抓問(wèn)題特征，簡(jiǎn)單解答求數(shù)列通項(xiàng)公式問(wèn)題

（酒泉師范學(xué)校735000）

抓問(wèn)題特征，簡(jiǎn)單解答求數(shù)列通項(xiàng)公式問(wèn)題

朱 鴻（酒泉師范學(xué)校735000）

抓問(wèn)題特征，簡(jiǎn)單解答求數(shù)列通項(xiàng)公式的問(wèn)題。

數(shù)列特征求法

求數(shù)列的通項(xiàng)公式是學(xué)習(xí)數(shù)列知識(shí)的難點(diǎn)，通常表現(xiàn)出來(lái)的問(wèn)題是教師講解，學(xué)生能聽(tīng)懂，但遇到問(wèn)題學(xué)生不會(huì)自己解答。這主要是學(xué)生對(duì)求數(shù)列通項(xiàng)公式問(wèn)題的特征沒(méi)有很好的把握，見(jiàn)了問(wèn)題辨認(rèn)不清造成的。要很好地解決這個(gè)問(wèn)題，首先應(yīng)掌握問(wèn)題的特征，然后再掌握求解的思路和方法。下面筆者就一些常見(jiàn)的簡(jiǎn)單的求數(shù)列通項(xiàng)公式問(wèn)題的解答略作總結(jié)。

一、觀察數(shù)列中各項(xiàng)的特征，求數(shù)列的通項(xiàng)公式

這類問(wèn)題的特征是給出一個(gè)數(shù)列的前幾項(xiàng)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。一般在給出的前幾項(xiàng)中，存在著豐富的信息，對(duì)此，我們只要抓住最具特征的信息，以此為突破口，就能很容易地找到第n項(xiàng)an與項(xiàng)數(shù)n之間的關(guān)系，求出通項(xiàng)公式。

二、利用等差或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式

這類問(wèn)題的特征是數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列，是求數(shù)列通項(xiàng)公式中最簡(jiǎn)單的一類問(wèn)題，根據(jù)等差數(shù)列或等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求解即可。

三、利用an與Sn之間的關(guān)系，求數(shù)列的通項(xiàng)公式

第一步：當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1；

第二步：當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1；

解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=3

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n+1

把n=1代入n≥2時(shí)的通項(xiàng)，得a1=3=S1，所以，an=2n+1。

（2）當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=6

當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn-Sn-1=2n+1

（2）當(dāng)n＝1時(shí)，10a1＝10S1＝a21+5a1+6，解之，得a1＝2或a1＝3。

當(dāng)n≥2時(shí)，10an＝10Sn-10Sn-1＝a2n+5an+6-a2n-1-5an-6

即（an+an-1）（an-an-1-5）＝0

又∵a1，a3，a15成等比數(shù)列∴an＝5n-3

∴｝的前n項(xiàng)和為Sn，滿足4Sn＝a2n+1-4n-1，n∈N*且a2，a5，a145構(gòu)成等比數(shù)列,求數(shù)列an｛｝的通項(xiàng)公式。

解：當(dāng)n＝1時(shí)，4a1＝4S1=a22-5,a22=4a1+5，

當(dāng)n≥2時(shí)，即4an＝4Sn-4Sn-1=a2n+1-a2n-4，a2n+1=（an+2）2

∵an＞0∴an+1＝an+2∴n≥2時(shí)，數(shù)列an｛｝是等差數(shù)列。

又∵a2，a5，a14是等比數(shù)列,∴a25＝a2a14，即（a2+6）2＝a2（a2+24），解得a2＝3

又a22＝4a1+5∴9＝4a1+5，a1=1∴a2-a1＝2∴an｛｝是等差數(shù)列

∴an＝2n-1

四、已知數(shù)列的遞推公式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式

已知數(shù)列的遞推公式，求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，要求記住三點(diǎn)：記住遞推公式的特征；記住求解思路；記住求解方法，最關(guān)鍵是記住遞推公式的特征。

（一）已知數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)a1及遞推公式an+1= an+f（n），求通項(xiàng)公式

1．遞推公式特征：an+1=an+f（n）；

2．求解思路與求解方法：累加法或疊加法。

例5在數(shù)列｛an｝中，已知a1=1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝an-1+2n+1，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。

解：當(dāng)n≥2時(shí)，

an＝a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）＝1+3+ 5+…+（2n-1）＝n2

把n＝1代入上式，得a1＝1，與已知相符，所以an＝n2。

1．遞推公式特征：an+1＝f（n）an。

2．求解思路與求解方法：累乘法或疊乘法。

例6在數(shù)列｛an｝中，已知a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí), nan-1＝（n+1）an，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式。

（三）已知數(shù)列的一元二次字母系數(shù)方程，通過(guò)解方程得出遞推公式an+1＝f（n）an，再利用累乘法求出數(shù)列｝的通項(xiàng)公式。

例7在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an｛｝中,a1＝2,，求an。

把n＝1代入上式，得a1＝2，與已知相符，所以an＝2n。

（四）已知數(shù)列an｛｝的首項(xiàng)a1及遞推公式an+1＝pan+q（p≠0且，p≠L,q≠0），求通項(xiàng)公式

1.遞推公式特征：an+1＝pan+q（p≠0且，p≠L, q≠0）。

例8已知數(shù)列an｛｝的通項(xiàng)。(an＝2n+1-3)

解：遞推公式可化為an+1+3＝2（an+3）∴數(shù)列｛｝中，a1＝1，2an+3求數(shù)列an an+3｛｝的首項(xiàng)a1及遞推公式an+1＝ManN（an＞0，M＞0），求通項(xiàng)公式

1.遞推公式特征：an+1＝ManN（an＞0，M＞0）2.求解思路與求解方法：通過(guò)兩邊取對(duì)數(shù)｛｝是首項(xiàng)為4等比數(shù)列。

∴an+3＝2n+1∴an＝2n+1-3

例9已知數(shù)列an｛｝滿足a1＝c＞0,an+1＝an3+ 3an2+3an（n∈N*）求數(shù)列的通項(xiàng)公式。

解：遞推公式可化為an+1+1＝（an+1）3……（1）

∵a1＞0∵a1＝c＞0,an+1＝an3+3an2+3an（n∈N*），∴an＞0

∴給（1）兩邊對(duì)數(shù)，得lg（an+1+1）＝3lg（an+1）

∴l(xiāng)g（an+1+1｛｝）是公比為3，首相為lg（c+1）的等比數(shù)列

∴l(xiāng)g（an+1）＝lg（c+1）3n-1＝lg（c+1）3n-1∴an+1＝（c+1）3n-1-1

（六）已知數(shù)列an｛｝的首項(xiàng)a1及遞推公式an+1＝pan+qn（pq(p-1)（q-1）≠0），求通項(xiàng)公式

1.遞推公式特征：an+1＝pan+qn（pq(p-1)（q-1）≠0）。

1.遞推公式特征：an+2＝pan+1+qan（p,q均為常數(shù)）

2.求解思路與求解方法：利用待定系數(shù)法，即令原遞推公式可化為an+2-San+1＝t(an+1-San)的形式，構(gòu)造一個(gè)以t為公比的等比數(shù)列an+1-San

（責(zé)編 趙建榮）