定積分在物理中的簡單應(yīng)用

李立真（河北省平鄉(xiāng)縣實驗中學(xué)054500）

定積分在物理中的簡單應(yīng)用

李立真（河北省平鄉(xiāng)縣實驗中學(xué)054500）

在物理中的某些量是不規(guī)則或不均勻的，求解時會出現(xiàn)困難。必須通過其他的方法進(jìn)行簡化，才能解決此類問題，本文主要介紹定積分常常能解決物理中一些實際問題的應(yīng)用。首先介紹定積分的應(yīng)用簡述，其次定積分的定義，然后列出“微元法”在物理實際問題中的使用的條件，求解的過程以及注意的事項，最后列出四種相應(yīng)的物理模型進(jìn)一步分析說明此種應(yīng)用。定積分解決實際問題的基本思想“分割——近似代替——求和——取極限”，定積分實際上就是無窮多個“微元”累加求和，“微元求和”的思想，就是定積分的實質(zhì)，這種解決問題的方法通常稱為“微元法”。

定積分微元物理應(yīng)用

一、前言

數(shù)學(xué)是物理學(xué)家的思維工具,只有通過數(shù)學(xué)才能以精確形式表達(dá)自然規(guī)律。只有通過數(shù)學(xué)才能抓住錯綜復(fù)雜的變化過程找到最基本，最普遍的規(guī)律。例如，沒有微積分，牛頓得不出萬有引力定律；沒有對數(shù)，開普勒難以建立天文學(xué)的重要規(guī)律——開普勒三定律。總之，物理學(xué)的發(fā)展離不開數(shù)學(xué)，而數(shù)學(xué)的發(fā)展也和物理學(xué)密切相關(guān)。定積分是積分學(xué)的一個重要概念，自然科學(xué)與生產(chǎn)實踐中的許多問題都可以用定積分解決，在物理問題中求電功率、不均勻細(xì)桿的質(zhì)量、電場強度、轉(zhuǎn)動慣量、功、水壓力、路程、平均速度等。上述種種盡管形式相異，然而所采用的思想方法均是：化曲為直，以不變代變，無限近似，從某個角度而言充分展現(xiàn)了數(shù)學(xué)思想方法的高度抽象性及應(yīng)用的廣泛性。

二、定積分及其應(yīng)用

（一）定積分的應(yīng)用簡述[1]

定積分解決物理中實際問題的關(guān)鍵在于微元法，微元法作為一種科學(xué)方法，在普通物理中的力學(xué)、電學(xué)中有非常廣泛的應(yīng)用。定積分的本質(zhì)是“分割取近似、求和取極限”。微元法就是通過分割，把整體的一個大問題轉(zhuǎn)化為局部多個小問題，近似地求出被分割每個局部范圍內(nèi)的各部分變量，然后相加，再取極限，最后得到整體量。這就是微元法的本質(zhì)，從而使這類復(fù)雜物理問題的分析、解決變得簡化、簡單。

（二）定積分的定義

（三）微元法使用的條件及注意事項[1]

微元法研究的物理量應(yīng)滿足的條件

1.u是與一個變量的變化區(qū)間[a，b]有關(guān)的量；

2.u對于區(qū)間[a，b]具有可加性，即u是[a，b]的各小區(qū)間內(nèi)的du之和(代數(shù)和或矢量和)；

3.微分量du是一確定函數(shù)f（x）與dx之積，即du=f（x）dx。

在物理學(xué)中，只要滿足以上三個條件的物理量都可以使用微元法對整體的這個物理問題分割、分析、計算處理。應(yīng)用微元法，可以將總體上分布不均勻的物理量通過分割轉(zhuǎn)化為局部上分布均勻的物理量，可以將總體上變化的物理量也可以通過分割轉(zhuǎn)化為局部上不變的物理量，從而使物理問題的處理變得簡化、簡單，這正是微元法在普通物理學(xué)中廣泛應(yīng)用的重要原因。

其中應(yīng)用微元法要注意以下幾點。

第一，若積分變量與被積函數(shù)中的變量不一致時，則應(yīng)根據(jù)問題的物理意義或各量之間的幾何關(guān)系進(jìn)行積分變量的代換、區(qū)間[a，b]的相應(yīng)轉(zhuǎn)換后方可進(jìn)行積分運算；第二，若du是矢量，如d等，可考慮先將du沿坐標(biāo)軸方向正交分解，如得到dux、duy后，并分別積分求出u的分量值ux、uy值，再利用矢量合成法則算出矢量u的大小和方向；第三，u值積分結(jié)果，根據(jù)具體物理問題可能是某一具體數(shù)值或函數(shù)。

（四）例題說明

下面就幾個典型的物理問題，進(jìn)而說明定積分在物理中的重要作用。

1.交流電的電功率[2]

有電工學(xué)知，電流強度為常數(shù)I的直流電通過純電阻R時，消耗在R上的電功率P=I2R，經(jīng)過時間t消耗在R上的電功為W=Pt=I2Rt，但是對于交流電，由于電流強度i=i（t）不是常數(shù)，不能直接用上述公式計算。設(shè)電流強度的周期為T，先計算電流i=i（t）在一個周期內(nèi)消耗在純電阻R上的功W。取t作為積分變量，它的變化區(qū)間為[0，T]。任取小區(qū)間[t，t+dt]?[0，T]，用時刻t的電流i（t）來近似代替這個小時間段上其他時刻的電流，即得功元素dw=i2（t）Rdt，于是W=（t）Rdt，從而交流電i=i（t）在一個周期T內(nèi)的平均功率

例1：設(shè)交流電i（t）=Imsinwt，其中Im是電流的最大值（峰值），w為角頻率，周期為T=2π/w，計算i（t）通過阻值為R的純電阻電路時的平均功率。

解：由上述的推導(dǎo)公式，所求平均功率為

作變量代換u=wt。當(dāng)t=0時，u=0：當(dāng)t=2π/w時，u=2π，于是有

2.求不均勻細(xì)桿的質(zhì)量[3]

由物理學(xué)知，如果直細(xì)棒是均勻的，即它的密度是個常數(shù)

圖1

解：按照上述的方法把金屬棒分成無數(shù)的線元dx，

由于金屬棒的長為b，所以積分區(qū)間為[0，b]，由此可得單位質(zhì)量dm=u（x）dx，在區(qū)間[0，b]積分得到整個金屬棒的質(zhì)量

[1]陳殿杰，李遠(yuǎn)東編.高等數(shù)學(xué)（第二版）[M].重慶大學(xué)出版社，1996（6）：221-248.

[2]馬文蔚.物理學(xué)(中冊)[M].高等教育出版社，1999（11）：128-168.

[3]馬文蔚，談瀚梅.物理學(xué)(學(xué)習(xí)指南)[M].高等教育出版社，2001（11）：196-210.

（責(zé)編 趙建榮）