對(duì)一道數(shù)學(xué)高考題的多種解法的剖析與思考

楊元松（甘肅省平?jīng)鍪星f浪一中744600）

對(duì)一道數(shù)學(xué)高考題的多種解法的剖析與思考

楊元松（甘肅省平?jīng)鍪星f浪一中744600）

對(duì)高考題的探索不僅能夠更加清晰地認(rèn)識(shí)命題人的思想，尋找命題的背景材料，追根溯源，還可以開發(fā)試題的教學(xué)功效，提高教師的專業(yè)技能。每一年的高考題其實(shí)都蘊(yùn)涵著豐富的內(nèi)容。本文擬對(duì)2007年重慶卷文科11題的處理思想進(jìn)行說明，期望能達(dá)到拋磚引玉的效果，對(duì)同仁有所幫助。

該題是2014陜西卷高考第21題：設(shè)函數(shù)f (x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)。

(1)令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表達(dá)式；

(2)若f(x)≥ag(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(3)設(shè)n∈N＋，比較g(1)＋g(2)＋…＋g(n)與n－f (n)的大小，并加以證明。

下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

由①②可知，結(jié)論對(duì)n∈N＋成立。

(2)已知f(x)≥ag(x)恒成立，即ln(1＋x)≥恒成立。設(shè)φ(x)＝ln(1＋x)－ax(x≥0)，則φ′1＋x當(dāng)a≤1時(shí)，φ′(x)≥0 (僅當(dāng)x＝0，a＝1時(shí)等號(hào)成立)，

∴φ(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，又φ(0)＝0，∴φ (x)≥0在[0，＋∞)上恒成立，∴a≤1時(shí)，ln(1＋x)≥恒成立(僅當(dāng)x＝0時(shí)等號(hào)成立)。當(dāng)a＞1時(shí)，對(duì)x∈(0，a－1]有φ′(x)＜0，∴φ(x)在(0，a－1]上單調(diào)遞減，∴φ(a－1)＜φ(0)＝0.，即a＞1時(shí)，存在x＞0，使φ (x)＜0，故知ln(1＋x)≥不恒成立。

綜上可知，a的取值范圍是(－∞，1]。

高考試題中我們看到導(dǎo)數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要作用和地位。不僅如此從近幾年新課程高考試題中也反映出導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用已成為高考的新熱點(diǎn)，特別是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)的極大（?。┲?、求函數(shù)在連續(xù)區(qū)間上的最大值和最小值、利用求導(dǎo)解決一些實(shí)際應(yīng)用問題等考查點(diǎn)。導(dǎo)數(shù)的思想方法和基本理論有著廣泛的應(yīng)用，除對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)有重要的指導(dǎo)作用外，也能在中學(xué)數(shù)學(xué)的許多問題上起到居高臨下和以簡(jiǎn)化繁的作用。本文對(duì)2007年數(shù)學(xué)高考試題中有關(guān)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決問題的試題進(jìn)行分析，看如何運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決中學(xué)數(shù)學(xué)中相關(guān)問題：如函數(shù)單調(diào)性、最值等函數(shù)問題；在掌握導(dǎo)數(shù)的相關(guān)概念的基礎(chǔ)上應(yīng)用導(dǎo)數(shù)作出特殊函數(shù)的圖像；應(yīng)用導(dǎo)數(shù)解題的一般方法證明某些不等式的成立和解決數(shù)列的有關(guān)問題，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)所具有的幾何意義對(duì)切線相關(guān)問題及平行問題等幾何問題進(jìn)行了一些探討，并最終運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問題中的最值。

綜上所述，高三階段的學(xué)習(xí)需要我們組織學(xué)生對(duì)高考試題做更為綜合性的分析與研究。把高考試題與我們的平時(shí)教學(xué)相結(jié)合。從學(xué)生實(shí)際出發(fā)，通過對(duì)高考試題的分析與研究來提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合運(yùn)用能力以及學(xué)生對(duì)高考試題的適應(yīng)能力。當(dāng)然，我們的教學(xué)應(yīng)以提高學(xué)生的綜合能力為主，對(duì)于高考試題的分析主要是為了提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的綜合掌握，應(yīng)得到每一名數(shù)學(xué)教師的重視。

（責(zé)編 趙建榮）