兩個非線性偏微分方程強解的持續(xù)性質(zhì)

賀婷婷， 馬飛遙

(寧波大學 數(shù)學系 非線性科學研究中心 浙江 寧波 315211)

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兩個非線性偏微分方程強解的持續(xù)性質(zhì)

賀婷婷， 馬飛遙

(寧波大學 數(shù)學系 非線性科學研究中心 浙江 寧波 315211)

給出了兩個非線性偏微分方程，即耦合的Camassa-Holm-Novikov方程和兩分量的Novikov方程強解的持續(xù)性質(zhì).通過構(gòu)造權(quán)重函數(shù)，并利用Gronwall不等式，得到相關(guān)估計，從而證明了這兩個偏微分方程的持續(xù)性質(zhì).

Camassa-Holm-Novikov方程； 兩分量的Novikov方程； 持續(xù)性質(zhì)

0 引言

近年來，著名的耦合的Camassa-Holm-Novikov方程越來越得到數(shù)學和物理工作者們的關(guān)注[1],該方程為

(1)

特別的，當k1=0,k2=1時，方程(1)就變成著名的非周期的Camassa-Holm方程，即

ut-uxxt+3uux-2uxuxx-uuxxx=0.

它是Fuchssteiner等[2]在1981年研究遺傳對稱性時發(fā)現(xiàn)的，是流體力學中的一個非常重要的非線性偏微分方程.1993年，Camassa等[3]在淺水波理論中導出了該方程，因此，它被稱為Camassa-Holm方程(CH方程).CH方程有無窮多守恒積分、雙哈密頓結(jié)構(gòu)和尖峰孤立子解.后來研究者們進一步研究了CH方程的局部適定性[4-5]、爆破現(xiàn)象[6-7]和全局解的存在性[8].文[9-11]研究了CH方程的持續(xù)性質(zhì)，并得到了它的孤子解.

此外，當k1=1,k2=0時，方程(1)又變成Novikov方程，即

該方程是Novikov[12]在研究非局域的帶有平方項或立方項的非線性偏微分方程的對稱分類時發(fā)現(xiàn)的，他還找到了Novikov方程的Lax對，證明了它的可積性.Hone等[13]發(fā)現(xiàn)了該方程的無窮多守恒量、矩陣形式的Lax對和雙哈密頓結(jié)構(gòu)，還計算出它的多孤子解.Ni等[14]證明了它的局部適定性.

(2)

本文研究的第2個方程，即著名的兩分量Novikov方程，

(3)

該方程是Geng等[15]于2009年提出來的.隨后，他們又計算出該方程的N孤子解和守恒量.Mi等[16]證明了該方程的局部適定性.Li等[17]得到了兩分量Novikov方程的雙哈密頓系統(tǒng).

為了便于展開證明，將方程(3)寫成它的等價形式，

(4)

對于偏微分方程強解的持續(xù)性的研究是十分必要的[18].關(guān)于Novikov方程[14]、DGH方程[15]、兩分量的CH方程[19]、兩分量的DP方程[20]和兩分量的DGH方程[21]等的持續(xù)性質(zhì)的研究結(jié)果相繼問世.在此基礎(chǔ)上，作者研究了耦合的Camassa-Holm-Novikov方程和兩分量的Novikov方程的持續(xù)性質(zhì).

1 主要結(jié)果

目前還沒能證明方程(2)和(4)的唯一連續(xù)性質(zhì)和無窮傳播速度.

2 定理的證明

定理1的證明為了方便起見，首先引入符號，

(5)

證明思路是通過估計‖u(x,t)‖∞和‖ux(x,t)‖∞得到想要的結(jié)果.

第1步首先估計‖u(x,t)‖∞.

方程(2)兩邊同乘以u2n-1(n∈Z),再對方程兩邊關(guān)于x積分，得

∫Rutu2n-1dx+k1∫Ru2uxu2n-1dx+k2∫Ruuxu2n-1dx+

k1∫Ru2n-1G*E(u)dx+k2∫Ru2n-1?xG*F(u)dx=0.

(6)

考慮式(6)中的左邊第1項，有

對左邊第2項有

對左邊第3項有

應(yīng)用H?lder不等式，得到左邊最后2項的估計結(jié)果分別為

把上面所有的估計結(jié)果代入式(6)，整理可得

A(‖u(t)‖∞‖ux(t)‖∞+‖ux(t)‖∞)‖u(t)‖2n+

A‖G*E(u)‖2n+A‖?xG*F(u)‖2n,

在上式中應(yīng)用Gronwall’s不等式，得

對于任意的函數(shù)f∈L1(R)∩L∞(R),應(yīng)有

(7)

因此，令n→∞，可得

第2步估計‖ux(x,t)‖∞.

對方程(2)兩邊同時關(guān)于x求導，可得

為了去掉二階導數(shù)項，利用分部積分對上式中的第3項和第5項處理，可得

類似地，可以得到下面的不等式:

A(‖u(t)‖∞‖ux(t)‖∞+‖ux(t)‖∞)‖ux(t)‖2n+

利用Gronwall’s不等式得

于是，得到關(guān)于‖u(t)‖∞和‖ux(t)‖∞的估計,

‖u(t)‖∞+‖ux(t)‖∞≤e2Mt(‖u(0)‖∞+‖ux(0)‖∞)+

利用式(5)中的符號E(u),F(u),從方程(2)中可得

?t(uφN)+k1u2φNux+k2uφNux+k1φNG*E(u)+k2φN?xG*F(u)=0.

因此，同理可得

和文[18]中一樣，利用一些小技巧對上式中出現(xiàn)二階導數(shù)的項處理，可得

因此，與無權(quán)重函數(shù)時的情形一樣，重復前面的步驟，可得

‖u(t)φN‖∞+‖ux(t)φN‖∞≤e2Mt(‖u(0)φN‖∞+‖ux(0)φN‖∞)+

(8)

第3步通過簡單的計算可知，存在一個僅依賴于θ∈(0,1)的常數(shù)C>0,使得對任意給定的N∈Z+,有

(9)

于是有

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

因此，將式(10)～(17)代入式(8)中，并利用式(5)和Gronwall’s不等式的積分形式，得

因此，對于任意的n∈Z+和t∈[0,T],都有

最后，在上式中令N→∞,有

定理2的證明在證明定理2的過程中將會用到定理1的結(jié)論.

對任意的t1∈[0,T],對方程(2)兩邊同時關(guān)于時間t在區(qū)間[0,t1]上積分,可得

(18)

利用定理1可得,

下面證明式(18)中左邊的后兩項是O(e-x)，于是有

從已知條件和定理1可知，h(x)～O(e-x),x→∞,因此,

定理3的證明為方便起見，首先引入符號

第1步估計‖u(x,t)φN‖∞.

方程(4)兩邊同時乘以φN(uφN)2n-1(n∈Z),然后方程兩邊同時關(guān)于x微分,得

∫RutφN(uφN)2n-1dx+∫RvuuxφN(uφN)2n-1dx+∫RφN(uφN)2n-1?xG*(vxuux)dx+

∫RφN(uφN)2n-1G*H(u)dx=0.

仿照定理1的證明，對上式中每一項做估計，整理,得到

‖φN?xG*(vxuux)‖2n+‖φNG*E(u)‖2n.

運用Gronwall’s不等式,可得

在上式中，令n→∞,再結(jié)合式(7)得

(19)

第2步估計‖ux(x,t)φN‖∞.

對方程(4)兩邊同時關(guān)于x微分，可得

上式兩邊同時乘以φN(uxφN)2n-1(n∈Z),得

∫R(uxφN)2n-1φN?xG*H(u)dx=0.

為了消去上式中左邊第4項的二階導數(shù)項，對第4項做分部積分，于是有

同理可得

‖v(t)‖∞+‖u(t)‖∞‖ux(t)φN‖2n+

運用Gronwall’s不等式得，

上式中令n→∞,再結(jié)合式(7)可得

因此,結(jié)合式(19)和上式，得到‖u(t)φN‖∞和‖ux(t)φN‖∞的估計結(jié)果，即

‖u(t)φN‖∞+‖ux(t)φN‖∞≤e2JKt(‖u(0)φN‖∞+‖ux(0)φN‖∞)+

(20)

第3步利用式(9)可以得到如下的估計，

(21)

同理可得

(22)

于是，將式(21)～(22)代入到式(20)，并利用式(5)和Gronwall’s不等式的積分形式,可得

‖u(t)φN‖∞+‖ux(t)φN‖∞≤

‖ux(τ)‖∞‖vx(τ)‖∞)(‖φNu‖∞+‖φNux‖∞)dτ≤

因此，對任意的n∈Z+和t∈[0,T],有

最后，在上式中令N→∞,從而發(fā)現(xiàn)對任意的t∈[0,T],

考慮到方程(4)中第1和2式的對稱性，只需證明方程(4)中第1式的持續(xù)性質(zhì)，方程(4)中第2式的持續(xù)性質(zhì)自然可得，即

定理4的證明在證明定理4的過程中將用到定理3的結(jié)論.

對任意給定的時間t1∈[0,T],對方程(4)中第1式兩邊同時關(guān)于t在區(qū)間[0,t1]上積分，得

(23)

由定理3的結(jié)論可得

下面將證明式(23)中的最后兩項是O(e-x),有

由已知條件和定理3可知，當x→∞時，vxuux～O(e-x),又因為

于是有

因此，

類似地，由H(u)～O(e-x)可得

類似地，由方程(4)中第1和2式的對稱性，自然可得關(guān)于v(x,t)的類似結(jié)論,即

在區(qū)間[0,T]上一致成立.

參考文獻：

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Persistence Properties for Two Kinds of Nonlinear Partial Differential Equations

HE Ting-ting, MA Fei-yao

(CenterofNonlinearStudies,FacultyofMathematics,NingboUniversity,Ningbo315211,China)

The persistence properties of two kinds of partial differential equations, i.e.a coupled Camassa-Holm-Novikov equation and a two component Novikov equation were investigated. On the basis of constructing weight function, and combing with the Gronwall’s inequality, the related estimates were obtained.

Camassa-Holm-Novikov equation; two component Novikov equation; persistence property

2014-08-06

寧波自然科學基金資助項目，編號2012A610033.

賀婷婷(1990-),女，甘肅慶陽人，碩士研究生，主要從事數(shù)學物理研究，E-mail: hetingting_3901@163.com;通訊作者：馬飛遙(1979-)，男，湖南衡陽人，講師，主要從事偏微分方程研究，E-mail: mafeiyao@nbu.edu.cn.

O175.2

A

1671-6841(2015)01-0014-10

10.3969/j.issn.1671-6841.2015.01.004