《對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)》（第一課時）教學(xué)設(shè)計

邢曉燕

● 創(chuàng)新整合點(diǎn)

◇運(yùn)用幾何畫板軟件的作圖功能、動態(tài)演示功能、反射功能，突出學(xué)習(xí)重點(diǎn)、突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)。設(shè)計“動手實(shí)踐1”，運(yùn)用作圖功能，使學(xué)生在同一坐標(biāo)系中繪出多個對數(shù)函數(shù)圖像，提高學(xué)生動手實(shí)踐能力，加深對對數(shù)函數(shù)定義的認(rèn)識，突出學(xué)習(xí)重點(diǎn);設(shè)計“動手實(shí)踐2”，運(yùn)用動態(tài)演示功能，呈現(xiàn)對數(shù)函數(shù)圖像隨底數(shù)的變化情況，驗(yàn)證底數(shù)取定義范圍內(nèi)任意值時，對數(shù)函數(shù)所具備的性質(zhì)，增強(qiáng)學(xué)生對圖像的直觀感知，突破學(xué)習(xí)難點(diǎn);設(shè)計課件，運(yùn)用反射功能，驗(yàn)證函數(shù)與函數(shù)（且）圖像間的對稱性。

◇運(yùn)用學(xué)霸機(jī)房管理系統(tǒng)，借助“廣播教學(xué)”、“文件分發(fā)”、“學(xué)生演示”功能，實(shí)現(xiàn)圖像共享，提高學(xué)習(xí)效率，突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)。“廣播教學(xué)”功能，實(shí)現(xiàn)教師集中授課與學(xué)生自主學(xué)習(xí)相結(jié)合;“文件分發(fā)”功能，將教師機(jī)課件分發(fā)至學(xué)生機(jī)D盤，快速便捷，避免一一拷貝;“學(xué)生演示”功能是小組代表發(fā)言活動得以實(shí)施的關(guān)鍵。如果沒有學(xué)霸機(jī)房管理系統(tǒng)，學(xué)生所繪圖像只能呈現(xiàn)在自己的計算機(jī)上，無法實(shí)現(xiàn)共享，而“學(xué)生演示”功能的使用，使得全班同學(xué)能快速共享大量圖像，提高了學(xué)生對研究過程的參與程度，學(xué)習(xí)效率明顯提高。

● 教材分析

本節(jié)課是《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)1（必修）》（人教A版）第二章第一節(jié)第二課《對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)》。本節(jié)課的內(nèi)容在教材中起到了承上啟下的關(guān)鍵作用。一方面，對數(shù)函數(shù)是在學(xué)生系統(tǒng)學(xué)習(xí)了函數(shù)概念，基本掌握了函數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)上，進(jìn)行研究的第一個重要的基本初等函數(shù)。作為基本初等函數(shù)，它是繼指數(shù)函數(shù)之后對高中函數(shù)概念及性質(zhì)的又一次應(yīng)用;另一方面，對數(shù)函數(shù)是后續(xù)學(xué)習(xí)冪函數(shù)的基礎(chǔ)，對于研究冪函數(shù)及其他基本初等函數(shù)，在研究方法上起到示范作用。

● 學(xué)生分析

從學(xué)生的知識上看，學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了函數(shù)的定義、圖像、性質(zhì)，對函數(shù)的性質(zhì)和圖像的關(guān)系已經(jīng)有了一定的認(rèn)識。學(xué)生已經(jīng)熟悉研究函數(shù)的一般過程和方法，會用此來研究對數(shù)函數(shù)。

從學(xué)生現(xiàn)有的學(xué)習(xí)能力看，通過初中對函數(shù)的認(rèn)識與理解，學(xué)生已具備了一定的觀察事物的能力，積累了一些研究問題的經(jīng)驗(yàn)，初步具備了抽象、概括的能力。通過教師啟發(fā)式引導(dǎo)，學(xué)生能自主探究完成本節(jié)課的學(xué)習(xí)，會進(jìn)行幾何畫板的基本操作。

● 教學(xué)目標(biāo)

知識與技能目標(biāo)：①通過具體實(shí)例了解對數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景;②初步理解對數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)。

過程與方法目標(biāo)：①借助幾何畫板繪制對數(shù)函數(shù)圖像，加深對定義的認(rèn)識，增強(qiáng)對對數(shù)函數(shù)圖像的直觀感知;②學(xué)生觀察對數(shù)函數(shù)圖像，通過小組討論，代表發(fā)言等活動，探究對數(shù)函數(shù)性質(zhì);③通過對對數(shù)函數(shù)的研究，體會數(shù)形結(jié)合、由具體到一般及類比思想。

情感態(tài)度與價值觀目標(biāo)：通過小組討論、代表發(fā)言活動，培養(yǎng)合作交流意識。

● 教學(xué)環(huán)境與準(zhǔn)備

多媒體網(wǎng)絡(luò)教室、幾何畫板課件、學(xué)霸機(jī)房管理軟件。

● 教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情境

觀察事例1：某種細(xì)胞分裂時，由1個分裂成2個，2個分裂成4個，……依此類推，一個細(xì)胞分裂次后，得到的細(xì)胞個數(shù)為個，思考與的函數(shù)解析式：;指數(shù)式化對數(shù)式：，用表示自變量：。

觀察事例2：一根1米長的繩子，第一次剪掉繩長的一半，第二次剪掉剩余繩長的一半，……剪了次后，剩余繩子的長度為米，思考與的函數(shù)解析式：;指數(shù)式化對數(shù)式：，用表示自變量：。

觀察事例3：已知一個正方形的面積是1，第一次取其四分之一生成正方形，再取的四分之一生成，以此類推，求第次取后生成的正方形的面積與截取次數(shù)之間的函數(shù)解析式：;指數(shù)式化對數(shù)式：，用表示自變量：。

設(shè)計意圖：課上播放PPT動畫，回顧“指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)”一節(jié)的三個觀察示例：“細(xì)胞分裂”、“剪繩動畫”、“截紙動畫”，引出對數(shù)函數(shù)定義，同時使學(xué)生體會到對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系。

2.探究新知

（1）歸納定義

問題1：上述觀察事例中的三個函數(shù)解析式有什么共同特征？

學(xué)生思考得出，三個函數(shù)解析式，結(jié)構(gòu)都是對數(shù)的形式，自變量在真數(shù)位置，定義域?yàn)椤?/p>

設(shè)計意圖：通過對三個實(shí)例函數(shù)解析式的分析，突出對底數(shù)取值的認(rèn)識，引導(dǎo)學(xué)生把解析式概括為的形式，為形成對數(shù)函數(shù)定義作鋪墊。

對數(shù)函數(shù)的定義：一般地，形如（且）的函數(shù)叫做對數(shù)函數(shù)，其中是自變量，函數(shù)的定義域?yàn)?。

師生共同分析定義要點(diǎn)：①定義域?yàn)?②對數(shù)函數(shù)是形式化的定義;③且。教師引導(dǎo)學(xué)生將指數(shù)函數(shù)定義與對數(shù)函數(shù)定義作對比。

練習(xí)1：根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義，判斷下列函數(shù)是否為對數(shù)函數(shù)。

設(shè)計意圖：通過題目判斷加深學(xué)生對對數(shù)函數(shù)定義的認(rèn)識和理解，為學(xué)生自主選擇底數(shù)，應(yīng)用幾何畫板繪制對數(shù)函數(shù)圖像作鋪墊。

（2）作圖探究

問題2：我們研究函數(shù)的一般過程是什么？

教師啟發(fā)學(xué)生思考：歸納定義，畫出圖像，觀察圖像，總結(jié)性質(zhì)，繼而進(jìn)行性質(zhì)應(yīng)用。

設(shè)計意圖：對數(shù)函數(shù)作為基本初等函數(shù)，是繼指數(shù)函數(shù)后對高中函數(shù)概念及性質(zhì)的再次應(yīng)用，學(xué)生已經(jīng)熟悉研究函數(shù)的一般過程和方法，會用此來研究對數(shù)函數(shù)。

作圖1：畫出函數(shù)的圖像。

學(xué)生獨(dú)立在坐標(biāo)紙上作圖，教師巡視個別輔導(dǎo)，正投對比展示學(xué)生作圖結(jié)果，總結(jié)作圖要點(diǎn)，規(guī)范列表、描點(diǎn)、連線的每一步。

設(shè)計意圖：描點(diǎn)法作圖是畫函數(shù)圖像的基本方法，用正投呈現(xiàn)學(xué)生作圖結(jié)果，培養(yǎng)學(xué)生畫圖基本功。

作圖2：自主選擇底數(shù)繪制對數(shù)函數(shù)的圖像。

教師：為了研究對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，我給同學(xué)們傳送了幾何畫板課件“動手實(shí)踐1”，在D盤，這里有兩個任務(wù)，請相繼完成。對于任務(wù)1，全班同學(xué)分為6組，小組中每位同學(xué)設(shè)想一個具體的對數(shù)函數(shù)解析式，小組匯總，每位同學(xué)在同一坐標(biāo)系中，繪制每組所確定的對數(shù)函數(shù)的圖像，之后完成任務(wù)2（如圖1）。

設(shè)計意圖：設(shè)計任務(wù)1，是為了加深學(xué)生對對數(shù)函數(shù)定義的認(rèn)識，增強(qiáng)對圖像的直觀感知。設(shè)計任務(wù)2，是將本節(jié)課的重點(diǎn)以任務(wù)形式呈現(xiàn)，使任務(wù)1的實(shí)施更具方向性，使課堂教學(xué)更具靈活性和機(jī)動性。

每位學(xué)生自主選擇底數(shù)，確定一個

對數(shù)函數(shù)解析式，小組匯總。

設(shè)計意圖：學(xué)生自選底數(shù)，確定對數(shù)函數(shù)解析式，加深對對數(shù)函數(shù)定義的認(rèn)識。

學(xué)生小組討論之后，每位同學(xué)打開D盤，雙擊進(jìn)入幾何畫板課件“動手實(shí)踐1”，在同一坐標(biāo)系中，繪制每組確定的對數(shù)函數(shù)圖像。

設(shè)計意圖：學(xué)生通過幾何畫板課件“動手實(shí)踐1”，在同一坐標(biāo)系中，繪制多個對數(shù)函數(shù)圖像，在繪制過程中，可以更加直觀地感知底數(shù)對對數(shù)函數(shù)圖像的影響，能更好地觀察圖像特征，總結(jié)圖像性質(zhì)。

學(xué)生自主選擇底數(shù)，繪制對數(shù)函數(shù)圖像，完成“任務(wù)1”之后，思考、討論“任務(wù)2”，各小組根據(jù)所繪制的對數(shù)函數(shù)圖像，觀察圖像特征，總結(jié)性質(zhì)，每組自薦一名代表發(fā)言。

教師適時發(fā)問、點(diǎn)撥，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，師生、生生互動交流。

設(shè)計意圖：應(yīng)用學(xué)霸機(jī)房管理系統(tǒng)，“學(xué)生演示”功能，逐個呈現(xiàn)每組學(xué)生作圖結(jié)果，快速大量共享圖像，加深學(xué)生對對數(shù)函數(shù)圖像特征的認(rèn)識，有助于攻克教學(xué)難點(diǎn)，課堂效率明顯提高。

小組學(xué)生發(fā)言，師生交流過程中，解決問題3、問題4和問題5。

問題3：觀察圖像，你認(rèn)為如何對對數(shù)函數(shù)進(jìn)行分類研究？

各小組學(xué)生共提出兩類標(biāo)準(zhǔn)：①按圖像上升和下降分兩類;②按底數(shù)分兩類。經(jīng)教師引導(dǎo)，學(xué)生發(fā)現(xiàn)這兩類標(biāo)準(zhǔn)可以統(tǒng)一：與圖像上升統(tǒng)一;與圖像下降統(tǒng)一。

問題4：你能結(jié)合屏幕上所呈現(xiàn)的對數(shù)函數(shù)圖像，觀察它們的圖像特征，并總結(jié)其性質(zhì)嗎？

各組學(xué)生從圖像位置、特殊點(diǎn)、圖像變化趨勢等方面總結(jié)圖像特征，概括性質(zhì)如表1。

設(shè)計意圖：學(xué)生通過觀察具體對數(shù)函數(shù)圖像，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想，歸納概括性質(zhì)。

問題5：函數(shù)與（且）的圖像之間有什么關(guān)系？

有的小組作出和的圖像，觀察、猜想兩個函數(shù)圖像關(guān)于軸對稱;有的小組作出3對對數(shù)函數(shù)圖像（如圖2），觀察猜想圖像關(guān)于軸對稱，進(jìn)而猜想與（且）關(guān)于軸對稱。

對于學(xué)生猜想和的圖像關(guān)于軸對稱，教師引導(dǎo)學(xué)生從坐標(biāo)角度理解，并用幾何畫板進(jìn)行驗(yàn)證。在函數(shù)圖像和函數(shù)的圖像上，分別取橫坐標(biāo)相同的兩個點(diǎn)，點(diǎn)和隨之運(yùn)動，觀察縱坐標(biāo)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)縱坐標(biāo)相反，點(diǎn)和關(guān)于軸對稱，所以和的圖像關(guān)于軸對稱。繼而，教師操作課件驗(yàn)證：當(dāng)取定義范圍內(nèi)的任意值時，圖像間的對稱關(guān)系（如圖3）。

設(shè)計意圖：通過具體底數(shù)的兩個對數(shù)函數(shù)圖像間的關(guān)系，觀察、歸納、概括一般的兩個對數(shù)函數(shù)與（，且）圖像間關(guān)系，體會由特殊到一般思想的應(yīng)用。

各小組總結(jié)圖像特征，概括函數(shù)性質(zhì)之后，教師總結(jié)呈現(xiàn)整理結(jié)果。

問題6：我們由具體對數(shù)函數(shù)分析出它們的圖像特征和所具備的性質(zhì)，所有的對數(shù)函數(shù)都具備這樣的性質(zhì)嗎？

教師操作幾何畫板軟件，通過拖動點(diǎn)，改變底數(shù)的大小，得到（且）的對數(shù)函數(shù)的圖像，驗(yàn)證底數(shù)取定義范圍內(nèi)所有值時，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)。

在幾何畫板課件“動手實(shí)踐2”中，學(xué)生自己拖動點(diǎn)“”，親身體驗(yàn)圖像隨底數(shù)的變化情況，進(jìn)而歸納性質(zhì)（如圖4）。

設(shè)計意圖：通過幾何畫板課件的動態(tài)演示，學(xué)生更直觀地觀察到對數(shù)函數(shù)圖像隨底數(shù)的變化情況，以及為什么要把底數(shù)分為和兩類，有利于學(xué)生由圖像歸納性質(zhì)，從而突破本節(jié)課的難點(diǎn)。

（3）歸納性質(zhì)

學(xué)生觀察圖像，討論總結(jié)性質(zhì)，如下頁表2。

設(shè)計意圖：學(xué)生總結(jié)性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生歸納概括能力。

師生共同對學(xué)習(xí)內(nèi)容進(jìn)行總結(jié)：①研究函數(shù)的一般過程是：定義→圖像→性質(zhì)→應(yīng)用。②借助圖像研究性質(zhì)，應(yīng)用了數(shù)形結(jié)合思想;由具體對數(shù)函數(shù)入手，到一般對數(shù)函數(shù)總結(jié)性質(zhì)，應(yīng)用由特殊到一般思想方法;對數(shù)函數(shù)對底數(shù)分類進(jìn)行研究性質(zhì)，應(yīng)用了分類討論思想，類比指數(shù)函數(shù)研究對數(shù)函數(shù)，應(yīng)用了類比思想。

3.例題講解

師：剛才我們共同探究得出性質(zhì)，下邊看性質(zhì)應(yīng)用。

例1：比較下列各組中兩個值的大小：①;②;③。

設(shè)計意圖：通過例題使學(xué)生體會對數(shù)函數(shù)單調(diào)性應(yīng)用，設(shè)計三題，使學(xué)生體會分類討論思想。

第一題教師引導(dǎo)講解，示范解答過程，第二題、第三題學(xué)生正投講解。

設(shè)計意圖：通過學(xué)生正投講解題目做法，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和勇氣，同時，對于出現(xiàn)的錯誤及時糾錯，起到示范作用。

4.歸納總結(jié)

◇這節(jié)課你學(xué)到哪些知識？

◇這節(jié)課你體會到哪些數(shù)學(xué)思想方法？

5.分層作業(yè)

◇必做題：P73，2、3;

◇選作題：函數(shù)和的圖像間有何關(guān)系？

● 教學(xué)反思

1.設(shè)計問題系列，驅(qū)動教學(xué)

問題是數(shù)學(xué)的心臟，本節(jié)課以6個問題為主線貫穿始終，以問題解決為教學(xué)線索，在教師的主導(dǎo)與計算機(jī)的輔助下，學(xué)生思維由問題開始，由問題深化。

2.借助信息技術(shù)突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)

本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是對數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì);學(xué)習(xí)難點(diǎn)是用數(shù)形結(jié)合方法從具體到一般地探索概括對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，為突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)，使用了以下信息技術(shù)：

◇探究對數(shù)函數(shù)概念：課上播放“細(xì)胞分裂”、“剪繩動畫”、“截紙動畫”三個PPT課件，學(xué)生總結(jié)三個“觀察事例”中函數(shù)解析式的共同特征，概括到的形式，從而形成概念，突出學(xué)習(xí)重點(diǎn)。

◇繪制對數(shù)函數(shù)圖像：作圖1，學(xué)生動手畫圖，初步感知對數(shù)函數(shù)圖像，教師個別輔導(dǎo)，正投展示，對比分析作圖結(jié)果，糾正作圖錯誤，總結(jié)作圖要點(diǎn)，培養(yǎng)學(xué)生作圖基本功;作圖2，設(shè)計課件，全體學(xué)生參與，自選底數(shù)繪制對數(shù)函數(shù)圖像，從而加深了學(xué)生對定義的認(rèn)識，增強(qiáng)了對圖像的直觀感知，突出學(xué)習(xí)重點(diǎn)。

◇探究對數(shù)函數(shù)性質(zhì)：對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的獲得，需要借助對數(shù)函數(shù)圖像。設(shè)計“動手實(shí)踐2”，教師運(yùn)用幾何畫板的動態(tài)演示功能，驗(yàn)證底數(shù)取定義范圍內(nèi)所有值時，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，學(xué)生操作課件“動手實(shí)踐2”，通過拖動點(diǎn)“”，改變底數(shù)的值，觀察對數(shù)函數(shù)圖像隨底數(shù)的變化情況，學(xué)生的親身體驗(yàn)，提高了對研究過程的參與程度，有效突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)。

◇運(yùn)用學(xué)霸機(jī)房管理系統(tǒng)，其“廣播教學(xué)”“文件分發(fā)”“學(xué)生演示”功能，使得大量圖像共享成為可能，使得學(xué)生小組代表發(fā)言活動得以實(shí)施。學(xué)霸機(jī)房管理系統(tǒng)的使用，提高了學(xué)生對研究過程的參與程度，使得學(xué)習(xí)效率明顯提高，更為有效地突破學(xué)習(xí)難點(diǎn)。