梁方程解的存在性和正則性

白忠玉，楊偉芳

(?？诮?jīng)濟學(xué)院 公共課部,海南 海口 571127)

梁方程解的存在性和正則性

白忠玉，楊偉芳

(海口經(jīng)濟學(xué)院 公共課部,海南 ?？?571127)

文章利用HUM方法,給出了梁方程解的存在性和正則性.

梁方程;正則性;HUM方法

0 引言

我們考慮下面的初邊值問題:

(1)

(2)

ω(x,0)=ω0(x),ω′(x,0)=ω′(x),0

(3)

其中,梁的兩端固定,ω表示梁的橫向偏移,ξ、η∈(0,π)為兩端點,δy為點y的質(zhì)量,ω′、ω″是ω對t的導(dǎo)數(shù),控制函數(shù)u:[0,T]→R.

文[1]中已經(jīng)證明了梁方程的彈性結(jié)構(gòu)問題,本文的主要目的是,利用控制函數(shù)u和HUM方法,獲得系統(tǒng)(1)～(3)解的存在性和正則性的結(jié)果．

為便于敘述,我們給出下面定義.

定義1 如果存在u∈L2(0,T),使得系統(tǒng)(1)～(3)的解滿足

ω(x,T)=ω′(x,T)=0,0

(4)

則稱初值ω0,ω1在時刻T是L2精確可控的．

1 預(yù)備知識

設(shè)τ∈[0,T],考慮下面的對偶系統(tǒng):

(5)

(6)

v(x,τ)=0,v′(x,τ)=g(x),0

(7)

文[2]表明,系統(tǒng)(5)～(7)在空間Yα+2×Yα上對α≥-2是適定的,并有如下結(jié)論.

當(dāng)α<0時,Yα是Y-α的對偶空間.

性質(zhì)1在時刻T,空間Yα+2×Yα中的初值在點(ξ,η)都是L2精確可控的充要條件是存在常數(shù)C>0,使得

對?(φ0,φ1)∈Y3×Y1成立.

性質(zhì)2ρ∈[0,1]且ρ∈A的充要條件是存在常數(shù)C>0,使得

2 結(jié)論及證明

引理1 對?g∈Y-1,系統(tǒng)(5)～(7)有唯一正則解

v∈c([0,T],Y1)∩c′([0,T],Y-1),

(8)

‖g‖Y-1.

(9)

證明 由貝努力-歐拉方程知,(8)顯然成立,下面證(9).

(10)

根據(jù)文[3]中的結(jié)果,(10)右端是一個傅里葉級數(shù),于是存在依賴于T的常數(shù)C,使得

證畢.

定理1 設(shè)ω0∈Y1,ω1∈Y-1,則初邊值問題(1)～(3)有唯一正則解

ω∈C([0,T],Y1)∩C′([0,T],Y-1).

證明 由方程(1)的線性和貝努力-歐拉方程的性質(zhì)知,ω0=ω1=0.

(11)

由引理1,有

‖u‖L2(0,T)‖g‖Y-1

從而,根據(jù)(11),得ω(·,τ)∈Y,對?τ∈[0,T].

將(11)中的τ換為τ+h,得ω∈C([0,T],Y1)

(12)

(13)

由于ω滿足(1),并利用(13)得,ω″∈L2((0,T),Y-3)

又由(12)、(13),及文[4]中的中間導(dǎo)數(shù)定理,有

ω′∈L2([0,T],Y-1).

證畢.參考文獻：

[1] CRAWLEY E F, ANDERSON E H.Detailed models for piezoceramic actuation of beams[J].Jorunal of Intelligent Material Systems and Structuresm,1990(1):79-83

[2] LIONS J L.Controlabilite exact des systemes distributes[M].Paris:Masson,1998

[3] ABRE C F,PUEL J P.Pointwise controllability as limit of internal controllability for the wave equation in one space dimension[J].Portugal.Math,1994(51):335-350

[4] LIONS J L, MAGENES E.Nonhomogenous Boundary Value Problems[M].Berlin Springer:1972

The Existence and Regularity of Solutions for the Beam Equations

BAI Zhongyu，YANG Weifang

(Common Required Course Department,Haikou College of Economics,Haikou 571127,China)

The existence and regularity of solutions for the beam equations are studied by using the HUM method.

beam equations;regularity;HUM

2015-07-12

白忠玉(1980-),男,山東日照人,?？诮?jīng)濟學(xué)院公共課部講師,主要從事運籌學(xué)與控制論研究.

1672-2027(2015)03-0013-02

O231.4

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