一類帶垂直傳染和多類易感者的TB模型分析

楊金根, 李學(xué)志

(信陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 河南 信陽(yáng) 464000)

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一類帶垂直傳染和多類易感者的TB模型分析

楊金根, 李學(xué)志

(信陽(yáng)師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院 河南 信陽(yáng) 464000)

建立了一類具有垂直傳染和多類易感者的流行病脈沖微分系統(tǒng),證明了系統(tǒng)無(wú)病周期解的存在性和全局吸引性,并進(jìn)一步給出了系統(tǒng)持續(xù)生存的條件.

垂直傳染; 多類易感者; 全局吸引; 持續(xù)性

0 引言

結(jié)核病是嚴(yán)重危害人民群眾健康的呼吸道傳染病,被列入我國(guó)法定重大傳染病.結(jié)核病是可防可控的傳染病,加強(qiáng)健康宣教,普及防治知識(shí),對(duì)于提升全民防治意識(shí),形成全社會(huì)共同參與防治工作的局面,從而有效預(yù)防控制結(jié)核病傳播流行將起到非常重要的作用.

傳統(tǒng)的結(jié)核模型一般只討論疾病的水平傳播,如呼吸、血液等.實(shí)際上,肺結(jié)核可以垂直傳播,即母嬰傳播,如果母體有結(jié)核分枝桿菌，很可能通過(guò)子宮或分娩時(shí)傳染給孩子.隨著人們對(duì)傳染病模型研究的深入,許多人開(kāi)始研究帶垂直傳染的模型，并取得一定的成果[1-2].脈沖接種是控制傳染病的一個(gè)有效方法,在每個(gè)接種時(shí)刻,用很短的時(shí)間給種群提供疫苗,使一部分易感者獲得了免疫力,所以在傳染病模型中考慮預(yù)防接種因素是必要的,具有脈沖接種的傳染病模型已有一些相關(guān)研究[3-4].傳統(tǒng)的流行病模型往往只將易感者看成一類,并假設(shè)所有的易感者都具有相同的感染率[5-6],這種假設(shè)是不合理的.

本文將建立一類肺結(jié)核模型,在模型中，本文將易感人群按不同的感染率分成若干類,并考慮了疾病的垂直傳播以及預(yù)防接種策略.

1 模型

在本文中的流行病的傳播基于下面的假設(shè).

1) 人群被劃分為3類,他們分別是易感者類S(t),染病者類I(t)和康復(fù)者類R(t),其中易感者類S(t)又被分成m類,記為Si(t),i=1,2,…,m,總?cè)丝跒槌?shù)1,即

3) μ表示出生率,也表示自然死亡率,第i類易感者染病后康復(fù)時(shí)間周期τi,i=1,2,…,m,接種周期為T(mén),每一次的接種率為pi(0

假定所有參數(shù)都是正常數(shù),疾病發(fā)展過(guò)程的模型可描述為:

(1)

(2)

初始條件設(shè)為

φi(s),ψ(s)∈C([-θ,0],Rm+1),φi(0)>0,ψi(0)>0,i=1,2,…,m,

(3)

這里φi(s),ψ(s)為s的正有界且連續(xù)函數(shù),且有

s∈[-θ,0],θ=max{τi},i=1,2,…,m,

根據(jù)生物學(xué)的意義,容易證明系統(tǒng)(2)的正不變集為

2 無(wú)病周期解的存在性和全局吸引性

本節(jié)討論系統(tǒng)(2)的無(wú)病周期解的存在性和全局吸引性,為證明結(jié)論,先給出引理1.

引理1[7]考慮脈沖微分不等式

w′(t)≤(≥)p(t)w(t)+g(t),t≠tk,

這里p(t),g(t)∈C[R+,R],dk≥0,bk是常數(shù).假定

(A1) w∈PC′[R+,R],w(t)在tk左連續(xù),k∈N,那么

證明如果R1<1,可選擇足夠小的εi>0,i=1,2,…,m,使得

(4)

設(shè)(S1(t),S2(t),…,Sm(t),I(t))是系統(tǒng)(2)滿足初始條件(3)的任意一個(gè)解,由系統(tǒng)(2)的第1個(gè)和第3個(gè)方程得

Si(t+)≤Si(t)-piμqi,t=nT,n∈N+,

運(yùn)用引理1,有

(5)

由系統(tǒng)(2)的第2個(gè)方程和式(5),有

由微分方程比較定理和I(t)≥0得

(6)

由此,對(duì)足夠小的ε1>0,存在n2>n1,使得t>n2T時(shí),

I(t)<ε1.

(7)

由系統(tǒng)(2)的第1個(gè)和第3個(gè)方程及式(7)得

及

(8)

3 持續(xù)性

定理2若R2>1,那么系統(tǒng)(2)是一致持續(xù)的,其中

證明設(shè)(S1(t),S2(t),…,Sm(t),I(t))是系統(tǒng)(2)的任意一個(gè)解,由系統(tǒng)(2)的第1個(gè)方程得

根據(jù)脈沖微分方程的比較定理,對(duì)于充分小的ε2>0,存在t0(t0充分大),使t>t0時(shí)

(9)

那么t>t1時(shí)

并且t*充分大,使得

Si(t)>δi,t*

所以

(10)

也就是說(shuō)

這與I(t′)=m″I矛盾.由于區(qū)間t*min{m″I,m′/2}成立,故R2>1時(shí)系統(tǒng)(2)是一致持續(xù)的.

本文把時(shí)滯、脈沖及垂直傳染引入SIR傳染病模型, 分析了脈沖接種、垂直傳染對(duì)疾病根除與系統(tǒng)的持續(xù)性的影響.為了阻止傳染病流行,可以選擇一個(gè)合適的脈沖接種周期T或者脈沖接種率pi，使R1<1,這提供了一個(gè)合理的脈沖免疫接種策略.

[1]Albertod′Onofrio.OnpulsevaccinationstrategyintheSIRepidemicmodelwithverticaltransmission[J].AppliedMathematicsLetters, 2005, 18(7) : 729-732.

[2] 郝麗杰,蔣貴榮,鹿鵬,等.具有垂直傳染的SIRS傳染病模型分岔分析[J].鄭州大學(xué)學(xué)報(bào):理學(xué)版, 2013, 45(2): 31-36.

[3]ZhouYichang.StabilityperiodicsolutionsforanSISmodelwithpulsevaccination[J].MathematicalandComputerModelling,2003,38(3/4):299-308.

[4] 師向云，楊金根， 李澤妤.具有脈沖效應(yīng)的大熊貓冷箭竹拐棍竹三種群系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型研究[J]信陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)版，2014，27(4)：473-477。

[5] 茍清明,余沛.一類有遷移的傳染病模型的閾值[J].四川師范大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2006,29(3):273-276.

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[7]LakshmikanthamV,BainovD,SimeonovP,etal.TheoryofImpulsiveDifferentialEquations[M].Singapore:WorldScientic, 1989.

Analysis on a TB Model with Vertical Transmission and Differential Susceptibility

YANG Jin-gen, LI Xue-zhi

(CollegeofMathematicsandInformationScience,XinyangNormalUniversity,Xinyang464000,China)

According to the propagation of the epidemic, an epidemic system with vertical transmission and differential susceptibility were established. The existence and global attractivity of the infection-free periodic solution of this system were proved. Especially, the sufficient conditions were given to ensure the persistence of the system.

vertical transmission; differential susceptibility; global attractivity; persistence

2014-08-28

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目，編號(hào)11301453；河南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目，編號(hào)132300410329,112300410244；信陽(yáng)師范學(xué)院青年基金資助項(xiàng)目，2013-QN-058．

楊金根(1979-),男,河南南陽(yáng)人，講師,碩士,主要從事生物數(shù)學(xué)研究,E-mail: yangjg1221@163.com．

O175.2

A

1671-6841(2015)01-0059-05

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.01.013