多站式時(shí)差定位系統(tǒng)的誤差空間分布特性

崔劍鋒，楊寶山，杜敬林

（中船重工大連測(cè)控技術(shù)研究所，遼寧 大連 116013）

多站式時(shí)差定位方法廣泛應(yīng)用于雷達(dá)和聲納等定位系統(tǒng)中，探測(cè)網(wǎng)絡(luò)由若干個(gè)測(cè)量站構(gòu)成，時(shí)差定位系統(tǒng)是通過處理多個(gè)測(cè)量站采集到的信號(hào)到達(dá)時(shí)間數(shù)據(jù)對(duì)輻射源進(jìn)行定位.在三維空間中，輻射源信號(hào)到達(dá)兩站的時(shí)間差確定了一對(duì)以兩站為焦點(diǎn)的雙曲面，三維定位則需要四個(gè)測(cè)量站產(chǎn)生3對(duì)雙曲面，交匯解出輻射源的位置.在輻射源某一坐標(biāo)值（如深度信息）可以事先確定的情況下，采用3站式測(cè)量可以得到非線性解，采用4站測(cè)量可以求出線性解.

實(shí)際工作中發(fā)現(xiàn)，在人為誤差、設(shè)備誤差均較小的情況下，定位系統(tǒng)仍可能在某些區(qū)域出現(xiàn)較大的定位誤差（本文把定位誤差較大的區(qū)域表述為低精度區(qū)）.例如在某導(dǎo)彈落點(diǎn)（落點(diǎn)位于海上）測(cè)量過程中，采用聲、光等不同定位系統(tǒng)得到的測(cè)量結(jié)果在某些情況下會(huì)出現(xiàn)較大差異，本文旨在基于數(shù)值模擬對(duì)時(shí)差定位誤差的空間分布規(guī)律進(jìn)行探究，并分析其規(guī)律的形成原因.

時(shí)差定位系統(tǒng)由若干個(gè)位置已知的接收站（或接收陣元）組成，設(shè)輻射源的位置為未知量M（x，y，z），輻射源信號(hào)到達(dá)站點(diǎn)i的距離為di，則有距離方程

任意兩站點(diǎn)的距離方程做差，以1作為參考站點(diǎn)，整理可得距離差方程

式中：di1為第i號(hào)站點(diǎn)與1號(hào)站點(diǎn)到輻射源的距離差；ri為i號(hào)站點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離.

由式（2）構(gòu)成的方程組就可以解算輻射源目標(biāo)位置M（x，y，z），本文著重分析已知目標(biāo)深度信息時(shí)的誤差空間分布特性，即z坐標(biāo)作為已知量.

1 三站式定位分析

若有三個(gè)站點(diǎn)接收到信號(hào)，根據(jù)式（2）可以得到二維方程組，改寫為矩陣形式

解方程式可以求出坐標(biāo)用d1表達(dá)，帶入式（1）中，得到［3］

根據(jù)距離為正可以排除負(fù)解，當(dāng)兩解都為正時(shí)出現(xiàn)模糊解.

設(shè)定聲速測(cè)量誤差小于0.1%，時(shí)差測(cè)量誤差小于0.04ms，站點(diǎn)位置測(cè)量誤差小于3m，目標(biāo)深度誤差小于3m，設(shè)定原始誤差服從均勻分布，利用計(jì)算機(jī)在確定空間區(qū)域內(nèi)進(jìn)行數(shù)值模擬，得到三站式定位誤差的空間分布如圖1，圖2所示，誤差值根據(jù)圖示色棒比對(duì)，深色表示高精度區(qū)，淺色反之，站點(diǎn)坐標(biāo)在圖中給出.分析圖示，可見三站式定位方案中的高精度區(qū)域具有指向性，在站點(diǎn)相對(duì)的方向高精度區(qū)覆蓋范圍較大，在站點(diǎn)兩側(cè)沿著三角形邊長(zhǎng)延長(zhǎng)方向出現(xiàn)低精度區(qū)；且站點(diǎn)對(duì)邊相對(duì)越寬，高精度區(qū)越擴(kuò)展；對(duì)邊相對(duì)越窄，高精度區(qū)域越壓縮.因此，三站式定位誤差空間分布受到站點(diǎn)位置的影響.

圖1 三陣元定位Fig.1 Three element location

圖2 三陣元定位Fig.2 Three element location

2 四站式定位分析

2.1 解算方法與數(shù)值模擬

采用四站式定位方法，可以得到三維線性方程組，求得唯一解，方程組形式如下

設(shè)定誤差來源與大小同前面三站式定位誤差分析一致，對(duì)不同陣型下四站式定位誤差進(jìn)行數(shù)值模擬，結(jié)果如圖3～圖8所示.

圖3 正方形陣Fig.3 Square arry

圖4 菱形陣Fig.4 Diamond array

圖5 菱形陣Fig.5 Diamond array

圖6 菱形陣Fig.6 Diamond array

圖7 平行四邊形陣Fig.7 Parallelogram array

圖8 任意四邊形陣Fig.8 Quadrilateral array

由圖可見，對(duì)正方形陣，低精度區(qū)分布在陣型的兩條中線附近，從陣中心到陣外圍，低精度區(qū)呈擴(kuò)大趨勢(shì)，從高精度區(qū)到低精度區(qū)的過渡時(shí)漸變的；對(duì)菱形陣，低精度區(qū)近似分布在某雙曲線附近，菱形越扁，低精度區(qū)越壓縮，并逐漸覆蓋陣元后的高精度區(qū)；進(jìn)而分析平行四邊形陣及任意四邊形陣，均有相同的規(guī)律.

2.2 分布規(guī)律原因分析

定位結(jié)果的誤差來源主要是人為誤差和設(shè)備誤差，但特定的分布規(guī)律應(yīng)該有其內(nèi)在原因.

對(duì)正方形陣，設(shè)陣元坐標(biāo)如圖3上所標(biāo)注，對(duì)系數(shù)矩陣做初等變換，當(dāng)矩陣不滿秩時(shí)，推知

對(duì)菱形陣，設(shè)陣元坐標(biāo)如圖6所示，推知系數(shù)矩陣的不滿秩條件與式（6）一樣；對(duì)平行四邊形陣，設(shè)陣元坐標(biāo)如圖7所示，推知系數(shù)矩陣的不滿秩條件也是式（6）；對(duì)任意四邊形，設(shè)陣元坐標(biāo)如圖8所示，推知矩陣不滿秩的條件為

依據(jù)奇異矩陣導(dǎo)出的方程可以繪出滿足條件的聲源位置，構(gòu)成一族曲線，如圖9～圖12中虛線所示.

圖9 正方形陣Fig.9 Square array

圖10 菱形陣Fig.10 Diamond array

圖11 平行四邊形陣Fig.11 Parallelogram array

圖12 任意四邊形陣Fig.12 Quadrilateral array

在任意陣型的四陣元定位中，對(duì)系數(shù)矩陣做初等變換，令矩陣不滿秩，可得到d1，d2，d3，d4的關(guān)系滿足

式（8）為非標(biāo)準(zhǔn)的雙曲方程，其中，A，B，C，D為常數(shù)參量，完全由陣元位置決定.特殊的，當(dāng)陣元分布為正方形時(shí)，雙曲線退化為正交的兩條直線.

解出的曲線與定位系統(tǒng)數(shù)值試驗(yàn)中的低精度區(qū)分布規(guī)律和位置一致，可互為驗(yàn)證.

由于存在測(cè)量誤差，當(dāng)聲源的空間位置逐漸逼近奇異矩陣導(dǎo)出的雙曲線所在位置時(shí)，空間定位誤差將逐漸增大.

對(duì)比三站式與四站式定位誤差的空間分布，可以發(fā)現(xiàn)三站式定位的高精度區(qū)域明顯小于四站式定位，但三站式定位方案得到的高精度區(qū)可以基本覆蓋四站式定位方案中的低精度區(qū)域，因此在實(shí)際定位過程中，采用兩種解算方案進(jìn)行互補(bǔ)，可能實(shí)現(xiàn)大部分區(qū)域的精確定位.

3 結(jié) 論

實(shí)際上，在深水情況下，聲速沿深度方向不是一個(gè)常數(shù)，聲線由聲源到接收換能器的傳播聲線不是直線，需要利用水平傳播距離與傳播時(shí)間的關(guān)系來進(jìn)行聲速補(bǔ)償.若忽略聲線彎曲，或在對(duì)聲速進(jìn)行補(bǔ)償?shù)那疤嵯?，基于文中涉及的多站式定位解算方法，可以得到如下結(jié)論：① 多站式時(shí)差定位方法都存在低精度區(qū)的問題；相同條件下，四站式時(shí)差定位方法的低精度區(qū)域遠(yuǎn)小于三站式時(shí)時(shí)差定位方法；② 三站式定位低精度區(qū)的產(chǎn)生原因是非線性解出現(xiàn)無解與模糊解；高精度定位區(qū)域的空間分布具有指向性；③ 四站式定位低精度區(qū)的原因是解算矩陣不滿秩；低精度區(qū)域與奇異矩陣導(dǎo)出的雙曲線重合.

多站式時(shí)差定位方法在解算方法上不可避免地存在低精度區(qū)的問題，如文中分析：三站式、四站式解算方法中的低精度區(qū)域和高精度區(qū)域能夠相互覆蓋，若結(jié)合多種定位方法對(duì)定位算法進(jìn)行互補(bǔ)與整合，可能減小甚至消除定位低精度區(qū).本文暫未對(duì)此進(jìn)行展開分析.

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