有價值數(shù)學(xué)問題及設(shè)計的思考*

☉湖北省武漢市華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院葉珂胡典順

有價值數(shù)學(xué)問題及設(shè)計的思考*

☉湖北省武漢市華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)學(xué)院葉珂胡典順

問題是數(shù)學(xué)的心臟，是科學(xué)探索的出發(fā)點和動力，也是改變傳統(tǒng)學(xué)習(xí)方式實施有效數(shù)學(xué)教學(xué)的重要載體·問題對于教學(xué)具有核心價值：既可以用于案例分析、解題分析，還可以用于能力生成訓(xùn)練、思維訓(xùn)練·［1］事實上，數(shù)學(xué)教學(xué)不可能完全從概念到概念、從公式到公式、從定理到定理，概念、公式、定理都需要借助“問題”這個載體·［2］遺憾的是，今天的數(shù)學(xué)教學(xué)中存在大量短程的即只是對某一孤立法則進(jìn)行練習(xí)的問題，這類問題的過量不僅浪費了教學(xué)時間，消耗了師生精力，教學(xué)效果不明顯，甚至?xí)a(chǎn)生負(fù)面影響·究其原因是不少數(shù)學(xué)教師對問題設(shè)計的意義認(rèn)識不到位，實施上也缺乏理論指導(dǎo)和經(jīng)驗積累·促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，啟發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，改進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，所有這一切都離不開精心設(shè)計的數(shù)學(xué)素材·［3］數(shù)學(xué)教師的基本功之一就是編制能引發(fā)學(xué)生深入理解、把握數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的問題，只有好的或有價值的問題才能幫助學(xué)生形成、鞏固和拓展合理的知識結(jié)構(gòu)·波利亞指出：“如果一個教師給他的學(xué)生以適合他們認(rèn)知水平的問題去引起他們的好奇心，并用一些吸引人的問題來幫助他們解題，他就會引起學(xué)生對獨立思考的興趣并給他們一些方法·”數(shù)學(xué)教師面臨的一個重要挑戰(zhàn)是如何認(rèn)識和設(shè)計“有價值的數(shù)學(xué)問題”·學(xué)生將受益于這些精心設(shè)計的問題任務(wù)，在解決問題的過程中訓(xùn)練思維，進(jìn)一步形成發(fā)現(xiàn)問題的意識，提升分析、解決問題的能力·

一、有價值的數(shù)學(xué)問題的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)問題是指“以數(shù)學(xué)為內(nèi)容，或者雖不以數(shù)學(xué)為內(nèi)容，但必須運用數(shù)學(xué)概念、理論或方法才能解決的問題”·［4］有價值的數(shù)學(xué)問題要求學(xué)生去做數(shù)學(xué)，它沒有確定的解題思路，而且經(jīng)常有多種可能的正確答案·為了完成這種任務(wù)，學(xué)生不能只簡單地記住事實或進(jìn)行算法的演算；相反，他們必須用獲得的知識來確定解題方法，并對每一個解題步驟進(jìn)行證明·［3］

“有價值的數(shù)學(xué)問題”在數(shù)學(xué)教學(xué)中大有裨益·一個有價值的數(shù)學(xué)問題能夠加大教學(xué)支持力度，在完整的學(xué)科框架內(nèi)明晰內(nèi)容的相互聯(lián)系，在知識和技能學(xué)習(xí)中融入數(shù)學(xué)思想方法，給問題應(yīng)用給予生動的背景材料，鼓勵學(xué)生大膽、合理地猜想并對猜想進(jìn)行檢驗·顯然，設(shè)計一系列涉及重要數(shù)學(xué)知識的問題，讓學(xué)生發(fā)揮自主性和能動性“做數(shù)學(xué)”，親歷數(shù)學(xué)知識的形成過程，在體驗驚訝和沖突中調(diào)動思維運作，發(fā)展多種能力，不斷提高數(shù)學(xué)素質(zhì)·數(shù)學(xué)教師應(yīng)當(dāng)避開那些無效的數(shù)學(xué)問題而利用有價值的數(shù)學(xué)問題·什么是有價值的數(shù)學(xué)問題？我們認(rèn)為，有價值的數(shù)學(xué)問題是在學(xué)生認(rèn)知水平和已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，能吸引學(xué)生主動參與一系列實踐操作和思維活動，在尋找適當(dāng)解決方法的過程中認(rèn)知結(jié)構(gòu)不斷完善，數(shù)學(xué)能力不斷發(fā)展的有趣的數(shù)學(xué)問題·也就是說，一個有價值的數(shù)學(xué)問題應(yīng)該能夠：

（1）包含有意義的數(shù)學(xué)；

（2）讓學(xué)生對這個問題感興趣；

（3）促進(jìn)學(xué)生思考；

（4）培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力和提高數(shù)學(xué)技能；

（5）促使學(xué)生自己聯(lián)系并形成一個連貫的數(shù)學(xué)知識框架；

（6）給學(xué)生提供了應(yīng)用和延伸拓展數(shù)學(xué)知識的機(jī)會；

（7）支持學(xué)生使用多重策略；

（8）在學(xué)生與問題的互動過程中揭示學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解程度；

（9）促進(jìn)數(shù)學(xué)交流·［3］

二、有價值的數(shù)學(xué)問題的設(shè)計

新一輪數(shù)學(xué)課程改革促使反映數(shù)學(xué)教師教學(xué)設(shè)計理念和能力的問題教學(xué)成為焦點，并越來越顯著地影響著改革的進(jìn)展和成效·從數(shù)學(xué)教學(xué)出發(fā)，將問題設(shè)計與教育價值聯(lián)系起來考慮，真正指導(dǎo)和促進(jìn)改革的開展，就要提倡教師研制開發(fā)出更多有價值的數(shù)學(xué)問題·

1·從分析教學(xué)資料和最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，加強(qiáng)問題連結(jié)教材與學(xué)情

任何教學(xué)中使用的問題都應(yīng)服從于、服務(wù)于一定的教學(xué)目標(biāo)，這也是問題的根本價值導(dǎo)向所在·在明確目標(biāo)的基礎(chǔ)上首先要進(jìn)行任務(wù)分析和起點定位·課程標(biāo)準(zhǔn)為教師進(jìn)行問題設(shè)計提供了努力方向，使問題設(shè)計有的放矢·教材是教學(xué)過程中用來協(xié)助師生雙方，以達(dá)到教學(xué)目標(biāo)的主要信息材料·教師在分析課程標(biāo)準(zhǔn)對具體教學(xué)內(nèi)容目標(biāo)領(lǐng)域要達(dá)到的水平的基礎(chǔ)上吃透教材，領(lǐng)會編者意圖，而又不囿于教材地進(jìn)行二次開發(fā)、利用·進(jìn)行數(shù)學(xué)問題設(shè)計不僅要遵循數(shù)學(xué)自身的特點，更應(yīng)考慮學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平、學(xué)習(xí)規(guī)律和個體差異·希爾伯特在1900年巴黎國際數(shù)學(xué)家代表會上發(fā)表的《數(shù)學(xué)問題》的講演中提到，一個數(shù)學(xué)問題應(yīng)該是困難的，但卻不應(yīng)是完全不可解決而致使我們白費力氣·這一論述對我們今天的數(shù)學(xué)教學(xué)仍有一定的指導(dǎo)意義·若問題起點過高，學(xué)生無法在原認(rèn)知結(jié)構(gòu)中找到知識固著點，操作、探究難以落實；反之，起點過低則不能給學(xué)生思維提供充分的鍛煉，只是單純的重復(fù)練習(xí)·在設(shè)計數(shù)學(xué)問題時，教師通過調(diào)查了解，結(jié)合經(jīng)驗，界定出學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)·定位起點應(yīng)實事求是，切忌揠苗助長，力圖照顧到大多數(shù)學(xué)生的基礎(chǔ)·通過問題設(shè)置障礙，引發(fā)認(rèn)知沖突，但它的解決又不會超過學(xué)生最近發(fā)展區(qū)的界限，是學(xué)生“踮起腳”或“跳一跳”就能摘到果實的高度·

2·從滲透思想方法和學(xué)科結(jié)構(gòu)出發(fā)，優(yōu)化思維模式與認(rèn)知結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)問題作為促進(jìn)學(xué)生理性思維發(fā)展的重要載體，開發(fā)智能，暴露不足，使學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)在同化與順應(yīng)中達(dá)到新的平衡，思維模式不斷完善·波利亞曾說：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路·”數(shù)學(xué)思想方法僅靠一道題、一朝一夕，不能習(xí)得，要在處理數(shù)學(xué)問題的長期積累中揭示、概括、形成·布魯納認(rèn)為，結(jié)構(gòu)化的知識既有助于記憶，也有助于運用·數(shù)學(xué)問題設(shè)計應(yīng)植根于具體內(nèi)容，利用好知識的“生長點”，滲透數(shù)學(xué)思想方法，突出學(xué)科邏輯結(jié)構(gòu)，從不同角度理清內(nèi)容的縱向、橫向聯(lián)系，把單一的知識點放置于條理化的網(wǎng)絡(luò)中，從整體到局部抓住數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容間的本質(zhì)聯(lián)系和整體結(jié)構(gòu)·以問促思，引導(dǎo)學(xué)生感受數(shù)學(xué)的抽象、嚴(yán)謹(jǐn)，認(rèn)識到對于某些數(shù)學(xué)知識可以從多角度加以分析、多層次進(jìn)行理解，認(rèn)知結(jié)構(gòu)經(jīng)過變動、重組完成自我建構(gòu)·我們不提倡設(shè)計大量的單純記憶、模仿性問題，要設(shè)計能引起學(xué)生深度思維參與，認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生量變甚至質(zhì)變的理解性問題·不僅停留在問是什么？還要多問為什么？怎么得出來的？如果變一變怎么辦？不僅要會解一道題，還要學(xué)會一種方法、一種思想·學(xué)會的不是一個孤立的知識，而是和已知、未知存在清晰聯(lián)系，位于學(xué)科系統(tǒng)中具體位置的知識·

3·從聯(lián)系生活情境和實際應(yīng)用出發(fā)，感悟數(shù)學(xué)的魅力與價值

問題的一個基本要素就是解它的愿望、干勁和決心·［4］實踐證明，那些足夠吸引學(xué)生興趣和求知的數(shù)學(xué)問題能使學(xué)生消除恐懼、畏縮心理，積極參與到問題中·當(dāng)學(xué)生處在與自身過去熟悉的、未來有機(jī)會遇到的相同或相似的現(xiàn)實情境中學(xué)習(xí)時，知識和技能更易被回憶和保存·數(shù)學(xué)問題的設(shè)計，注意把握學(xué)生心態(tài)，激發(fā)學(xué)生的參與興趣和學(xué)習(xí)動機(jī)，符合學(xué)生“期待”與“滿足”的心理變化，引起情感共鳴·需要注意，問題情境素材過度或牽強(qiáng)附會將導(dǎo)致學(xué)生注意力分散，被無關(guān)因素吸引或干擾，承受多余的認(rèn)知負(fù)荷·數(shù)學(xué)教師選擇課堂教學(xué)中用到的問題情境時要考慮學(xué)生的年齡、興趣、社會地理條件等，考慮學(xué)科交叉點，可以適當(dāng)引入社會熱點，把具體情境數(shù)學(xué)化，數(shù)學(xué)知識生活化，拉近學(xué)生與問題的距離，激起學(xué)生強(qiáng)烈的求知欲·創(chuàng)建情境時要盡量開闊思路，尋找一些備選的貼近學(xué)生真實生活的問題情境，再從中選出與任務(wù)分析最匹配的一個，設(shè)置適度的挑戰(zhàn)來調(diào)動學(xué)生的熱情，使其積極參與到問題情境中所隱含知識的挖掘和思考中，為進(jìn)一步引申、推廣、應(yīng)用、創(chuàng)新做準(zhǔn)備·也可適時結(jié)合相關(guān)數(shù)學(xué)史背景，如數(shù)學(xué)在自然社會中的應(yīng)用、歷史進(jìn)程與思辨、數(shù)學(xué)家的事跡與貢獻(xiàn)，在感受數(shù)學(xué)家的求知精神、欣賞數(shù)學(xué)的魅力與認(rèn)識數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分中逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀·

4·從設(shè)置變式和題組出發(fā)，促進(jìn)知識靈活遷移

題海戰(zhàn)術(shù)教學(xué)之所以低效，最根本的是學(xué)生照搬套路就能夠解決，也就很難提高他們的數(shù)學(xué)能力·而若將相互關(guān)聯(lián)的概念、公式、命題、形成系統(tǒng)，明確其邏輯關(guān)系，學(xué)生獲得知識時就會相互帶動，在后續(xù)的遷移中也變得容易·有價值的數(shù)學(xué)問題不能太特殊，要靈活多樣，有一定的啟發(fā)性，學(xué)生依靠努力能得出多種解法或結(jié)果·同時，問題不一定在找到答案時就結(jié)束，所得到的答案可能暗示著對原問題的條件作出某些變化，由此引出新問題和更一般的結(jié)論·利用變式來設(shè)計數(shù)學(xué)題組可直接呈現(xiàn)正反例、將原題的條件或結(jié)論進(jìn)行減弱或加強(qiáng)、將原題中特殊條件推廣為更一般的情況·借助變式題組設(shè)置梯度，控制難度，有意識地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，達(dá)到聞一知十的效果·題組設(shè)計是在同一問題背景下編制問題串，融入多個知識點，能夠引起學(xué)生廣泛思考和深度認(rèn)知參與的設(shè)計技巧·數(shù)學(xué)題組設(shè)計要站在整體的高度進(jìn)行鋪墊與過渡，由淺入深，以一個核心問題緊扣和突出一個目標(biāo)，攻破一個重難點，再設(shè)置另一題對前一題做對比或遞進(jìn)，題題相連，題題深入，使學(xué)生的思維聚焦于一點而不斷發(fā)散，深刻理解問題的本質(zhì)，進(jìn)而實現(xiàn)對問題規(guī)律的掌握和知識技能的鞏固·

5·從展示知識形成過程出發(fā)，積累探究合作經(jīng)驗

站在數(shù)學(xué)問題的分類來考慮，問題的層次性與系統(tǒng)性還表現(xiàn)在類型的均衡度和豐富度上·設(shè)計數(shù)學(xué)問題時不應(yīng)只局限在某一種類型，應(yīng)盡可能地在更多樣、更寬廣的問題類型區(qū)域進(jìn)行擴(kuò)展和創(chuàng)新，培養(yǎng)學(xué)生靈活解決各種數(shù)學(xué)問題的本領(lǐng)·新課程指出：“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不僅要教給學(xué)生結(jié)果，也要給學(xué)生提供機(jī)會讓他們有充足的時間和空間經(jīng)歷數(shù)學(xué)結(jié)果的形成過程，獲得基本的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗·”為了使學(xué)生擺脫解決傳統(tǒng)數(shù)學(xué)問題時較低層次的思考，教師盡可能從展示知識形成過程出發(fā)，設(shè)計綜合實踐性問題，盡量讓學(xué)生獲得更多主動學(xué)習(xí)、自主探索、元認(rèn)知監(jiān)控和展示交流的機(jī)會來滿足學(xué)生多元能力發(fā)展和素質(zhì)提升的需求·問題的呈現(xiàn)應(yīng)側(cè)重于實現(xiàn)“雙向建構(gòu)”，全面滲透數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗·學(xué)生是課堂的主人，教師不能越俎代庖，要讓每位學(xué)生自主參與，積極動腦、動手，不宜將問題的探究過程設(shè)計得過于詳盡，局限于細(xì)枝末節(jié)和明顯指給學(xué)生答案，使學(xué)生產(chǎn)生思維惰性，導(dǎo)致一些有操作價值的素材滑過·探究問題的設(shè)計不等同于科學(xué)實驗，考慮到學(xué)生獲取知識的漸進(jìn)性及差異性，問題呈現(xiàn)應(yīng)由淺入深，有坡度，體現(xiàn)探究的過程性，有效激發(fā)全體學(xué)生學(xué)習(xí)的熱情和積極性，使不同層次的學(xué)生都能夠體驗到學(xué)習(xí)的樂趣，在原基礎(chǔ)上獲得發(fā)展和進(jìn)步·

三、結(jié)束語

有價值的數(shù)學(xué)問題代表了新課程理念對傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教學(xué)價值取向的轉(zhuǎn)變，通過提供有價值的數(shù)學(xué)問題構(gòu)建共同基礎(chǔ)，給數(shù)學(xué)教學(xué)注入了新的生機(jī)，凸顯了數(shù)學(xué)教學(xué)的文化育人功能·需要指出的是，本文所指的價值性也是相對的，是在新課程改革的背景下，對大量數(shù)學(xué)問題實踐的總結(jié)，應(yīng)該而且必然因時因地有所變化·當(dāng)然，任何有價值的數(shù)學(xué)問題的設(shè)計都不是一蹴而就的，要配合一定的實施方式進(jìn)行實踐檢驗，需要設(shè)計者不斷進(jìn)行反思、修正、總結(jié)和發(fā)展·此外，在設(shè)計單個數(shù)學(xué)問題時不能苛求面面俱到，要具體問題具體分析，避免陷入形式主義·只有數(shù)學(xué)教育者頭腦中保持對數(shù)學(xué)問題價值的判斷意識，不斷提高設(shè)計問題的質(zhì)量，才能最大化促進(jìn)高效的數(shù)學(xué)教學(xué)·

1·張曉英，張潤芝，楊開城·論教學(xué)設(shè)計理論發(fā)展的新領(lǐng)域——問題設(shè)計［J］·中國電化教育，2008（11）·

2·孫旭花，陳嘉豪，梁永賢，等·“一題多解”之再升華螺旋變式課程設(shè)計理論介紹［J］·數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2008（6）·

3·胡典順，汪鈺雯，紀(jì)靜萍，等·作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)解題［J］·數(shù)學(xué)通訊，2013（11）·

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中央高?；究蒲袠I(yè)務(wù)費專項資金資助——數(shù)學(xué)問題提出與數(shù)學(xué)教育改革：跨國比較研究（CCNU13F021）；湖北省教學(xué)研究項目——數(shù)學(xué)師范生拔尖創(chuàng)新人才培養(yǎng)的理論與實踐（2013090）；華中師范大學(xué)研究生教學(xué)改革研究項目——免費師范生攻讀教育碩士培養(yǎng)模式的改革研究與實踐（2013JG18）；華中師范大學(xué)教師教育學(xué)院研究專項資助（2012JS07）；湖北省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃2013年度立項課題——數(shù)學(xué)問題提出與數(shù)學(xué)教育改革：跨國比較研究（2013B015）.