軟弱夾層的極限荷載分析

殷 勇，周國慶

（1.中國礦業(yè)大學(xué) 深部巖土力學(xué)與地下工程國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，江蘇 徐州 221008；2.鹽城工學(xué)院 土木工程學(xué)院，江蘇 鹽城 224051）

1 引言

隨著城市地下空間開發(fā)利用的程度不斷增加，許多建筑物尤其高層建筑采用大面積的筏板基礎(chǔ)或箱型基礎(chǔ)并設(shè)置地下室來利用地下空間。這種基礎(chǔ)形式在工程中經(jīng)常遇到下臥軟弱夾層的情況，有時(shí)需要進(jìn)行局部地基處理或淺層換填來提高地基承載力。但按照建筑地基規(guī)范方法分析地基承載力時(shí)，由于基礎(chǔ)平面尺寸較大，持力層應(yīng)力擴(kuò)散角應(yīng)取為0（z/b＜0.25，z為持力層厚度，b為基礎(chǔ)寬度），即上部持力層不承擔(dān)應(yīng)力擴(kuò)散效應(yīng)，軟弱下臥層承載力驗(yàn)算不滿足設(shè)計(jì)要求。對于軟土地基上的砂墊層或加筋墊層，在處理面積較大時(shí)，按照現(xiàn)行的地基處理規(guī)范也同樣存在著因擴(kuò)散角為0而導(dǎo)致下臥層軟土的承載力驗(yàn)算不能通過的情況。實(shí)際上，對于寬板地基，持力層厚與基礎(chǔ)寬之比（z/b）可能遠(yuǎn)小于0.25，此時(shí)考慮軟弱層頂部應(yīng)力擴(kuò)散效應(yīng)已無太大的意義。當(dāng)持力層下覆一定厚度的軟弱夾層時(shí)，相對于軟弱夾層土，其上、下土層具有良好的強(qiáng)度與剛度，形成一種夾層結(jié)構(gòu)。此時(shí)地基極限狀態(tài)的破壞模式已不同于均質(zhì)地基或?qū)訝畹鼗械募羟衅茐?，而是軟弱夾層出現(xiàn)部分側(cè)向擠出的型式，類似于兩塊粗糙的平行板之間的擠壓，其極限荷載也不能套用現(xiàn)有的承載力理論進(jìn)行分析。在這種情況下，軟弱夾層本身的穩(wěn)定性就直接決定了上部地層或結(jié)構(gòu)的整體穩(wěn)定性。此外，由于軟弱夾層的存在往往會對工程穩(wěn)定產(chǎn)生一定的影響，針對軟弱夾層的研究在邊坡[1]、地下工程[2]、采礦[3]等不同工程領(lǐng)域中也受到廣泛重視，但目前多數(shù)研究是圍繞軟弱夾層的存在對周邊巖土體或結(jié)構(gòu)物穩(wěn)定性的影響，沒有從軟弱夾層本身的穩(wěn)定性進(jìn)行分析。

Hill[4]在其專著中指出Prandtl首次對兩個(gè)粗糙剛性平面間塑性材料的擠壓問題進(jìn)行了解答；張國霞[5]據(jù)此結(jié)合一般地基承載力計(jì)算方法，提出了用于分析含軟弱薄層地基承載穩(wěn)定問題的薄層擠壓理論，并被引用于地基承載力分析[6－7]；Marshall[8]曾對兩個(gè)粗糙平行板間擠壓土體的應(yīng)力場和速度場進(jìn)行分析，提出了一種板面極限荷載的計(jì)算式；Mandel等[9]利用塑性理論及數(shù)值積分方法分析了剛性基礎(chǔ)淺部下臥剛性層時(shí)的地基極限承載力，提出了一個(gè)經(jīng)驗(yàn)修正公式；張道寬[10]對織物增強(qiáng)軟土路基下軟弱夾層的穩(wěn)定性進(jìn)行研究時(shí)，提出當(dāng)基礎(chǔ)寬度與軟弱夾層厚度之比達(dá)到時(shí)即可發(fā)生這種夾層擠出破壞模式；文獻(xiàn)[11]規(guī)定加筋墊層穩(wěn)定性驗(yàn)算包括筋材下薄層軟土被擠出的情形。

基于Prandtl解答的薄層擠壓理論目前已被應(yīng)用于加筋地基下軟弱夾層的穩(wěn)定性分析[12]，并被寫入化工建（構(gòu)）筑物地基加筋墊層技術(shù)規(guī)程[13]。部分學(xué)者雖然對Prandtl經(jīng)典解答結(jié)合一般地基承載力算法進(jìn)行了修正，但Prandtl解答仍有一些應(yīng)力分布或邊界條件的問題沒有考慮到[14]，本文針對這些問題進(jìn)行了分析，提出了Prandtl擠壓理論的修正結(jié)果，利用求得的應(yīng)力分量推導(dǎo)了軟弱薄層的極限荷載計(jì)算式，其成果可用于地基中軟弱夾層的穩(wěn)定性分析。

2 Prandtl薄層擠壓課題

Prandtl[15]在1923年根據(jù)塑性極限平衡的平面課題對條形荷載下兩個(gè)粗糙平板間的擠壓問題進(jìn)行了研究（見圖1），解得板面間的應(yīng)力分量如下（未考慮體力）：

式中：k為材料屈服強(qiáng)度，對飽和黏土可取k=c（黏聚力）；C=bc/t（為常數(shù)項(xiàng)）；h為擠壓材料1/2厚度，h=t/2，則板下壓力沿邊緣至中心呈三角形分布，壓力分布線斜率為 Δp/Δ x=-2 c /t 。

張國霞[5]對Prandtl解答在壓板兩端的應(yīng)力分布進(jìn)行了修正，提出薄層擠壓理論并用于含軟弱薄層的地基穩(wěn)定分析，邊緣恒壓段b0內(nèi)極限荷載為p0=(π +2)c+rz，向內(nèi)b/2-b0段極限荷載仍以2c/t斜率增加至 pm（見圖2），最后計(jì)算出軟弱夾層（φ=0）平均極限荷載為

式中：Nm為承載力系數(shù)，Nm=2+π +(2b -4b0)2/bt，b0為邊緣恒壓段寬，b0=(0.5～1.0)t，t為軟弱夾層厚度；rz為上覆土層有效壓力。

圖1 Prandtl薄層擠壓解Fig.1 Prandtl solution of thin-layer squeezing problem

圖2 修正Prandtl解Fig.2 Revisied Prandtl solution

需要說明的是，按照Prandtl解答，在x=0的中面處，-x 方向的材料也應(yīng)該向+x 方向流動(dòng)，但由于對稱，-x 方向的材料只能流向-x 方向，因此，該解答只適用于板的右半邊，至于左半邊只是取與上述解對稱的情況。由Prandtl解答可以看出，剪應(yīng)力與x 方向位置無關(guān)，但由對稱性可知，這一結(jié)果與實(shí)際不符，尤其是y 軸附近的剪應(yīng)力應(yīng)為0，因此，Prandtl解按左右對稱假設(shè)壓力分布就產(chǎn)生了一個(gè)剪應(yīng)力不符的矛盾。此外，Prandtl解答并未考慮板面粗糙度、材料體力、材料兩端是否受外力等影響。以下圍繞上述問題對Prandtl擠壓模型重新進(jìn)行了分析與求解。

3 平面應(yīng)變條件下擠壓問題分析

針對前述擠壓問題，仍以兩個(gè)平行剛性平板擠壓彈塑性材料問題為分析對象（見圖3），板間材料瞬時(shí)厚度為2h，寬度為b，假設(shè)擠壓材料長度為1個(gè)單位并保持不變，因此，可認(rèn)為符合平面應(yīng)變條件?？紤]到Prandtl剪應(yīng)力解答式（1）在y 方向上滿足邊界條件而不能反映x 方向上的應(yīng)力分布，可設(shè)：

式中：φ(x)為待求函數(shù)，φ (0)=0 。

圖3 擠壓模型Fig.3 Squeezing model

在平板與擠壓材料接觸界面上，Prandtl解答假設(shè)接觸面處于完全黏著狀態(tài)，接觸面剪應(yīng)力取材料屈服強(qiáng)度 τxy(x，h)=k。若考慮板面摩擦條件，假設(shè)接觸面上剪切強(qiáng)度不超過材料屈服強(qiáng)度，則可設(shè)接觸面上τxy(x，h)=-mk，其中0≤m ≤1（m為反映板面摩擦程度的系數(shù)，板面完全光滑時(shí)m=0，板面完全粗糙時(shí)m=1）。由此邊界條件，當(dāng)y=h 時(shí)，可得

根據(jù)塑性極限平衡條件列出考慮體力的平面問題平衡方程和屈服方程：

式中：r為材料重度。

式中：f (x)、f (y)為待定函數(shù)，f(0)=0 ；c1、c2為常數(shù)。

由式（7）、（8）得

取y=0可得-φ(x )-f (x)+c1-c2=2k，代入式（9）得

結(jié)合 φ (0)=0，求解上式，可得

由上述已知條件可分別求得

綜上，擠壓材料中的應(yīng)力分量可寫為

考慮擠壓材料兩端受到一定的外力T，再根據(jù)材料兩端水平方向的應(yīng)力邊界條件（式（22）），可求得c1值。

最終，得到考慮板面摩擦效應(yīng)、材料體力、材料兩端受力情況下的應(yīng)力分量如式（24）所示，可以看出解答中xσ、σy、τxy符合對稱性要求。

4 極限荷載計(jì)算及結(jié)果分析

對σy沿上板面（y=h）積分可得到板面極限荷載為

最終求得板面的極限荷載為

將式（26）用于軟弱夾層上極限荷載計(jì)算時(shí)，若考慮土層兩端存在擠壓力T=2k0qh，同時(shí)存在上覆土層壓力(q -rh )b影響時(shí)，軟弱夾層的極限荷載為

式中：k0為土的靜止側(cè)壓力系數(shù)，對可塑狀態(tài)軟土可取0.5；q為地表至軟弱土層中心處土層有效自重應(yīng)力。

若不考慮兩端擠壓力及上覆荷載，軟弱夾層的屈服強(qiáng)度取不排水強(qiáng)度k=c，并假設(shè)板面完全粗糙時(shí)，則由式（26）可得軟弱夾層的極限荷載為

4.1 極限荷載與軟弱夾層幾何尺寸的關(guān)系

取軟弱夾層參數(shù)c=20 kPa，r=20 kN/m3，b=1、5、10、20、30 m，2h=0.2～10 m，則極限荷載隨軟弱夾層寬度、厚度的變化關(guān)系按式（28）及現(xiàn)有其他理論公式的計(jì)算結(jié)果如圖4所示，其中圖4(a)為本文解答，圖4(b)為Prandtl經(jīng)典解答，圖4(c)為本文不考慮土重的解答，圖4(d)為文獻(xiàn)[13]中薄層擠壓理論解答。

由幾種理論的解答結(jié)果可以看出，當(dāng)假設(shè)軟弱夾層上、下面為完全粗糙時(shí)，軟弱夾層的極限荷載與土層的寬厚比有很大關(guān)系。從總體上看，在寬厚比較大時(shí)，極限荷載處于高值，此時(shí)土體會發(fā)生類似于剛性板間材料被擠出的破壞形式，發(fā)生少量或不發(fā)生剪切破壞。隨著寬厚比減小，地基土體發(fā)生剪切的情形會多于擠出破壞，極限荷載逐步下降。Azam等[16]對下臥巖基的地基承載力研究時(shí)也得到相同的結(jié)論。此外，對于一定厚度的軟弱夾層，其極限荷載隨夾層寬度的增加而升高。

對比其他相關(guān)理論解答，考慮軟弱夾層自重時(shí)，按本文解答計(jì)算的極限荷載隨土厚增加而降低至一定值后趨于恒定并且有逐步增大的趨勢，在寬度較小的土層中較為明顯；Prandtl解答表明，極限荷載隨土厚增加而逐步降低，不存在極限荷載增加的情形（見圖4(b)），這一結(jié)論與本文解答中不考慮夾層自重時(shí)的結(jié)果基本相似（見圖4(c)），但Prandtl的解答值明顯低于本文解。采用規(guī)范中薄層擠壓理論計(jì)算結(jié)果如圖4(d)所示，幾種寬度土層的極限荷載變化規(guī)律與本文考慮土重時(shí)的解答相似，但規(guī)范法計(jì)算的幾種寬度土層的極限荷載隨土厚增加有趨于一致的情形，夾層厚度達(dá)到10 m時(shí)幾種寬度極限荷載差距減小，不能充分反映夾層寬度對其極限荷載的影響。

圖4 極限荷載隨土層寬、厚的變化Fig.4 Ultimate load variations with width and height of soil

4.2 夾層面摩擦條件對極限荷載的影響

假設(shè)軟弱夾層與上覆擬剛性層之間的剪應(yīng)力和摩擦系數(shù)m 的關(guān)系為τ=mc。軟弱夾層參數(shù)c=20 kPa，r=20 kN/m3，b=0.1～30 m，2h=1m，m=0.1～1.0，不考慮上覆及側(cè)面荷載影響，則不同寬度軟弱夾層的極限荷載增量隨表面摩擦條件的變化關(guān)系按式（26）的計(jì)算結(jié)果，如圖5所示，其中縱坐標(biāo)表示極限荷載相對于m=1時(shí)的增量。

圖5 ΔP 與m 變化關(guān)系Fig.5 Relationships between ΔP and m

由圖可以看出，軟弱夾層表面摩擦系數(shù)對極限荷載的影響隨夾層寬度不同而有較大區(qū)別。通過對計(jì)算結(jié)果的分析，對于厚度為1 m的夾層，寬度約1.5 m時(shí)，其極限荷載基本不受夾層表面摩擦系數(shù)的影響。寬度大于1.5 m時(shí)（即寬厚比大于1.5時(shí)），極限荷載均小于m=1時(shí)的極限荷載，隨摩擦系數(shù)的減小，其極限荷載降低越大，基本呈線性關(guān)系，且夾層寬度越大，極限荷載的降幅越大。軟弱夾層的寬度不超過1.5 m時(shí)，極限荷載均大于m=1時(shí)的極限荷載，但差距很小。同時(shí)，夾層寬度小于1.5 m時(shí)，摩擦系數(shù)及寬度變化對極限荷載的影響并不大。因此，實(shí)際工程中對于一定厚度的軟弱夾層，若考慮的寬度范圍較大，則夾層面摩擦條件對其極限荷載影響越顯著，應(yīng)盡量提高夾層面的粗糙程度以利于極限荷載的提高。

5 結(jié)論

（1）改進(jìn)了Prandtl薄層擠壓解答中應(yīng)力邊界條件的矛盾，求解了軟弱夾層中應(yīng)力分量及夾層面的極限荷載，計(jì)算式可以考慮夾層面摩擦條件、土體自重、夾層表面及兩端受力情況。

（2）不考慮土重時(shí)，本文方法計(jì)算的極限荷載隨厚度的變化規(guī)律與Prandtl方法計(jì)算結(jié)果基本一致，但Prandtl解答偏于保守；薄層擠壓理論解則沒有充分反映出受壓寬度對極限荷載的影響，尤其是土層厚度較厚時(shí)?？紤]土重時(shí)，本文方法計(jì)算結(jié)果和規(guī)范方法解答具有相同規(guī)律，與常規(guī)地基承載力理論考慮土重的影響類似，可以反映土重對極限荷載的貢獻(xiàn)。

（3）按照文中所給定的夾層參數(shù)，軟弱夾層上下界面的摩擦條件對于寬厚比大于1.5時(shí)的極限荷載影響較大，實(shí)際工程中應(yīng)注意夾層面的粗糙度對極限荷載的影響。

（4）式（27）給出的實(shí)用計(jì)算公式，可以考慮夾層周圍不同的邊界條件，對于判斷地基中軟弱夾層的承載穩(wěn)定性，具有較好的工程實(shí)用價(jià)值。

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