基于改進(jìn)Prony算法的輸電線路距離保護(hù)

劉永清，蔡金錠

（福州大學(xué) 電氣工程與自動(dòng)化學(xué)院，福建 福州 350108）

目前，輸電線路的距離保護(hù)主要利用工頻極化相量和補(bǔ)償相量的相位差別來(lái)構(gòu)成保護(hù)原理。相量的計(jì)算通常采用全波傅立葉積分的算法來(lái)實(shí)現(xiàn)，可以濾除直流以及工頻的倍頻諧波分量，具有相對(duì)較好的效果。然而，當(dāng)故障發(fā)生后，故障電氣量中將包含大量衰減的直流和振蕩分量，這些衰減的暫態(tài)量是在故障暫態(tài)過(guò)程中產(chǎn)生的，嚴(yán)重影響相量的有效值以及相位角的計(jì)算精度，進(jìn)而導(dǎo)致保護(hù)的暫態(tài)超越。

為了防止暫態(tài)超越，很多文獻(xiàn)提出采用各種濾波方法來(lái)消除暫態(tài)分量的影響，然而衰減暫態(tài)分量的頻譜是連續(xù)的，不可能用濾波的方法將之徹底濾除［1］。這樣，不得不以犧牲速動(dòng)性和靈敏性為代價(jià)，或者通過(guò)時(shí)間延遲躲避暫態(tài)分量，或者通過(guò)減少保護(hù)范圍保證不發(fā)生超越。當(dāng)在保護(hù)范圍末端附近故障時(shí)，保護(hù)動(dòng)作時(shí)間超過(guò)40ms，嚴(yán)重影響系統(tǒng)的安全穩(wěn)定性［2-3］。因此，需要研究一種能夠在短時(shí)間窗內(nèi)（比如半個(gè)周期內(nèi)）準(zhǔn)確、快速地從衰減的暫態(tài)分量中提取工頻相量的計(jì)算方法，兼顧可靠性和速動(dòng)性。

Prony算法能夠從含有大量振蕩衰減分量的故障信號(hào)中提取工頻分量，從本質(zhì)上說(shuō)，Prony算法是通過(guò)2次線性估計(jì)將非線性的參數(shù)（頻率、相位、幅值和衰減常數(shù)）計(jì)算出來(lái)［4］，其思想是：將測(cè)量信號(hào)當(dāng)作某個(gè)線性系統(tǒng)的輸出，其振蕩頻率和衰減常數(shù)的信息與系統(tǒng)的輸入無(wú)關(guān)，只與系統(tǒng)本身的參數(shù)（線性系統(tǒng)的極點(diǎn)）有關(guān)，因此，可以用零輸入響應(yīng)作為方程，對(duì)其極點(diǎn)所在的多項(xiàng)式系數(shù)（z變換的分母多項(xiàng)式）進(jìn)行一次估計(jì)，然后再利用采樣值對(duì)幅值和相位信息進(jìn)行估計(jì)［5-7］。

自1795年由Baron de Prony提出的Prony算法以來(lái)，該算法在電力系統(tǒng)中得到了廣泛的應(yīng)用，但幾乎沒(méi)有應(yīng)用于距離保護(hù)，因?yàn)楸Ｗo(hù)裝置很難實(shí)現(xiàn)2次參數(shù)估計(jì)的計(jì)算［8-10］（最小二乘法求解超定方程）。筆者對(duì)傳統(tǒng)的Prony算法進(jìn)行改造，精確估算工頻相量的幅值和相位。改造后的Prony算法只需要一次參數(shù)估計(jì)，其余的計(jì)算均為短窗的FIR濾波計(jì)算方法，大大減少了計(jì)算量，能在8ms內(nèi)準(zhǔn)確估算出工頻相量［11-12］。PSCAD仿真結(jié)果對(duì)該算法進(jìn)行了測(cè)試，測(cè)試結(jié)果表明，保護(hù)在8～10ms準(zhǔn)確動(dòng)作而不受暫態(tài)分量的影響。

1 Prony算法基本原理

1.1 問(wèn)題的提出

系統(tǒng)故障后的電氣量可以用多個(gè)幅值、頻率、相位和衰減的信號(hào)疊加表示，即衰減直流分量（P個(gè)衰減常數(shù)）、衰減高頻分量（Q個(gè)頻率和衰減常數(shù)）和工頻分量：

式（1）為模擬的信號(hào)；A0，A1k，A2k分別為工頻、衰減直流、衰減高頻分量的幅值；σk為衰減直流和衰減高頻分量的衰減因子；ω0和ωk分別為工頻和高頻分量的角頻率；ψ0和ψk分別為工頻和高頻分量的初始相位。

很顯然，式（1）中未知的參數(shù)是2×P+4×Q+3個(gè)，從理論上說(shuō)，只要用多于參數(shù)個(gè)數(shù)的采樣點(diǎn)就可以通過(guò)解方程確定這些參數(shù)（最小二乘法參數(shù)估計(jì)）。但問(wèn)題是，這是非線性方程組。Prony算法提供了一種利用線性方法求解式（1）非線性方程組的方法。

1.2 信號(hào)模型的歐拉公式表示

式中 N=p+2q+2；σk為各頻率分量的衰減因子；ωk為各頻率分量的角頻率（正、負(fù)頻率分別用不同的ωk來(lái)表示）；對(duì)于衰減的直流分量，Ck就是其幅值，而對(duì)于衰減的振蕩分量，Ck則是一個(gè)包含幅值和相位的復(fù)數(shù)：

1.3 信號(hào)的z變換

將方程式（2）進(jìn)行采樣，采樣間隔為Ts，采樣點(diǎn)方程為

對(duì)式（4）中的分式通分，可以發(fā)現(xiàn)信號(hào)的z變換是有理多項(xiàng)式的分式：

式中 a1～aN是分母的有理多項(xiàng)式系數(shù)。很顯然，分母多項(xiàng)式的系數(shù)是由極點(diǎn)值決定的，即僅與極點(diǎn)有關(guān)；分子也是有理多項(xiàng)式，但不必過(guò)多考慮（分子多項(xiàng)式系數(shù)是由Ck和分母zk共同決定）。

1.4 頻率和衰減因子的估計(jì)

信號(hào)的z變換（式5）可看作是某個(gè)線性系統(tǒng)的響應(yīng)。對(duì)于一個(gè)線性系統(tǒng)，其振蕩頻率和衰減因子是系統(tǒng)本身固有的，與輸入無(wú)關(guān)，因此，可以用零輸入方程來(lái)確定分母的多項(xiàng)式系數(shù)（從數(shù)學(xué)角度看，頻率和衰減因子也可以看作是差分方程的通解參數(shù)，零輸入響應(yīng)方程自然也是齊次差分方程）：

將式（6）反變換為時(shí)域形式可得到方程：

為了確定未知的參數(shù)，采用M個(gè)采樣值方程，且M＞N，即

用最小二乘法求解方程式（8）。

根據(jù)有理多項(xiàng)式系數(shù)｛a1，a2，…，aN｝可以確定頻率和衰減因子，因?yàn)閦k=（σk+jωk）Ts為式（5）分母有理多項(xiàng)式等于零的根（極點(diǎn)）。

1.5 幅值和相位的估計(jì)

在求出式（6）中未知參數(shù)后，可根據(jù)式（3）用采樣值構(gòu)成M（M＞N）組方程組，求解Ck，若對(duì)應(yīng)的是復(fù)數(shù)，則Ck也是復(fù)數(shù)，即包含幅值和相位；若是實(shí)數(shù)，則Ck也是實(shí)數(shù)，只包含幅值信息。采樣值方程組為

這樣，通過(guò)求解方程（9）可計(jì)算出幅值和相位。

2 Prony算法的改造

通過(guò)上述分析，不難發(fā)現(xiàn)，Prony算法有2次最小二乘的參數(shù)估算、一次求解高次多項(xiàng)式方程，所有這些都不適合實(shí)時(shí)的距離保護(hù)的計(jì)算，因此，需對(duì)其進(jìn)行改造才能應(yīng)用于保護(hù)算法中。

首先，信號(hào)的z變換中肯定包含工頻極點(diǎn)，因此，無(wú)需再對(duì)工頻極點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算；其次，可利用將式（5）消除其他高頻極點(diǎn)的方法，去掉衰減振蕩分量，而不需要再進(jìn)行求解高次多項(xiàng)式來(lái)確定高頻振蕩分量的頻率和衰減因子，同時(shí)，不需要再求解方程式（9）來(lái)確定各頻率分量的幅值和相位，可以直接獲得工頻量的相量值。

2.1 消除工頻極點(diǎn)

Prony算法中，極點(diǎn)的計(jì)算是通過(guò)求解齊次差分方程式（7）的有理多項(xiàng)式系數(shù)得到。所有的振蕩分量、衰減分量的頻率和衰減因子都包含在有理多項(xiàng)式等于零的極點(diǎn)中，當(dāng)然也包含工頻極點(diǎn)。因此，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，減少計(jì)算的階數(shù)以及降低由于計(jì)算誤差帶來(lái)的巨大影響，可將已知的工頻極點(diǎn)消除掉。消除工頻極點(diǎn)最簡(jiǎn)單的方法就是將工頻極點(diǎn)從分母中移除，即將式（5）乘以一個(gè)工頻的零點(diǎn)：

2.2 消除衰減自由分量

經(jīng)過(guò)上述處理后，信號(hào)變?yōu)?/p>

式中 系數(shù)｛b1，b2，...，bN-2｝為濾除工頻極點(diǎn)后信號(hào)的z變換分母有理多項(xiàng)式系數(shù)。由式（11）不難發(fā)現(xiàn)，將原始信號(hào)經(jīng)過(guò)該式處理后，實(shí)際上是濾除了工頻分量，因?yàn)榉帜钢械墓ゎl極點(diǎn)已被消掉。

經(jīng)濾除工頻分量后，式（11）中只包含衰減的自由分量。同理，如果求出式（11）的系數(shù)｛b1，b2，...，bN-2｝，將原始信號(hào)X（z）乘上以該系數(shù)組成的有理多項(xiàng)式后，同樣也可以濾除衰減的自由分量，因?yàn)樗p自由分量的極點(diǎn)被消除后，其響應(yīng)自然不存在。

濾除工頻極點(diǎn)后，信號(hào)的修正模型可以表示為采樣值方程組的形式：

式中 系數(shù)｛b1，b2，...，bN-2｝為濾除工頻極點(diǎn)后信號(hào)的z變換分母有理多項(xiàng)式系數(shù)。其中包含除了工頻以外的衰減直流分量和高頻分量的極點(diǎn)，因此，將原信號(hào)X（z）乘以其非工頻分量的極點(diǎn)多項(xiàng)式，即可濾除衰減的非周期分量和衰減的高頻分量，濾除公式為

G（z）即為以衰減非周期分量的極點(diǎn)為零點(diǎn)的濾波器，系數(shù)｛b1，b2，...，bN-2｝為消除工頻極點(diǎn)后剩余極點(diǎn)的有理多項(xiàng)式系數(shù)。

2.3 工頻相量的計(jì)算

濾除非周期分量后，信號(hào)中只包含工頻分量，即

將式（14）轉(zhuǎn)化為時(shí)域形式：

其矩陣形式為

因此，工頻相量為

其中，Npc為每周期的采樣點(diǎn)數(shù)。

2.4 改造后的Prony算法

假設(shè)采樣的離散信號(hào)為｛x（k）｝，采樣頻率為每周期采樣Npc個(gè)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)改造后的Prony算法流程：

1）濾除信號(hào)中的工頻分量，濾除公式為

2）利用式（12），計(jì)算衰減的自由分量的極點(diǎn)系數(shù)｛b1，b2，...，bN-2｝。N為Prony算法計(jì)算的階數(shù)，其值越大，擬合越精確，計(jì)算量當(dāng)然就越大。

3）利用上述極點(diǎn)系數(shù)濾除信號(hào)中衰減的自由分量，濾除公式為

4）利用式（17）計(jì)算信號(hào)中的工頻相量。

2.5 基于Prony算法的相間距離保護(hù)方案

距離保護(hù)算法需要構(gòu)造在線實(shí)時(shí)的保護(hù)方案，并應(yīng)綜合考慮計(jì)算精度和計(jì)算效率的協(xié)調(diào)問(wèn)題。據(jù)此構(gòu)造的相間距離保護(hù)方案流程如圖1所示。

1）利用采樣中斷測(cè)量故障相間電壓和電流的瞬時(shí)值uφφ（k）和iφφ（k）；

當(dāng)ΔU＞0時(shí)，判斷為區(qū)外故障；當(dāng)ΔU＜0時(shí)，判斷為區(qū)內(nèi)故障。

圖1 相間距離保護(hù)方案流程Figure 1 Flow chart of interphase distance protection

3 仿真驗(yàn)證

3.1 仿真模型建立

為了驗(yàn)證該文提出的Prony算法在輸電線路相間距離保護(hù)中的有效性和準(zhǔn)確性，建立ATP仿真模型，如圖2所示，圖中各元件參數(shù)：500kV三相電源EM和EN的初始相位分別為0°，-20°；2個(gè)系統(tǒng)阻抗的正序電感值分別為39.8，35mH，忽略電阻和電容值；線路總長(zhǎng)為100km，故障點(diǎn)F與M和N端的距離分別為80，20km；輸電線路采用分布參數(shù)模型，R0=0.184 7Ω／km，L0=3.601mH／km，C0=7.52nF／km，R1=0.017 4Ω／km，L1=0.967mH／km，C1=12.03nF／km。采樣頻率取1kHz（每周期20點(diǎn)），計(jì)算時(shí)間窗的寬度為半個(gè)周期（10點(diǎn)），階數(shù)N選擇5。

圖2 距離保護(hù)仿真模型Figure 2 Simulation model for distance protection

3.2 波形處理過(guò)程的驗(yàn)證

故障后測(cè)量的電壓、電流波形如圖3所示，經(jīng)過(guò)工頻濾波器后的波形如圖4所示，圖4中的電流只剩下衰減的自由分量。僅對(duì)暫態(tài)量進(jìn)行極點(diǎn)的計(jì)算，不僅簡(jiǎn)化了計(jì)算量，而且使得Prony算法的階數(shù)N的選取變得很容易，因?yàn)樗粫?huì)影響到工頻極點(diǎn)的計(jì)算，只會(huì)影響計(jì)算的精確度（選擇模型階數(shù)N=5）。

利用計(jì)算出的暫態(tài)量極點(diǎn)系數(shù)，濾除衰減的自由分量，由于每一步計(jì)算的系數(shù)都不相同，因此無(wú)法具體分析其頻譜特性。濾除衰減自由分量后的波形與原始波形的比較如圖5所示，處理后的電壓、電流相量（幅值）隨時(shí)間變化曲線如圖6所示。

圖3 故障后的電壓和電流波形Figure 3 Fault voltage and current waveforms

圖4 濾除工頻量后的暫態(tài)量波形Figure 4 Transient components after 50Hz signal filtered

圖5 改進(jìn)Prony算法處理后的波形Figure 5 The waveforms after processing by improved Prony algorithm

圖6 改進(jìn)的Prony算法和傳統(tǒng)傅里葉算法處理后的電壓、電流波形比較Figure 6 Comparison of voltage and current by using improved Prony method and traditional Fourier

3.3 改造后的Prony算法的精度分析

假設(shè)在線路上發(fā)生A，B兩相接地短路故障，分別選取故障發(fā)生后M端的A相電壓和電流，應(yīng)用改進(jìn)的Prony算法對(duì)信號(hào)中的工頻分量進(jìn)行提取，分析比較其精度。在兩相接地短路故障趨于穩(wěn)定后，利用全波傅氏積分算法計(jì)算M端電壓、電流信號(hào)的有效值，作為Prony仿真結(jié)果的檢測(cè)標(biāo)準(zhǔn)。計(jì)算結(jié)果：U=336.4kV，θu=127.35°，I=6.89kA，θi=-179.97°。

3.3.1 不同時(shí)間窗的誤差

首先，根據(jù)式（3）用采樣值構(gòu)成M（M＞N）組方程組，然后，利用改造后的Prony算法解出式（9）距離保護(hù)算法的幅值和相位，計(jì)算結(jié)果與實(shí)際值的相對(duì)誤差如表1所示。通過(guò)分析可見，電壓相量的擬合誤差將隨著時(shí)間窗的縮短而增大，但半個(gè)周期（10ms）的誤差不超過(guò)3%，因此能滿足距離保護(hù)要求。對(duì)電流相量的擬合得到了相同的結(jié)果，篇幅所限，在此不再列出。

表1 不同時(shí)間窗時(shí)電壓工頻分量的Prony擬合結(jié)果Table 1 The Prony fitting results of voltage at different time window

3.2.2 不同故障位置的仿真情況

當(dāng)采用10ms時(shí)間窗時(shí)，在MN線路上不同位置發(fā)生兩相接地短路故障時(shí)的擬合結(jié)果如表2所示（表中“距離”百分值表示在線路總長(zhǎng)的百分?jǐn)?shù)位置發(fā)生故障），可見在10ms時(shí)間窗下，MN線路不同位置發(fā)生短路故障時(shí)，利用改造后的Prony算法擬合的電壓幅值，其擬合誤差最大不超過(guò)1%，相位的擬合結(jié)果誤差最大不超過(guò)0.3%。因此，該文提出的算法的計(jì)算精度不受故障點(diǎn)位置不同的影響。

表2 不同故障位置時(shí)電壓工頻分量的Prony擬合結(jié)果Table 2 The Prony fitting results of voltage at different fault location

3.4 不同故障位置的保護(hù)動(dòng)作情況

針對(duì)不同位置發(fā)生相間短路故障時(shí)驗(yàn)證保護(hù)的動(dòng)作情況，并與基于全波傅氏積分算法的結(jié)果進(jìn)行仿真對(duì)比。設(shè)線路全長(zhǎng)為100km，整定距離為85km。

當(dāng)距離變電站10，80km處發(fā)生正方向區(qū)內(nèi)故障時(shí)，Prony算法與全波傅氏積分算法在故障發(fā)生后0.55ms時(shí)刻計(jì)算的比相值結(jié)果如圖7，8所示，圖中縱坐標(biāo)為相位比較后的余弦值，即將相位比較轉(zhuǎn)化為幅值比較并歸一化的值，原判據(jù)為相位比較：

轉(zhuǎn)化為幅值比較：

即當(dāng)幅值比較的值一旦小于零就進(jìn)入動(dòng)作區(qū)，當(dāng)其等于-1時(shí)，為最大靈敏區(qū)域。

由圖7，8不難發(fā)現(xiàn)，距離保護(hù)安裝處10km的位置發(fā)生故障時(shí)，采用筆者提出的改造后的Prony算法的距離保護(hù)在故障（故障時(shí)刻為0.055s）后第8個(gè)點(diǎn)就進(jìn)入動(dòng)作區(qū)（8ms）。而傳統(tǒng)的基于全波傅氏積分算法的距離保護(hù)則需要12個(gè)點(diǎn)才進(jìn)入動(dòng)作區(qū)（12ms），而且該文提出的距離保護(hù)自8ms后就達(dá)到最大的靈敏度（相位比較為180°，即-1），而全波傅氏積分算法則需要一個(gè)周期才進(jìn)入最大靈敏度。

當(dāng)距離保護(hù)安裝處80km的位置發(fā)生故障時(shí)（接近整定點(diǎn)，整定距離為85km），筆者提出的距離保護(hù)算法在第10點(diǎn)（10ms）進(jìn)入動(dòng)作區(qū)，而全波傅氏積分算法則在第17點(diǎn)（17ms）進(jìn)入動(dòng)作區(qū)。通過(guò)圖5，6可以清楚地發(fā)現(xiàn)該文提出的距離保護(hù)算法的優(yōu)越性，不僅動(dòng)作時(shí)間縮短，而且一旦進(jìn)入動(dòng)作區(qū)即快速收斂到最靈敏的區(qū)域；從圖中還可看出，Prony算法的衰減速度快，達(dá)到穩(wěn)定的時(shí)間比較短。

圖7 10km故障處的比相算法比較Figure 7 The comparison of phase comparison algorithm at fault location of 10km from substation

圖8 80km故障處的比相算法比較Figure 8 The comparison of phase comparison algorithm at fault location of 80km from substation

筆者提出的改進(jìn)Prony算法是一種實(shí)時(shí)的算法，即每一個(gè)采樣間隔計(jì)算一個(gè)回合。在一回合計(jì)算中，共包括如下計(jì)算量：濾除工頻濾波器，3點(diǎn)相乘相加；參數(shù)估計(jì)計(jì)算（階數(shù)為5階），10個(gè)點(diǎn)矩陣計(jì)算；消除衰減分量的計(jì)算，5個(gè)點(diǎn)相乘相加；相量的計(jì)算，2個(gè)點(diǎn)相乘相加；總時(shí)間窗長(zhǎng)度為20點(diǎn)，即若按照20點(diǎn)／周期采樣頻率，仿真結(jié)果表明，一般情況下，第8點(diǎn)（8ms）就進(jìn)入動(dòng)作區(qū)。以上時(shí)間分析來(lái)自于基于Matlab下的仿真結(jié)果，并沒(méi)有將本算法實(shí)現(xiàn)到具體的裝置中。

現(xiàn)針對(duì)各種類型的故障，如不同故障位置的正向區(qū)內(nèi)、正向區(qū)外以及反向出口故障等進(jìn)行仿真，其動(dòng)作情況如表3所示，可以看出，在不同位置發(fā)生相間短路時(shí)，筆者提出的相間距離保護(hù)能夠正確區(qū)分區(qū)內(nèi)、區(qū)外故障，準(zhǔn)確判斷不同故障位置的保護(hù)動(dòng)作情況；所提出的距離保護(hù)判據(jù)在區(qū)內(nèi)任何位置故障時(shí)能夠在10ms左右準(zhǔn)確判斷，而全波傅氏積分算法則需要延遲14～17ms才能進(jìn)入動(dòng)作區(qū)。

表3 不同故障處的比相算法比較Table 3 The comparison of phase comparison algorithm at different fault location

4 結(jié)語(yǔ)

利用Prony算法可在半個(gè)周期內(nèi)提取有效工頻信號(hào)，故障提取時(shí)間比全波傅氏積分算法縮短了半個(gè)周期，在進(jìn)行電力系統(tǒng)故障分析時(shí)具有足夠的可靠性和準(zhǔn)確性。筆者提出的基于改造后的Prony算法的距離保護(hù)與傳統(tǒng)的基于全波傅氏積分的保護(hù)算法相比，動(dòng)作延遲時(shí)間較短，具有很高的穩(wěn)定性。

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