一種基于Q矩陣?yán)碚摌闼氐恼J(rèn)知診斷方法*

(江西師范大學(xué)心理學(xué)院,南昌 330022)

1 引言

通常將對個體知識結(jié)構(gòu)、加工技能或認(rèn)知過程的診斷評估稱之為認(rèn)知診斷評估(Cognitive Diagnosis Assessment,CDA)或認(rèn)知診斷(Cognitive Diagnosis,CD,Leighton &Gierl,2007)。與一般的教育考試不同,認(rèn)知診斷使用融合了相關(guān)認(rèn)知變量的心理計量學(xué)模型對被試進(jìn)行診斷評估。這使得測驗不再局限于單一而籠統(tǒng)的分?jǐn)?shù),而是能夠提供關(guān)于被試認(rèn)知水平更加詳細(xì)的診斷信息,從而更深入地了解學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與水平。據(jù)統(tǒng)計,認(rèn)知診斷方法發(fā)展至今已達(dá)100多種(辛濤,樂美玲,張佳慧,2012)。其中,受研究者關(guān)注較多的有：(Tatsuoka,1991,1995;Tatsuoka &Tatsuoka,1997)的規(guī)則空間方法(Rule Space Method,RSM),Junker和Sijtsma(2001)的決定性輸入,噪音‘與’門模型(the Deterministic Inputs,Noisy “and” Gate Model,DINA),Leighton,Gierl和 Hunka(2004)以及 Leighton和Gierl(2007)的屬性層次方法(Attribute Hierarchy Method,AHM),等等。

Q矩陣?yán)碚摵驼J(rèn)知診斷方法是認(rèn)知診斷的兩個重要組成部分。作為認(rèn)知診斷的基礎(chǔ),Q矩陣?yán)碚摪韵聨讉€核心概念：Q矩陣、鄰接矩陣(Adjacency Matrix,簡稱為 A 矩陣)、可達(dá)矩陣(Reachability Matrix,簡稱為R矩陣)、理想掌握模式(Ideal Master Pattern,IMP)或知識狀態(tài)(Knowledge States,KS)、典型項目考核模式及理想反應(yīng)模式(Ideal Response Pattern,IRP)。Q矩陣是描述測驗項目與屬性間關(guān)系的關(guān)聯(lián)矩陣。A矩陣是反映屬性間直接關(guān)系的矩陣。R矩陣是反映屬性間直接關(guān)系、間接關(guān)系和自身關(guān)系的矩陣。IMP是根據(jù)屬性間的層級關(guān)系確定的所有符合邏輯的掌握模式,也稱之為KS。典型項目考核模式是根據(jù)屬性間層級關(guān)系確定的所有符合邏輯的測驗項目考核模式。IRP是被試在不存在任何失誤和猜測誤差條件下對項目的作答反應(yīng)。

在界定好上述矩陣后,便可利用相應(yīng)的認(rèn)知診斷方法對被試進(jìn)行診斷評估。以 RSM 為例,其基本思想是利用被試的觀察反應(yīng)模式(Observed Response Pattern,ORP)來推斷其潛在的不可直接觀察的屬性掌握模式(Attribute Master Pattern,AMP)。大致步驟是：基于Q矩陣?yán)碚?建立起IMP與IRP之間的一一對應(yīng)關(guān)系,再利用其構(gòu)建的二維規(guī)則空間,采用 Bayes判別法對被試進(jìn)行事后診斷分類。而AHM在RSM的基礎(chǔ)上,認(rèn)為應(yīng)當(dāng)先獲得Q矩陣再編制測驗。其判別分類方法主要包括兩種：A方法和B方法。A方法將需判別的ORP與所有的IRP逐個比較,求取二者的相似的概率,按概率最大的準(zhǔn)則進(jìn)行診斷分類。B方法將ORP與所有的IRP進(jìn)行逐個比較,確定不包含在該ORP中的IRP,計算其1-0型失誤的概率,按概率最大的準(zhǔn)則進(jìn)行診斷分類。

受AHM啟發(fā),結(jié)合丁樹良等人(2009,2010)提出的改進(jìn)的Q矩陣?yán)碚?孫佳楠等人(2011)提出了廣義距離判別法(Generalized Distance Discrimination,GDD)。GDD引入項目反應(yīng)理論(Item Response Theory,IRT)中的項目正確作答概率

P

和(1-P)以及0,用以定義被試的ORP與IRP對應(yīng)位置元素間的廣義距離,再計算被試的ORP與每種IRP之間的廣義距離,按距離最短準(zhǔn)則直接對被試的 ORP進(jìn)行分類。GDD以 DINA模型為基準(zhǔn),與 RSM 和AHM的A方法在相同實驗條件下相比,具有更好的分類效果。

需要注意的是,現(xiàn)存的認(rèn)知診斷方法通常依托于特定的心理計量學(xué)模型。因此,如何獲得精確的模型參數(shù)是整個方法的關(guān)鍵。這其中的數(shù)學(xué)運(yùn)算量大且復(fù)雜。雖然已有少量專業(yè)軟件可供使用,但基本上都要求使用者有較扎實的測量學(xué)基礎(chǔ)。在某些情境下甚至需要進(jìn)行計算機(jī)編程才能實現(xiàn)參數(shù)估計。換言之,使用者的學(xué)習(xí)“成本”較高。但是,在實際情境中,認(rèn)知診斷測驗的使用者多為中小學(xué)的一線教師。若要求他們花費較多時間在理解如何使用某種認(rèn)知診斷方法上,勢必會影響日常的教學(xué)工作。這顯然是不合理的,也與研究者開發(fā)認(rèn)知診斷方法進(jìn)行輔助教學(xué)的初衷相違背。因此,認(rèn)知診斷方法的簡單化具有重要的實踐意義。

本研究提出一種直接利用被試的作答信息對被試進(jìn)行診斷分類的方法,即海明距離判別法(Hamming Distance Discrimination,HDD)。使用海明距離(Hamming Distance,HD)定義被試的ORP與每種IRP之間的距離,根據(jù)距離最短準(zhǔn)則對被試進(jìn)行診斷分類。按照判別方式的不同,將HDD分為B方法和R方法。通過Monte Carlo模擬研究,探查HDD的 B方法和 R方法的診斷分類效果,并與GDD進(jìn)行比較。

2 規(guī)則空間方法、廣義距離判別法概述

2.1 規(guī)則空間方法(RSM)

RSM分為兩大部分,Q矩陣的確定和規(guī)則空間的構(gòu)建及判別,基本步驟如下：

(1)建立項目與屬性間的關(guān)系,構(gòu)造Q矩陣,計算所有可能的IMP及對應(yīng)的IRP;

2.2 廣義距離判別法(GDD)

3 海明距離判別法(Hamming Distance Discrimination,HDD)

3.1 海明距離(HD)

海明距離,有時譯成漢明距離。在信息論中,海明距離指兩個等長字符串對應(yīng)位置的不同字符的個數(shù)。如,字符串A(1,0,1)與字符串B(0,1,0)的對應(yīng)位置的不同字符個數(shù)為3,即A與B的海明距離為3。海明距離被用于海明碼(Hamming Code)中,對編碼進(jìn)行檢錯和糾錯(Hamming,1950)。

3.2 定義反應(yīng)模式間的海明距離(Hamming Distance between Response Patterns,HDRP)

不考慮測驗中被試的ORP缺失的情況,在0-1計分項目的認(rèn)知診斷測驗中,我們將被試

i

的 ORP與第

t

種IRP之間的海明距離定義為：

3.3 海明距離判別法(HDD)的合理性

第二,判別方法的合理性。由于 ORP與 IRP對應(yīng)位置的元素間的海明距離均為非0即1的整數(shù),使得必然會出現(xiàn)某個被試的ORP與多個IRP間的海明距離相同且均為最小值的情況(本研究中各種實驗條件下符合該情況的被試占總?cè)藬?shù)的比例詳見表1)。此時無法按照距離最短準(zhǔn)則對被試進(jìn)行判別。因此,必須采取某種判別方式對符合此種情況的被試此進(jìn)行處理。根據(jù)判別方式的不同,本方法可分為R方法和B方法兩種。R方法是從多個最小值對應(yīng)的IRP中隨機(jī)(Random)選取一種,再將其對應(yīng)的 IMP作為被試的 AMP判別值。由于這些“特殊的”IRP是在剔除了大部分與被試的ORP相似度低的IRP后挑選出來的,在沒有其它任何可輔助判別的信息的情況下,有理由認(rèn)為該被試的 AMP恰好是這些“特殊的”IRP中任意一種所對應(yīng)的IMP的概率均等。故使用隨機(jī)選取的方式對其進(jìn)行處理,是合理的。B方法參考RSM,對多個最小值的情況使用Bayes判別法,合理地利用了當(dāng)前測驗情境所提供的信息來輔助對被試的判別分類,能夠減少誤判,提高診斷結(jié)果的分類準(zhǔn)確率。

3.4 應(yīng)用海明距離法(HDD)作判別

HDD分為兩大步：

第一步,計算被試

i

的ORP與每種IRP之間的海明距離,并按距離最短原則對被試進(jìn)行判別分類;

第二步,運(yùn)用R方法或B方法。

經(jīng)過第一步,即可將被試分為兩類,第一類被試能夠找到與其ORP的海明距離最小的IRP,且該IRP是唯一確定的;第二類被試雖然也能找到與其ORP海明距離最小的IRP,但找出的IRP并不是唯一的。其中,第一類被試通過第一步即可完成診斷分類,而第二類被試需要繼續(xù)進(jìn)行第二步,即采用R方法或B方法中的一種,以實現(xiàn)分類的目標(biāo)。R方法簡單易懂,不再贅述。下面重點介紹如何使用B方法。

不難發(fā)現(xiàn),第一類被試的判別分類結(jié)果實質(zhì)上提供了關(guān)于此次測驗情境的中各種IRP的分布信息,能夠較好地體現(xiàn)當(dāng)前被試群體的能力分布特點,有助于對第二類被試的分類判別。例如,當(dāng)被試

i

的ORP同時與

IRP

和

IRP

的海明距離最小時,若第一類被試中

IRP

的判別人數(shù)更多,則有理由認(rèn)為被試

i

的AMP是

IRP

所對應(yīng)的IMP的概率更大。故利用第一類被試的判別結(jié)果計算

IRP

的后驗概率,方法如下：

其中,

N

為當(dāng)前被試的總?cè)藬?shù),

n

為在這

N

個被試中AMP為第

t

種IRP對應(yīng)的IMP的被試人數(shù)。

4 模擬研究

4.1 Q矩陣的設(shè)計

本研究采用與孫佳楠等人(2011)相同的實驗條件,考察 Leighton等人(2004)給出的四種屬性層級關(guān)系——直線型(Linear)、收斂型(Convergent)、發(fā)散型(Divergent)和無結(jié)構(gòu)型(Unstructured)。除此之外,Tatsuoka(1995,2009)在其研究中還使用了屬性間互不相關(guān)(unrelated)的一種屬性層級關(guān)系。為表述方便,稱之為獨立型(Independent)。本研究將其納入考察范圍。至此,一共考察五種基本的屬性層級關(guān)系(見附錄 1)。根據(jù)屬性間的層級關(guān)系,可以導(dǎo)出每種層級關(guān)系下的典型項目考核模式,它們分別為6個項目、7個項目、15個項目、32個項目和63個項目。為了盡量保證不同屬性層級關(guān)系下的測驗項目數(shù)基本一致,我們讓五種典型項目考核模式分別在測驗中重復(fù)出現(xiàn)5次、5次、2次、1次和1次。其中,獨立型的屬性層級關(guān)系下,由于題數(shù)的限制,只取了 63個項目中按項目考察屬性的個數(shù)由小到大排序后的前30個項目。據(jù)此,五種屬性層級關(guān)系的測驗長度分別 30題、35題、30題、32題和30題(見附錄2)。

4.2 被試作答反應(yīng)矩陣的模擬

本研究中各種實驗條件下的被試樣本容量均為 1000人。根據(jù)屬性層級關(guān)系可以求出五種屬性層級關(guān)系下被試的IMP種類,分別為7種、8種、16種、33種和64種。結(jié)合4.1部分的Q矩陣設(shè)計,計算各種IMP對應(yīng)的IRP,求取每種IRP對應(yīng)的測驗總分。按照標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布確定各測驗總分的人數(shù)分布,并使得測驗總分相同的 IMP的被試人數(shù)一致。這樣就得到了五種屬性層級關(guān)系下服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的1000個被試的IMP。

根據(jù)五種屬性層級關(guān)系下的 1000個被試的IMP及4.1 部分的Q矩陣設(shè)計,在沒有任何失誤和猜測的情況下,模擬被試在各測驗項目上的 IRP。然后在IRP的基礎(chǔ)上,采用Leighton 等人(2004)的模擬方法,模擬作答反應(yīng)失誤概率(slip)分別為2%,5%,10%和15%的情況下被試的作答反應(yīng)矩陣。

4.3 模擬次數(shù)

每種實驗條件下的模擬次數(shù)為50次。

4.4 模擬研究使用的判別分類法

對每種實驗條件下模擬所得的被試作答反應(yīng)矩陣,均采用HDD的B方法、R方法和GDD對其進(jìn)行判別分類。

4.5 評價標(biāo)準(zhǔn)

采用模式判準(zhǔn)率(Pattern Match Ratio,PMR)和屬性平均判準(zhǔn)率(Average Attribute Match Ratio,AAMR)作為評價指標(biāo)。二者公式如下：

5 研究結(jié)果

ORP與多個 IRP的海明距離相同且均為最小值的被試占總?cè)藬?shù)的比例見表1。HDD中的B方法、R方法和 GDD的模式判準(zhǔn)率(PMR)和屬性平均判準(zhǔn)率(AAMR)見表2及圖1和圖2。所有結(jié)果均為50次模擬的平均值。

表1 ORP與多個IRP的海明距離相同且均為最小值的被試占總?cè)藬?shù)的比例

表2 HDD的B方法、R方法和GDD的模式判準(zhǔn)率(PMR)和屬性平均判準(zhǔn)率(AAMR)

本研究的 Monte Carlo模擬實驗中計算出的GDD的分類準(zhǔn)確率,與已有文獻(xiàn)的研究結(jié)果處于同一水平(孫佳楠等,2011;涂冬波等,2013;蔡艷等,2013)。

由表1可知,在五種屬性層級關(guān)系下,ORP與多個IRP的海明距離相等且最小的被試占總?cè)藬?shù)的比例由低到高分別為直線型、收斂型、獨立型、發(fā)散型、無結(jié)構(gòu)型。

由表2可知,在五種屬性層級關(guān)系下,分類準(zhǔn)確率由高到低依次為HDD的B方法,HDD的R方法,GDD。其中,對直線型和無結(jié)構(gòu)型的屬性層級關(guān)系,HDD的B方法和R方法的PMR和AAMR均略高于GDD;對于收斂型、發(fā)散型和獨立型的屬性層級關(guān)系,HDD的B方法和R方法的PMR和AAMR均優(yōu)于GDD。就HDD而言,在五種屬性層級關(guān)系下,B方法的PMR和AAMR均高于R方法。其中,對于直線型、收斂型和無結(jié)構(gòu)型的屬性層級關(guān)系,B方法的PMR和AAMR略高于R方法;對于發(fā)散型和獨立型的屬性層級關(guān)系,B方法的PMR和AAMR要優(yōu)于R方法。

由圖1和圖2可知,對同一種屬性層級關(guān)系而言,隨著作答反應(yīng)失誤概率(slip)的增加,HDD的B方法、R方法和GDD的PMR和AAMR均不斷下降。其中,HDD的B方法的判別效果下降速度最慢,R方法次之,GDD下降較快。五種屬性層級關(guān)系下,HDD的B方法和R方法與GDD的判別效果之間的差距均呈增加趨勢。其中,對于直線型和無結(jié)構(gòu)型的屬性層級關(guān)系,三者的判別效果差距較小。對于收斂型、發(fā)散型和獨立型的屬性層級關(guān)系,三者的判別效果差距較大。

6 小結(jié)與討論

6.1 研究結(jié)論

通過上述實驗結(jié)果,可以得出以下結(jié)論：

(1)三種認(rèn)知診斷方法的分類準(zhǔn)確率均受屬性層級結(jié)構(gòu)的緊密程度的影響,屬性層級關(guān)系越緊密,分類準(zhǔn)確率越高。

圖1 HDD的B方法、R方法和GDD的知識狀態(tài)的模式判準(zhǔn)率比較

圖2 HDD的B方法、R方法和GDD的知識狀態(tài)的屬性平均判準(zhǔn)率比較

(2)總體而言,分類準(zhǔn)確率由高至低分別為HDD的B方法,HDD的R方法,GDD。

GDD的本質(zhì)是利用IRT模型中的2PLM項目特征函數(shù)對ORP與IRP之間的海明距離進(jìn)行加權(quán)處理,再根據(jù)距離最小原則進(jìn)行判別分類。在這個過程中,參數(shù)估計的誤差在一定程度上影響了GDD的分類準(zhǔn)確率。當(dāng)被試的作答中包含有更大的誤差因素(即實驗中的 slip更大)時,參數(shù)估計的結(jié)果會更加不準(zhǔn)確,因而對 GDD的分類準(zhǔn)確率的影響也會更大。HDD則規(guī)避了這一誤差來源,且方法本身所依據(jù)的邏輯合理,因此HDD的B方法和R方法都具有較高的分類準(zhǔn)確率。

6.2 HDD的特點分析

DiBello和Stout(2007)認(rèn)為,模型的參數(shù)應(yīng)當(dāng)足夠復(fù)雜,以便提供盡可能多的診斷信息,但是,在模型的參數(shù)擬合數(shù)據(jù)的情況下也應(yīng)該足夠簡單,以滿足實踐者的需要。因此,當(dāng)兩種認(rèn)知診斷方法具有同等水平的分類準(zhǔn)確率時,操作更加簡單的認(rèn)知診斷方法顯然更佳。DINA模型和 GDD就是其中的代表。與現(xiàn)有認(rèn)知診斷方法相比,本研究所提出的 HDD在具有較高的分類準(zhǔn)確率的同時,并沒有引入額外的參數(shù),具有零參數(shù)的特點,不需要進(jìn)行參數(shù)估計。因此,可以避免因估計方法的誤差而導(dǎo)致分類準(zhǔn)確率下降的不良后果。與此同時,不需要參數(shù)估計的特點使HDD的操作步驟非常簡單。理論上,只要獲取被試的作答數(shù)據(jù),進(jìn)行簡單的加減運(yùn)算即可對被試進(jìn)行診斷分類,故稱之為“樸素的”認(rèn)知診斷方法。運(yùn)用HDD可以大大降低中小學(xué)一線教師實施認(rèn)知診斷測驗的難度,有助于認(rèn)知診斷測驗的推廣和應(yīng)用。但零參數(shù)的特點有利也有弊,弊在于HDD無法同其他認(rèn)知診斷方法一樣獲得項目參數(shù),也就無法實現(xiàn)對項目性能的量化描述。因此,在 1-0計分的認(rèn)知診斷測驗中,當(dāng)需要獲取項目參數(shù)時,可考慮使用其他認(rèn)知診斷方法。

6.3 B方法與R方法

HDD的B方法的分類準(zhǔn)確率相對于R方法而言更高,但Bayes判別對于樣本容量較為敏感。當(dāng)后驗概率不準(zhǔn)確時,B方法的分類準(zhǔn)確率必然會受到影響。R方法便適用于此種情況。故建議在實施認(rèn)知診斷測驗時,被試量較小時,可以使用 R方法。被試量較大時,則改用B方法,可以得到更好的分類效果。

7 展望

本研究在Monte Carlo模擬研究的情境下,對HDD在 0-1評分的認(rèn)知診斷測驗中的分類效果進(jìn)行了探討。然而,實際情境中被試的作答可能會受到多種因素的影響。因此,需要使用實測數(shù)據(jù)從多方面對 HDD進(jìn)行效度驗證。此外,還可以開發(fā)適用于多級評分及混合評分的HDD,使得HDD能夠應(yīng)用于不同的測驗情境。

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附錄1 五種基本的屬性層級關(guān)系

A.直線型(Linear)

B.收斂型(Convergent)

C.發(fā)散型(Divergent)

D.無結(jié)構(gòu)型(Unstructured)

E.獨立型(Independent)

附錄2 五種基本的屬性層級關(guān)系的Q矩陣

A.直線型(Linear)

B.收斂型(Convergent)

C.發(fā)散型(Divergent)

D.無結(jié)構(gòu)型(Unstructured)

E.獨立型(Independent)

附錄3 直線型屬性層級關(guān)系和獨立型屬性層級關(guān)系下的IRP

A.直線型(Linear)

B.獨立型(Independent)

由于獨立型屬性層級關(guān)系下的IRP種類過多,僅列出其中15種：