非光滑復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的混沌同步

李 亮，王建軍，毛北行

(鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院數(shù)理系，河南 鄭州 450015)

自Pecalo 和Carroll 提出驅(qū)動(dòng)—響應(yīng)同步方法以后，混沌控制與混沌同步及其應(yīng)用已成為研究的熱點(diǎn)并取得了豐富的成果［1-6］.自然界和人類社會(huì)存在著各種各樣的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，自從Erd?s提出著名的隨機(jī)圖模型以來，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)引起了人們的高度關(guān)注.人們對(duì)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究已經(jīng)滲透到物理、生物、計(jì)算機(jī)、醫(yī)學(xué)、控制以及保密通信等領(lǐng)域.最著名的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)模型包括隨機(jī)圖、小世界網(wǎng)絡(luò)、無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)以及廣義復(fù)雜動(dòng)力學(xué)模型等.文獻(xiàn)［7］研究了時(shí)滯和非時(shí)滯耦合的驅(qū)動(dòng)響應(yīng)動(dòng)態(tài)網(wǎng)絡(luò)的函數(shù)投影同步問題.文獻(xiàn)［8］研究了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的線性廣義同步問題.文獻(xiàn)［9］研究了全局耦合網(wǎng)絡(luò)的參數(shù)辨識(shí)與時(shí)空混沌同步，但上述系統(tǒng)都是光滑系統(tǒng)，而關(guān)于非光滑復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的混沌同步問題的報(bào)道還很少見.另一方面，在實(shí)際工程系統(tǒng)中存在著大量的非光滑系統(tǒng)，如Chua 電路、干摩擦系統(tǒng)和碰撞系統(tǒng)等.本文主要研究非光滑復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)混沌系統(tǒng)的同步控制問題，消除了非光滑項(xiàng)，得到了光滑的誤差系統(tǒng)，利用Lyapunov 穩(wěn)定性理論得到了誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件.

1 主要結(jié)果

考慮如下非光滑系統(tǒng):

其中，f 為非光滑的.通過廣義哈密頓系統(tǒng)，方程(1)重新被寫為:

其中，H(xi)為能量函數(shù)，J1(xi)+ J1T(xi)=0，S(xi)= ST(xi)，J1(xi)和S(xi)是光滑的，而F1(xi，t)是非光滑的.方程(2)可以進(jìn)一步表示為:

上式中，F(xiàn)(xi，t)為非光滑函數(shù)．

以下考慮如下系統(tǒng):

則xi+ xi*是如下復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)混沌系統(tǒng)的解

方程(5)可以重新寫為:

利用觀測(cè)器，方法(6)被重新設(shè)計(jì)為:

其中:yi(t)是系統(tǒng)的輸出，C 是常數(shù)矩陣，F(xiàn)(yi，t)為非光滑函數(shù).

令ei(t)= xi(t)- ξi(t)，eiy(t)= yi(t)-ηi(t).其中K 是常數(shù)矩陣，ui(t)是控制輸入，ξi、ηi分別為xi、yi的擾動(dòng).以方程(7)為驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)，取相應(yīng)的響應(yīng)系統(tǒng)為:

(7)、(8)式中都含有非光滑函數(shù)F(yi，t)，兩式相減得到光滑的誤差系統(tǒng):

定理1 如果滿足下述條件:

則誤差系統(tǒng)(9)的零解漸近穩(wěn)定.

證明 構(gòu)造Lyapunov 函數(shù)

由已知條件，J(xi(t))為反對(duì)稱矩陣，滿足J(xi(t))+ JT(xi(t))= 0

所以

2 數(shù)值算例

以如下系統(tǒng)為例:

以兩階節(jié)點(diǎn)N = 2 為例:

則xi+ xi*是如下復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)混沌系統(tǒng)的解:

上述系統(tǒng)為Duffing 振子方程，該系統(tǒng)是非光滑的．

3 結(jié)語

本文研究了一類具有不確定參數(shù)和外部擾動(dòng)的非光滑復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)混沌系統(tǒng)，通過廣義哈密頓系統(tǒng)和觀測(cè)器方法重新設(shè)計(jì)了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)，得到了光滑的誤差系統(tǒng)，利用Lyapunov 穩(wěn)定性理論得到了誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分條件.

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