用數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo)教學(xué)

張雙孝

數(shù)學(xué)思想方法，作為數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的精髓，是對(duì)數(shù)學(xué)的本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種指導(dǎo)思想和普遍適用的方法。數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)和領(lǐng)悟會(huì)使學(xué)生將所學(xué)的零散的知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系起來(lái)，能幫助學(xué)生形成有序的知識(shí)鏈，為學(xué)生構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)起到十分重要的作用，是由知識(shí)轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)意識(shí)、形成優(yōu)良思維素質(zhì)的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)時(shí)，學(xué)生“懂得基本原理使得學(xué)科更容易理解”（布魯納），有利于記憶。學(xué)習(xí)基本原理有利于“原理和態(tài)度的遷移”，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造能力，能夠縮短高級(jí)知識(shí)和初級(jí)知識(shí)之間的間隙。數(shù)學(xué)思想方法能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維品質(zhì)。

數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的課堂組織模式

數(shù)學(xué)思想方法是基于數(shù)學(xué)表層知識(shí)，又高于它的深層數(shù)學(xué)知識(shí)，它隱藏在具體的數(shù)學(xué)知識(shí)方法之中，精心設(shè)計(jì)課堂教學(xué)、把握教學(xué)全過(guò)程是有效進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)的基礎(chǔ)和保證。教師要“站在系統(tǒng)的高度教授知識(shí)，讓知識(shí)總是以系統(tǒng)中的一個(gè)環(huán)節(jié)的面貌出現(xiàn)在學(xué)生的面前”，著重?cái)?shù)學(xué)原理的發(fā)現(xiàn)與汲取，設(shè)計(jì)課堂方案與組織實(shí)施。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我共梳理了以下五種模式。

觀察、猜想——啟發(fā)式。教師引導(dǎo)學(xué)生恰當(dāng)運(yùn)用觀察與實(shí)驗(yàn)來(lái)獲取經(jīng)驗(yàn)材料，進(jìn)行大膽猜想，發(fā)現(xiàn)新事物。操作程序可設(shè)計(jì)為：觀察—猜想—實(shí)驗(yàn)—證明—應(yīng)用。此模式適用于規(guī)律課（定理、公式、性質(zhì)）的教學(xué)，在教學(xué)中強(qiáng)調(diào)從特殊到一般的方法。

研究、實(shí)踐——探究式。在數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中經(jīng)過(guò)逐步抽象、概括而得到數(shù)學(xué)模型，利用數(shù)學(xué)知識(shí)研究數(shù)學(xué)模型的結(jié)論，分析數(shù)據(jù)，并解釋實(shí)際問(wèn)題蘊(yùn)含的內(nèi)在原因。此模式適用于數(shù)學(xué)實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題教學(xué)，一方面是利用函數(shù)方程思想、最優(yōu)化思想解決有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題;另一方面是利用統(tǒng)計(jì)知識(shí)方法，處理數(shù)據(jù)，研究有關(guān)的實(shí)際問(wèn)題。例如，利用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)研究北京的空氣污染問(wèn)題、學(xué)生總成績(jī)與各科目的相關(guān)程度的問(wèn)題。

聯(lián)想、演繹——啟發(fā)式。運(yùn)用類比聯(lián)想幫助學(xué)生找出相關(guān)數(shù)學(xué)概念、相關(guān)數(shù)學(xué)命題之間的聯(lián)系與區(qū)別，引導(dǎo)學(xué)生從概念的內(nèi)涵、外延、屬種、差別等方面去理解概念，澄清一些易于混淆的概念、定理、公式，確切地理解數(shù)學(xué)概念系統(tǒng)。此模式適用于新課、復(fù)習(xí)課，強(qiáng)調(diào)結(jié)構(gòu)思想、最優(yōu)化思想以及比較與分析、歸納與類比方法。

化歸、轉(zhuǎn)化——啟發(fā)式。借助舊知識(shí)、舊經(jīng)驗(yàn)來(lái)處理面臨的新問(wèn)題。其程序：對(duì)問(wèn)題觀察—聯(lián)想—回憶舊知識(shí)—問(wèn)題解決。此模式適用于“規(guī)律”課、復(fù)習(xí)課，強(qiáng)調(diào)化歸思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想。例如，立體幾何教學(xué)中，將立體幾何轉(zhuǎn)化為平面幾何;研究空間線面關(guān)系時(shí)，借助長(zhǎng)方體進(jìn)行轉(zhuǎn)化，同時(shí)聯(lián)想平面幾何的有關(guān)結(jié)論探究立體幾何中的圖形性質(zhì)。轉(zhuǎn)化也是一種重要的解題策略、數(shù)學(xué)思想，人們?cè)诮鉀Q數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)往往要盡可能地把它轉(zhuǎn)化為熟悉的、簡(jiǎn)單的已經(jīng)解決或容易解決的問(wèn)題。

訓(xùn)練、總結(jié)——啟發(fā)式。解題是數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的主要實(shí)踐形式，借助解題訓(xùn)練，在反復(fù)的體驗(yàn)和實(shí)踐中使學(xué)生逐步認(rèn)識(shí)、理解數(shù)學(xué)思想方法。此模式適用于復(fù)習(xí)課，強(qiáng)調(diào)多解歸一，尋共性;多題歸一，找規(guī)律。

數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)策略

在教學(xué)中，抓住機(jī)會(huì)、適時(shí)滲透、化隱為顯。問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)過(guò)程、概念的形成過(guò)程、結(jié)論的推導(dǎo)過(guò)程、方法的思考過(guò)程、規(guī)律的被揭示過(guò)程都是在向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)思想方法，是訓(xùn)練思維的極好機(jī)會(huì)。在教學(xué)實(shí)踐中，我梳理了以下七條課堂教學(xué)策略。

策略一：讓學(xué)生做學(xué)習(xí)的主人。學(xué)習(xí)有一條很重要的原則，就是自我培養(yǎng)的原則。對(duì)于數(shù)學(xué)思想方法的學(xué)習(xí)也不應(yīng)靠灌輸，教師應(yīng)將數(shù)學(xué)思想方法的概念、結(jié)論性知識(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)成再發(fā)現(xiàn)、再創(chuàng)造的教學(xué)過(guò)程。通過(guò)探索研究活動(dòng)，使學(xué)生在動(dòng)腦、動(dòng)手、動(dòng)口的過(guò)程中領(lǐng)悟、體驗(yàn)、提煉數(shù)學(xué)思想方法，并逐步掌握、應(yīng)用。

策略二：?jiǎn)卧Y(jié)構(gòu)組織?！安徽撐覀冞x教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)”（布魯納）。在組織安排教學(xué)內(nèi)容時(shí)，我改變按課時(shí)分配劃分的方法，按照知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，將整本教材的教學(xué)內(nèi)容劃分成若干單元進(jìn)行教學(xué)，使學(xué)生掌握知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系，獲得比較系統(tǒng)、完整的知識(shí)，便于記憶，使學(xué)生站在系統(tǒng)高度體會(huì)、掌握其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法。

策略三：注重知識(shí)的形成過(guò)程。概念是思維的細(xì)胞，是濃縮的知識(shí)點(diǎn)，是感性飛躍到理性認(rèn)識(shí)的結(jié)果，而飛躍的實(shí)現(xiàn)要經(jīng)過(guò)分析、綜合、比較、抽象、概括等思維的邏輯加工?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)尤其重視數(shù)學(xué)概念，許多技巧性強(qiáng)的運(yùn)算證明可以被計(jì)算機(jī)代替，而概念獲得則不能。概念教學(xué)既重視概念的運(yùn)用，更重視概念的獲得，引導(dǎo)學(xué)生揭示概念本質(zhì)特征，培養(yǎng)學(xué)生從具體到抽象、特殊到一般的思維方法。教學(xué)中，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)、法則、公式等結(jié)論的探索、發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)過(guò)程，弄清每個(gè)結(jié)論的因果關(guān)系。

策略四：導(dǎo)入與小結(jié)設(shè)計(jì)實(shí)施要呼應(yīng)。數(shù)學(xué)思想方法是隱性的知識(shí)，在導(dǎo)入的環(huán)節(jié)，不僅羅列出復(fù)習(xí)的知識(shí)，還給出本節(jié)的基本思維流程、基本思想方法，使數(shù)學(xué)思想方法顯現(xiàn)出來(lái)引導(dǎo)學(xué)生研究體會(huì);在小結(jié)的環(huán)節(jié)，有效地利用對(duì)比、類比、化歸、轉(zhuǎn)換等，揭示知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，講清來(lái)龍去脈，從整體上對(duì)內(nèi)容有清晰的認(rèn)識(shí)，形成知識(shí)結(jié)構(gòu)圖，利用算法思想展示思維流程，引導(dǎo)學(xué)生反思回顧，引起共鳴，促進(jìn)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法。

策略五：例題、習(xí)題實(shí)踐中，注重過(guò)程滲透，最后在反思中升華。解題是最重要的數(shù)學(xué)活動(dòng)，要從創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境、理解問(wèn)題、嘗試求解、反思回顧的全過(guò)程運(yùn)用、滲透數(shù)學(xué)思想方法?！胺此际菙?shù)學(xué)活動(dòng)的核心和動(dòng)力”（弗蘭登塔爾）。對(duì)于例題、習(xí)題，不能就題論題，要讓學(xué)生解完題后進(jìn)行反思。反思求解的過(guò)程，能讓學(xué)生較好地概括思維本質(zhì)，從而上升到數(shù)學(xué)思想方法上來(lái)。這種對(duì)解題過(guò)程的評(píng)價(jià)，能夠優(yōu)化學(xué)生的思維方法，提升學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力。

策略六：重視數(shù)學(xué)史的教育?？v觀數(shù)學(xué)史，大凡有所成就的數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)思想方法上都有良好的素質(zhì)，他們從無(wú)數(shù)次的成功與失敗中，經(jīng)過(guò)分析與研究探索到了科學(xué)的思維規(guī)律，掌握了數(shù)學(xué)思想方法，他們給人類的貢獻(xiàn)不僅是數(shù)學(xué)成就，更重要的是給后人留下從事數(shù)學(xué)研究的思想方法。數(shù)學(xué)史也是對(duì)于一些重要的數(shù)學(xué)概念形成過(guò)程的人文描述，通過(guò)數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)可以加深認(rèn)識(shí)和理解。為此，我們開設(shè)了《數(shù)學(xué)史選講》的選修課。

策略七：不斷反復(fù)，螺旋上升。數(shù)學(xué)思想方法是基于數(shù)學(xué)知識(shí)，又高于數(shù)學(xué)知識(shí)的一種隱性的數(shù)學(xué)知識(shí)，要在反復(fù)的體驗(yàn)和實(shí)踐中才能使個(gè)體逐步認(rèn)識(shí)、理解，內(nèi)化為個(gè)體認(rèn)知結(jié)構(gòu)中對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和問(wèn)題解決有著生長(zhǎng)點(diǎn)和開放面的穩(wěn)定成分。在高中三年教學(xué)中，教師一方面要在日常教學(xué)中滲透、突出、強(qiáng)化數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué);另一方面，依據(jù)最近發(fā)展區(qū)理論、可接受的原則，在不同的階段進(jìn)行數(shù)學(xué)思想方法的系統(tǒng)教學(xué)。

數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)進(jìn)一步推進(jìn)舉措

深入鉆研教材，充分挖掘有關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法。對(duì)教材的定義、公理、定理、公式、法則等要逐字逐句推敲，抓住揭示其本質(zhì)屬性的關(guān)鍵字眼，搞清彼此之間的邏輯結(jié)構(gòu)，掌握教材的科學(xué)性;明確本節(jié)教材在整個(gè)體系中所處的地位，以及教材本身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，探討和挖掘教材中的辨證唯物主義因素，掌握其中蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法。

注重教學(xué)反思，開展教學(xué)研究，撰寫經(jīng)驗(yàn)小論文。在每節(jié)講課結(jié)束后，要認(rèn)真撰寫課后反思，針對(duì)一些典型的問(wèn)題展開研究，剖析問(wèn)題，全面認(rèn)識(shí)有關(guān)的概念、法則。撰寫小論文，不僅能將自己的研究成果或教學(xué)經(jīng)驗(yàn)及時(shí)總結(jié)出來(lái)，啟發(fā)他人，又能通過(guò)參考大量的文獻(xiàn)資料，展開一定的探討與研究，提高自己的數(shù)學(xué)修養(yǎng)和教學(xué)能力，并形成對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的系統(tǒng)認(rèn)識(shí)。

掌握與教材有關(guān)的數(shù)學(xué)史?！叭绻覀兿胍A(yù)見數(shù)學(xué)的將來(lái)，適當(dāng)?shù)耐緩绞茄芯窟@門科學(xué)的歷史和現(xiàn)狀”（龐卡萊）。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史有助于全面深刻地理解數(shù)學(xué)知識(shí)。通過(guò)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，可以了解數(shù)學(xué)知識(shí)的來(lái)龍去脈，有利于教師處理教材，尋求有效的教學(xué)方法;學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，可以了解數(shù)學(xué)先輩們的刻苦鉆研的作風(fēng)。中學(xué)數(shù)學(xué)教材中有大量的數(shù)學(xué)史料，教師必須掌握與充分利用這些史料才能很好地完成教學(xué)任務(wù)。

緊密的團(tuán)隊(duì)合作。如果有一個(gè)志同道合的工作伙伴與自己共同研究數(shù)學(xué)，相互交換意見之后的過(guò)程會(huì)少走許多彎路。另外，在交流的過(guò)程中能夠碰撞出智慧的火花，并使得教師們?cè)跀?shù)學(xué)教育中形成一種伙伴關(guān)系，以共同協(xié)作進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)。

總之，在教學(xué)中，教師要將數(shù)學(xué)知識(shí)和思想方法的教學(xué)結(jié)合起來(lái)，以數(shù)學(xué)思想方法為指導(dǎo)進(jìn)行教學(xué)，在教學(xué)的各個(gè)環(huán)節(jié)滲透、明晰數(shù)學(xué)思想方法，引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)間內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系，使學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，提高教學(xué)實(shí)效。

參考文獻(xiàn)：

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