擺線齒輪齒廓的法向極坐標(biāo)測(cè)量及誤差分析＊

梁 巍，王建華

（西安工業(yè)大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，西安710021）

擺線齒輪廣泛應(yīng)用于擺線針輪行星減速器和各種形式的擺線泵中，作為這些機(jī)器的關(guān)鍵零件，擺線齒輪的幾何精度直接影響著這些機(jī)器的性能．?dāng)[線齒輪的幾何精度由加工精度和測(cè)量精度共同決定．在擺線齒輪的測(cè)量過(guò)程中，測(cè)球的球度誤差和測(cè)桿的受力變形均會(huì)引入測(cè)量誤差，從而影響測(cè)量精度．

為了測(cè)量擺線齒輪，傳統(tǒng)的測(cè)量方法通常采用特殊點(diǎn)檢測(cè)法［1-5］．該測(cè)量方法只能反映擺線齒輪的部分參數(shù)誤差，無(wú)法評(píng)定擺線齒輪的齒廓精度．為實(shí)現(xiàn)擺線齒輪齒廓偏差的自動(dòng)測(cè)量，文獻(xiàn)［6］提出在三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)上測(cè)量擺線齒輪齒廓偏差，通過(guò)三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)上測(cè)得齒廓的各點(diǎn)坐標(biāo)值后，以最小齒廓法向偏差平方和為目標(biāo)函數(shù)，對(duì)設(shè)計(jì)齒廓坐標(biāo)系與坐標(biāo)機(jī)坐標(biāo)系的夾角進(jìn)行優(yōu)化，以計(jì)算各項(xiàng)齒輪誤差．文獻(xiàn)［7］提出在極坐標(biāo)測(cè)量?jī)x上測(cè)量擺線齒輪齒廓偏差，與三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)相比極坐標(biāo)測(cè)量?jī)x效率高且精度穩(wěn)定．極坐標(biāo)測(cè)量?jī)x由旋轉(zhuǎn)軸和直線軸組成測(cè)量坐標(biāo)系，將擺線齒輪安裝在極坐標(biāo)測(cè)量?jī)x的回轉(zhuǎn)工作臺(tái)上其軸心與工作臺(tái)軸心重合，測(cè)球沿徑向放置在直線軸位置．測(cè)量時(shí)工作臺(tái)帶動(dòng)擺線齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)，同時(shí)齒輪推動(dòng)測(cè)球伸縮，測(cè)量系統(tǒng)實(shí)時(shí)采樣工作臺(tái)轉(zhuǎn)角值和測(cè)球示值，根據(jù)采樣到的一系列數(shù)據(jù)與擺線齒輪的理論齒廓數(shù)據(jù)比較可測(cè)得齒廓偏差．文獻(xiàn)［8-9］在此基礎(chǔ)上提出在直線軸加入一個(gè)驅(qū)動(dòng)電機(jī)，使得當(dāng)工作臺(tái)旋轉(zhuǎn)時(shí)，根據(jù)齒廓曲線主動(dòng)控制測(cè)球運(yùn)動(dòng)以減小測(cè)球的受力，從而相應(yīng)地減少了測(cè)桿的受力變形，同時(shí)也減小了測(cè)球的磨損．由于測(cè)球測(cè)力方向和受力方向不一致，此方法中測(cè)桿的受力變形仍然影響齒廓法向誤差．

為減小擺線齒輪測(cè)量過(guò)程中測(cè)球的球度誤差和測(cè)桿的受力變形對(duì)齒廓法向誤差的影響，文中通過(guò)分析球度誤差和測(cè)桿受力變形對(duì)齒廓法向誤差的影響，對(duì)傳統(tǒng)極坐標(biāo)測(cè)量法的齒廓偏差數(shù)學(xué)模型進(jìn)行改進(jìn)，得到齒廓曲線在法向極坐標(biāo)系中的參數(shù)方程和齒廓偏差的數(shù)學(xué)模型，比較法向極坐標(biāo)法與極坐標(biāo)法的齒廓法向誤差，以期為擺線齒輪齒廓測(cè)量方法優(yōu)選提供參考．

1 齒廓的極坐標(biāo)測(cè)量

1．1 極坐標(biāo)測(cè)量法

極坐標(biāo)法測(cè)量坐標(biāo)系由一個(gè)以O(shè)為軸心的旋轉(zhuǎn)軸和一個(gè)直線軸R組成，齒輪軸心與O點(diǎn)固連，如圖1所示，將任意齒齒根點(diǎn)作為起始測(cè)量點(diǎn)，起測(cè)點(diǎn)A的極角φ0＝0°，極徑ρ0為齒根圓半徑，其極坐標(biāo)為（0，ρ0），采用測(cè)力方向?yàn)镽向的測(cè)球．圖2為極坐標(biāo)法測(cè)量原理圖，圖2中測(cè)球在測(cè)點(diǎn)M（φ，ρ）法矢方向上的受力為Fe，在R向上的測(cè)力為F，測(cè)球的測(cè)力F和Fe之間的夾角α稱為測(cè)量壓力角．根據(jù)擺線的形成原理，滾圓相對(duì)于基圓所轉(zhuǎn)過(guò)的角度稱為嚙合相位角φHP，嚙合相位角φHP由0°增加到360°形成一個(gè)齒［10］，形成n個(gè)齒時(shí)，嚙合相位角φHP由0°增加到n×360°．

圖1 極坐標(biāo)法測(cè)量起始點(diǎn)Fig．1 Starting point of polar coordinate method

圖2 極坐標(biāo)法測(cè)量原理Fig．2 Measuring principle of polar coordinate method

測(cè)球沿理論齒廓曲線運(yùn)動(dòng)一周，其球心點(diǎn)的軌跡曲線為齒廓曲線的等距曲線，稱此軌跡曲線為測(cè)球中心軌跡曲線，其極坐標(biāo)方程［8］為

式中：rp為創(chuàng)成圓半徑；rg為滾圓半徑；zc為擺線齒輪齒數(shù)；zp為外轉(zhuǎn)子齒數(shù)；a為偏心距；L1，L2，β，δ均為中間變量；rQ為測(cè)球半徑；rrp為針齒半徑；K1為短幅系數(shù)；測(cè)球中心軌跡曲線的離散點(diǎn)極坐標(biāo)記為（φi，ρi）；αi為第i個(gè)離散點(diǎn)處的測(cè)量壓力角．

控制測(cè)球沿測(cè)球中心軌跡曲線運(yùn)動(dòng)一周即可完成對(duì)擺線齒輪齒廓的采樣．采用等嚙合相位角φHP得到的測(cè)球中心軌跡曲線離散點(diǎn)分布比較均勻，故將等分的φHPi（i＝1，2，3，…，k）代入式（1）即可得到一系列離散點(diǎn)的極坐標(biāo)（φi，ρi）（i＝1，2，3，…，k）．在測(cè)量過(guò)程中，當(dāng)擺線齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)到極角φi時(shí)，測(cè)球沿R軸運(yùn)動(dòng)到極徑ρi，從而可以控制測(cè)球沿理論齒廓曲線運(yùn)動(dòng)一周．例如測(cè)量圖2中點(diǎn)M，其極坐標(biāo)為（φ，ρ），齒輪由圖1所示的起測(cè)點(diǎn)（0，ρ0）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)Δφ＝φ-0°角，同時(shí)測(cè)球沿R向由齒根位置位移Δρ＝ρ-ρ0，此時(shí)測(cè)球由初始位置運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M．

在測(cè)球沿理論齒廓曲線運(yùn)動(dòng)一周的過(guò)程中，測(cè)球連續(xù)采樣得到一系列采樣點(diǎn)（φj，ρj′）（j＝ 1，2，3，…，n）和各采樣點(diǎn)處的測(cè)量壓力角αj，將極徑方向的偏差轉(zhuǎn)化為法向偏差ej，有

其中ρj為第j個(gè)采樣點(diǎn)的理想極徑．

由于理想采樣點(diǎn)和實(shí)際采樣點(diǎn)均分布在測(cè)球中心軌跡曲線上，故徑向偏差即可以反映齒廓偏差，不需要換算到齒廓曲線上進(jìn)行誤差的計(jì)算．

1．2 齒廓極坐標(biāo)測(cè)量誤差影響因素分析

采用極坐標(biāo)法測(cè)量擺線齒輪1號(hào)齒的齒廓，分析齒廓極坐標(biāo)測(cè)量中測(cè)球的受力，如圖3所示．

圖3 齒廓的極坐標(biāo)測(cè)量中測(cè)球的受力分析Fig．3 Stress analysis of measuring ball in polar coordinate measurement of tooth profile

若齒輪順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在測(cè)量過(guò)程中齒廓與測(cè)球的接觸點(diǎn)是不斷變化的．圖3（a）中1號(hào)齒的右齒面與測(cè)球上的點(diǎn)A接觸，此時(shí)測(cè)球的受力為FA，方向沿接觸點(diǎn)處的法矢方向，F(xiàn)A在R軸方向和R軸的垂直方向的分力分別為F1和F2，分力F2會(huì)使得測(cè)桿變形；這里測(cè)球的受力方向（法矢方向）和R軸方向之間的夾角即是上述的測(cè)量壓力角α，α越大，F(xiàn)2越大，測(cè)桿的變形也越大．同理，圖3（b）中1號(hào)齒的左齒面與測(cè)球上的點(diǎn)B接觸，此時(shí)測(cè)球的受力為FB，方向沿接觸點(diǎn)處的法矢方向，F(xiàn)B在R軸方向和R軸的垂直方向的分力分別為F1′和F2′，分力F2′也會(huì)使測(cè)桿變形．測(cè)桿的變形會(huì)導(dǎo)致測(cè)球的實(shí)測(cè)點(diǎn)偏離理論點(diǎn)，實(shí)測(cè)點(diǎn)與理論點(diǎn)在徑向（R向）的偏差便是測(cè)量誤差．隨著測(cè)球與齒廓接觸點(diǎn)的變化測(cè)球受力的大小和方向也不斷的變化，特別是當(dāng)測(cè)量壓力角α較大時(shí)，測(cè)球的實(shí)測(cè)點(diǎn)偏離理論點(diǎn)顯著．

如上所述，采用測(cè)力方向?yàn)镽方向的測(cè)球，測(cè)球有一個(gè)基本行程，在基本行程中存在一個(gè)零位和兩個(gè)極位，如圖4所示，若一個(gè)測(cè)球的測(cè)量行程為-0．365 ～ ＋0．365mm，測(cè)球的懸空狀態(tài)在-0．365mm極位處，測(cè)球與理想齒廓接觸，應(yīng)被壓到零位處，當(dāng)齒廓偏差為正偏差時(shí)，測(cè)球的壓入量會(huì)變大，此時(shí)示值變大；當(dāng)齒廓偏差為負(fù)偏差時(shí)，測(cè)球會(huì)沿R負(fù)向運(yùn)動(dòng)，此時(shí)示值負(fù)向增大．由于極坐標(biāo)法在測(cè)量過(guò)程中齒廓與測(cè)球的接觸點(diǎn)是不斷變化的，故當(dāng)測(cè)球存在球度誤差時(shí)會(huì)影響測(cè)量精度．假設(shè)齒廓為理想齒形（不存在誤差），測(cè)量時(shí)當(dāng)接觸點(diǎn)處測(cè)球的球度誤差為負(fù)值（測(cè)球磨損屬于此情況），此時(shí)測(cè)球會(huì)負(fù)向偏離零位，偏離值即為測(cè)量誤差；當(dāng)接觸點(diǎn)處測(cè)球的球度誤差為正值時(shí)，測(cè)球會(huì)正向偏離零位，偏離值即為測(cè)量誤差．

圖4 測(cè)球行程Fig．4 Measuring-ball trip

在測(cè)量過(guò)程中齒輪始終順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，在測(cè)量右齒面時(shí)，如圖3（a）所示，測(cè)球沿R正向退出，齒廓的旋轉(zhuǎn)是壓著測(cè)球運(yùn)動(dòng)，而在左齒面時(shí)，如圖3（b）所示，測(cè)球沿R負(fù)向進(jìn)給，測(cè)球是追著齒輪旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)．也即在測(cè)量過(guò)程中，左右齒面的運(yùn)動(dòng)是不對(duì)稱的，這造成了以齒頂為中心的對(duì)稱點(diǎn)處測(cè)球的受力大小不等，且方向不對(duì)稱，如圖3中FA和FB所示，其FA應(yīng)大于FB．測(cè)力大小不相等會(huì)產(chǎn)生示值誤差，影響齒廓誤差．圖3中FA和FB分別旋轉(zhuǎn)測(cè)量壓力角α，此時(shí)測(cè)球與齒廓接觸點(diǎn)的法矢方向旋轉(zhuǎn)到與R軸平行（α＝0）位置，此時(shí)F2和F2′為零，測(cè)球受力全部用于推動(dòng)測(cè)球在行程內(nèi)的運(yùn)動(dòng)，測(cè)桿的受力變形也隨即被消除．為使測(cè)球與齒廓接觸點(diǎn)的法矢方向與R軸平行（測(cè)量壓力角α始終為零），本文提出擺線齒輪齒廓的法向極坐標(biāo)測(cè)量法．

2 齒廓的法向極坐標(biāo)測(cè)量

為使測(cè)量壓力角α始終為零，在極坐標(biāo)測(cè)量系中加入了一個(gè)垂直于R軸的直線軸T，如圖5所示，φ為極角．采用法向極坐標(biāo)法測(cè)量圖2中點(diǎn)M，當(dāng)齒輪由圖2所示狀態(tài)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角后，測(cè)力Fe平行于水平方向（平行于R軸），此時(shí)滿足測(cè)球的測(cè)力方向與受力方向（測(cè)球與齒廓接觸點(diǎn)處法矢方向）一致且平行于R軸．若由起測(cè)點(diǎn)開(kāi)始測(cè)量，齒輪應(yīng)首先順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)Δφ后，又逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)α，故測(cè)量點(diǎn)M時(shí)旋轉(zhuǎn)軸由起測(cè)點(diǎn)最終轉(zhuǎn)過(guò)的角度θ＝α-Δφ＝α-φ．在齒輪轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中，為使測(cè)球運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M，測(cè)球在旋轉(zhuǎn)軸運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中同時(shí)需要沿R方向和T方向共同運(yùn)動(dòng)，沿兩個(gè)方向的運(yùn)動(dòng)距離分別為r和t，由圖5可得r＝ρcosα，t＝ρsinα．對(duì)于齒廓曲線上每一個(gè)點(diǎn)的極坐標(biāo)值（φi，ρi）都對(duì)應(yīng)一個(gè)法向極坐標(biāo)值（θi，ri，ti），且滿足關(guān)系

圖5 法向極坐標(biāo)法測(cè)量原理Fig．5 Measuring principle of normal polar coordinate method

由式（10）可以得到整周齒廓曲線上的運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的法向極坐標(biāo)值（θi，ri，ti）（i＝ 1，2，3，…，k），控制測(cè)球連續(xù)由一個(gè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到下一個(gè)點(diǎn)，這樣測(cè)球便可沿一個(gè)整周齒廓曲線運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中測(cè)球進(jìn)行連續(xù)采樣得一系列采樣點(diǎn)（θj，rj′，tj′）（j＝ 1，2，3，…，n）．若各采樣點(diǎn)的理論值為（θj，Rj，Tj），由于在測(cè)量過(guò)程中法矢方向始終平行于R軸，故法向偏差值可根據(jù)R向的實(shí)際測(cè)量值rj′和理想值Rj之差來(lái)確定．齒廓偏差為

在齒廓法向極坐標(biāo)測(cè)量過(guò)程中齒廓與測(cè)球的接觸點(diǎn)始終不變，即圖5中測(cè)球上與齒廓上點(diǎn)M接觸的點(diǎn)（即測(cè)球頂點(diǎn)）．由于接觸點(diǎn)始終不變，故即使接觸點(diǎn)（測(cè)球頂點(diǎn)）處測(cè)球存在球度誤差，它對(duì)每一個(gè)采樣點(diǎn)的影響是相同的，可通過(guò)測(cè)量測(cè)球頂點(diǎn)處的球度誤差將球度誤差的影響消除．

3 測(cè)量實(shí)例及分析

實(shí)驗(yàn)采用D40型齒輪測(cè)量中心（西安共達(dá)精密有限公司）為測(cè)量平臺(tái)，該儀器測(cè)量精度高，能夠滿足實(shí)驗(yàn)要求．試驗(yàn)中測(cè)球采用柱塞式測(cè)球，其測(cè)球的測(cè)量范圍為 -0．368～＋0．368mm，安裝完成后其測(cè)力方向沿測(cè)量中心的R軸方向．

本實(shí)驗(yàn)所采用齒輪為與圓弧嚙合的擺線齒輪，其基本參數(shù)見(jiàn)表1．采用法向極坐標(biāo)法和極坐標(biāo)法在同一次裝夾定位下對(duì)該擺線齒輪進(jìn)行測(cè)量，每個(gè)齒取100個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)，200個(gè)采樣點(diǎn)，以齒根點(diǎn)作為測(cè)量的起始點(diǎn)，齒輪順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)進(jìn)行測(cè)量．

采用法向極坐標(biāo)法原理測(cè)量擺線齒輪時(shí)，齒廓偏差檢測(cè)結(jié)果如圖6（a）所示；極坐標(biāo)法測(cè)量時(shí)，齒廓偏差檢測(cè)結(jié)果如圖6（b）所示．圖6中實(shí)線為理論齒廓曲線，虛線為實(shí)際齒廓曲線，1～8為齒編號(hào)；X，Y為測(cè)量坐標(biāo)刻度．

表1 擺線齒輪基本參數(shù)Tab．1 The basic parameters of cycloidal gear

圖6 齒廓偏差檢測(cè)結(jié)果Fig．6 Detection results of tooth profile deviation

擺線齒輪每個(gè)齒有一個(gè)齒廓總偏差，反映了該齒上的齒廓偏差的幅值（該齒上齒廓偏差的最大值與最小值的代數(shù)差）．

采用兩種不同測(cè)量方法得到的齒廓總偏差如圖7所示．

圖7 不同齒廓測(cè)量方法得到的齒廓總偏差Fig．7 Comparison of tooth profile error between polar coordinate method and normal polar coordinate method

從圖7可發(fā)現(xiàn)，法向極坐標(biāo)法檢測(cè)得到的各個(gè)齒的齒廓總偏差均小于極坐標(biāo)法，表明齒輪齒廓檢測(cè)時(shí)，法向極坐標(biāo)測(cè)量法較極坐標(biāo)測(cè)量法的齒廓總偏差小．

這說(shuō)明采用法向極坐標(biāo)法測(cè)量齒廓偏差時(shí)，測(cè)桿受力變形所引入的測(cè)量誤差和測(cè)球球度誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的干擾較極坐標(biāo)法?。蕯[線齒輪齒廓的法向極坐標(biāo)測(cè)量比極坐標(biāo)測(cè)量精度高．

4 結(jié) 論

本文分析測(cè)球球度誤差和測(cè)桿受力變形對(duì)擺線齒輪齒廓極坐標(biāo)測(cè)量的影響，提出了齒廓法向極坐標(biāo)測(cè)量法，通過(guò)齒輪測(cè)量中心獲得了擺線齒輪全齒廓上各測(cè)量點(diǎn)的齒廓偏差，得出的結(jié)論為

1）采用法向極坐標(biāo)法測(cè)量齒廓時(shí)，齒廓測(cè)量點(diǎn)的法矢方向和測(cè)球的測(cè)力方向保持一致，測(cè)桿變形所引入的測(cè)量誤差較極坐標(biāo)法小，測(cè)桿受力變形對(duì)齒廓測(cè)量精度的影響較極坐標(biāo)法減?。?/p>

2）在法向極坐標(biāo)法測(cè)量過(guò)程中，測(cè)球與齒廓的接觸點(diǎn)始終不變，球度誤差對(duì)每一采樣點(diǎn)的齒廓法向誤差的影響程度相同；在實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)處理過(guò)程中，每一采樣點(diǎn)的齒廓偏差減去測(cè)球頂點(diǎn)的球度誤差，測(cè)球球度誤差所引起的齒廓法向誤差較極坐標(biāo)法?。?/p>

3）法向極坐標(biāo)法測(cè)量擺線齒輪左右齒面的齒廓偏差時(shí)，每一采樣點(diǎn)處測(cè)球測(cè)力大小相等，測(cè)桿在接觸點(diǎn)法矢方向上的變形對(duì)齒廓法向誤差的影響得以消除．

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