式（1）對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得

表明η1(t)單調(diào)遞增。

由式（1）可知，當(dāng)t=0 時(shí)，η1(t)=0 ；當(dāng)t→∞時(shí)，η1(t)→ η10，說明當(dāng)t 從0→∞時(shí)，η1(t)單調(diào)遞增至η10。黏滯系數(shù)增大會(huì)導(dǎo)致土的蠕變速率逐漸減小，反映了土體在低應(yīng)力狀態(tài)下的衰減和穩(wěn)態(tài)蠕變過程[8]。非定常的Kelvin 體本構(gòu)方程為

式中：E1為Kelvin 體中彈簧的模量。

在常應(yīng)力條件下對(duì)式（3）分離變量求定積分（t=0,ε0=0 ），得到非定常Kelvin 體的蠕變?nèi)崃浚?/p>

黏性元件滿足式（1），代入式（4）可得

此時(shí)，修正后的具有非定常黏滯系數(shù)的Kelvin體退化為經(jīng)典的定常Kelvin 體。非定常的Kelvin體主要描述減速蠕變和穩(wěn)態(tài)蠕變。

2.2 改進(jìn)的非線性黏塑性體

凍土的流變具有牛頓黏性元件特征，由于凍土流變過程中最終要經(jīng)過加速蠕變階段而發(fā)生結(jié)構(gòu)變形破壞，更多地表現(xiàn)出非牛頓黏性元件的特性[9]。許多關(guān)于凍土蠕變的研究也表明，應(yīng)力水平是影響凍土強(qiáng)度和變形的重要因素[3－4]。應(yīng)力水平的提高會(huì)導(dǎo)致冰的融化、冰與土顆粒黏結(jié)的破壞、冰晶體的破碎甚至土顆粒的破碎，影響土的蠕變特性，進(jìn)而這些因素的影響會(huì)反映在凍土的黏滯系數(shù)的變化中。

為了描述凍土的加速蠕變過程，本文引進(jìn)一種黏塑性體（見圖1），由非定常的、非牛頓的黏性體與塑性體并聯(lián)。當(dāng)應(yīng)力σ <σs（屈服應(yīng)力）時(shí)，塑性體不發(fā)生應(yīng)變，此時(shí)，黏性體不起作用；當(dāng)σ >σs時(shí)，塑性體屈服，摩擦面滑移。非定常、非牛頓黏性元件的本構(gòu)方程可以表示為

假設(shè)黏滯系數(shù)η2(t)滿足：

式中：η20、v為常數(shù)。常應(yīng)力作用下將式（8）代入式（7）后，分離變量求積分（當(dāng)t=0,ε0=0）,可以得到蠕變?nèi)崃康谋磉_(dá)式為

由式（9）可見，蠕變過程是與初始應(yīng)力和蠕變時(shí)間有關(guān)的。本文用式（9）的蠕變函數(shù)來描述非定常、非牛頓黏塑性體的蠕變過程。

2.3 改進(jìn)的非定常的Nishihara 模型

為了描述凍土蠕變的全過程，將描述衰減蠕變和穩(wěn)態(tài)蠕變的非定常Kelvin體與描述加速蠕變的黏塑性體串聯(lián)，給出一種改進(jìn)的非定常的Nishihara模型。如圖1 所示，當(dāng)應(yīng)力水平小于屈服應(yīng)力時(shí)蠕變?nèi)崃繛?/p>

當(dāng)應(yīng)力水平大于屈服應(yīng)力時(shí)蠕變?nèi)崃繛?/p>

本文擬合了不同應(yīng)力水平下凍土單軸壓縮蠕變的數(shù)據(jù)[2]，如圖2 所示，模型參數(shù)見表1。圖2 中，蠕變?cè)囼?yàn)的壓力從2.7 MPa 增長至3.5 MPa。當(dāng)壓力在2.7 MPa 時(shí)，凍土表現(xiàn)為衰減蠕變和穩(wěn)定蠕變2 個(gè)階段；當(dāng)壓力增長至3.0 MPa 時(shí)，凍土經(jīng)過衰減蠕變和穩(wěn)態(tài)蠕變后進(jìn)入加速蠕變階段；當(dāng)壓力增長至3.5 MPa 時(shí)，凍土蠕變的前兩個(gè)階段不明顯，直接進(jìn)入加速蠕變狀態(tài)直至破壞。與定常數(shù)的Nishihara 模型相比，修正的Nishihara 模型能夠具有較好的適用性和較高的精度。

3 凍土三維蠕變模型

在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下流變本構(gòu)模型難于用形象化的元件模型描述，一些研究表明其流變本構(gòu)方程與一維模型的形式是一致的，采用類比的方法推導(dǎo)出三向應(yīng)力狀態(tài)下凍土的流變本構(gòu)模型。這種方法在研究三維應(yīng)力狀態(tài)下的流變本構(gòu)關(guān)系時(shí)得到了廣泛應(yīng)用[7]。

圖2 一維凍土蠕變?cè)囼?yàn)和模型預(yù)測結(jié)果Fig.2 Experiment and predicted results of uniaxial creep behavior of frozen soil

三軸蠕變?cè)囼?yàn)結(jié)果表明，各向同性且均勻的材料的蠕變是由剪切變形控制，如果忽略蠕變過程中的體應(yīng)變，當(dāng)主剪應(yīng)變速率與主剪應(yīng)力成比例時(shí)，復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變速率可表示[10－11]為

式中：Sij為偏應(yīng)力張量；J2為偏應(yīng)力張量的第二應(yīng)力不變量。

單軸蠕變的本構(gòu)方程是三軸蠕變的特殊形式，通過單軸蠕變時(shí)的應(yīng)力狀態(tài)：σ1=σ，σ2=σ3=0可以推導(dǎo)出f(J2)的表達(dá)式，再代入式（13）中可以獲得凍土三軸蠕變本構(gòu)方程。一些學(xué)者也采用過類似的方法[12]。

單軸壓縮狀態(tài)下的偏應(yīng)力張量的第二應(yīng)力不變量簡化為

將式（14）代入式（13），可得凍土的蠕變速率：

單軸狀態(tài)下當(dāng)應(yīng)力水平小于屈服應(yīng)力時(shí)，凍土只有減速蠕變和穩(wěn)定蠕變兩個(gè)階段，此時(shí)式（11）為凍土的蠕變方程，對(duì)式（11）求導(dǎo)，可得蠕變應(yīng)變速率：

由式（15）和式（16）可得

將式（17）代入式（13）可得

三軸狀態(tài)下試驗(yàn)測得土的體積不變，考慮凍土初始瞬時(shí)彈性變形，將式（18）對(duì)時(shí)間積分可得凍土在復(fù)雜應(yīng)力下的修正的廣義Kelvin 模型本構(gòu)方程：

即為當(dāng)應(yīng)力水平小于屈服應(yīng)力時(shí)凍土在三軸狀態(tài)下的蠕變方程。與單軸狀態(tài)類似，當(dāng)應(yīng)力水平未到達(dá)屈服條件時(shí)，凍土只有衰減蠕變和穩(wěn)定蠕變兩個(gè)階段。

同理，單軸狀態(tài)下當(dāng)達(dá)到屈服條件時(shí)，凍土蠕變包括衰減蠕變，穩(wěn)定蠕變和加速蠕變3 個(gè)階段，此時(shí)式（12）是凍土蠕變方程，對(duì)式（12）求導(dǎo)，可得應(yīng)變速率：

由式（15）、（20）可得

將式（21）代入式（20）可得

三軸狀態(tài)下試驗(yàn)測得土的體積不變，考慮凍土初始瞬時(shí)彈性變形，對(duì)式（22）積分可得凍土在復(fù)雜應(yīng)力下的修正的Nishihara 模型本構(gòu)方程：

即為應(yīng)力水平大于屈服應(yīng)力時(shí)凍土在三軸狀態(tài)下的蠕變方程。

式（19）、（23）為凍土在復(fù)雜應(yīng)力下的蠕變本構(gòu)方程。本文擬合了凍土在三軸應(yīng)力狀態(tài)下的蠕變?cè)囼?yàn)數(shù)據(jù)（溫度為-10℃，圍壓為7 MPa）[4]如圖3所示，模型的材料參數(shù)見表2。由預(yù)測數(shù)據(jù)與試驗(yàn)結(jié)果可以看出，模型對(duì)試驗(yàn)數(shù)據(jù)有較好的描述。在低應(yīng)力下的試樣開始表現(xiàn)出衰減蠕變，隨后進(jìn)入穩(wěn)定蠕變階段；隨著應(yīng)力水平增加，土體的衰減階段和穩(wěn)定蠕變過程較短；當(dāng)應(yīng)力水平達(dá)到一定程度時(shí)，土體進(jìn)入加速蠕變階段而迅速發(fā)生破壞。

圖3 三維凍土蠕變?cè)囼?yàn)和模型預(yù)測結(jié)果Fig.3 Experiment and predicted results of the triaxial creep behavior of frozen soil

表1 一維蠕變?cè)囼?yàn)中的模型參數(shù)Table 1 Parameters of the model in uniaxial creep condition

表2 三維蠕變狀態(tài)中的模型參數(shù)Table 2 Parameters of the model in triaxial creep condition

4 結(jié) 語

采用一種改進(jìn)的非定常、非牛頓的黏性元件代替Nishihara 模型中的黏性元件進(jìn)而建立起一維黏彈塑性凍土蠕變本構(gòu)關(guān)系，得到的蠕變?nèi)崃渴菓?yīng)力水平與時(shí)間的函數(shù)，能夠較好地描述高應(yīng)力水平下凍土的加速蠕變的特性。

通過類比法建立起應(yīng)變速率與偏應(yīng)力張量的函數(shù)關(guān)系，進(jìn)而將提出的一維黏彈塑性模型擴(kuò)展到復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下。

本文提出的一維和三維模型能較好地描述凍土在單軸以及三軸蠕變?cè)囼?yàn)中以及不同應(yīng)力水平狀態(tài)下的各種類型的蠕變特性，說明提出的模型在不同應(yīng)力狀態(tài)、不同應(yīng)力水平下都具有較好的適用性。

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