基于修正正態(tài)分布的噴泉編碼

張茗茗，周 詮

（西安空間無(wú)線(xiàn)電技術(shù)研究所 空間微波技術(shù)國(guó)家級(jí)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，陜西 西安 710100）

1998年噴泉碼概念由Michael Luby提出，2002年他又提出了第一個(gè)實(shí)用的噴泉碼 LT（Luby Transform）碼[1]，在 LT碼的基礎(chǔ)上，2005年Mohammad Amin Shokrollahi提出了以L(fǎng)DPC碼為內(nèi)碼，LT碼為外碼的級(jí)聯(lián)噴泉碼—Raptor碼[2]，目前噴泉碼的研究已逐漸展開(kāi)。

噴泉編碼因其無(wú)碼率的特點(diǎn)，在刪除信道和低信噪比下的高斯信道中性能優(yōu)異[3-4]，性能優(yōu)于LDPC碼等傳統(tǒng)糾錯(cuò)碼，特別適合于互聯(lián)網(wǎng)的傳輸和干擾下的無(wú)線(xiàn)通信，在深空通信中也有著巨大的潛力，目前已經(jīng)成為3GPP視頻流傳輸?shù)臉?biāo)準(zhǔn)，并在4G通信協(xié)議LTE中廣泛應(yīng)用[5]，華為、三星等通信巨頭在噴泉編碼領(lǐng)域已經(jīng)申請(qǐng)了大量專(zhuān)利。

由于噴泉編碼出現(xiàn)較晚，關(guān)于噴泉編碼的性能方面有大量的研究，主要分為三類(lèi)。一類(lèi)是針對(duì)預(yù)編碼部分的高碼率LDPC進(jìn)行優(yōu)化，由最初的Gallager的校驗(yàn)矩陣，到后來(lái)的Mackay的去四環(huán)的校驗(yàn)矩陣和PEG算法的校驗(yàn)矩陣，雖然后來(lái)通過(guò)非規(guī)則碼性能有了一點(diǎn)提升，但是在高碼率過(guò)程中，仍然不可避免的出現(xiàn)四環(huán)現(xiàn)象，影響譯碼效率，在高斯信道中尤為突出[6]。另一類(lèi)是在初始端再級(jí)聯(lián)一個(gè)常規(guī)的糾錯(cuò)碼，例如擴(kuò)展?jié)h明碼或者RS碼[7]，這樣性能雖然在有些碼率和碼長(zhǎng)有一些改進(jìn)，在有些碼長(zhǎng)還會(huì)出現(xiàn)誤碼率增大的情況，而且還會(huì)增加編譯碼的計(jì)算量。最后一種是對(duì)LT碼進(jìn)行度分布的優(yōu)化，LT碼的度分布也在針對(duì)各種碼長(zhǎng)進(jìn)行調(diào)整，由ideal到robust再到后來(lái)的weaken分布，最近又在碼的結(jié)構(gòu)和度分布有大量研究[8-9]，都是為了使編碼分組的度分布更為均衡，這樣譯碼效率有所提高，在長(zhǎng)碼長(zhǎng)的情況下，由于大樣本使得度分布性能優(yōu)化不明顯，但是短碼長(zhǎng)差異較大，始終與理想性能有所差距[10]。本文將從原始分組角度，進(jìn)行度分布的修正規(guī)劃，使得每一個(gè)原始分組對(duì)于編譯碼的貢獻(xiàn)趨于一致，避免有些原始分組欠利用和過(guò)利用，最終達(dá)到較好的譯碼性能。

1 噴泉編譯碼的度分布

LT碼是噴泉編碼的核心，后來(lái)為了改善性能將碼率0.95-0.9的LDPC碼進(jìn)行級(jí)聯(lián)，由于碼率較高，LDPC對(duì)于譯碼的提升有限，LT碼起關(guān)鍵作用。當(dāng)終端接收到的編碼數(shù)據(jù)包的數(shù)量略大于K個(gè)數(shù)據(jù)包時(shí)，譯碼器就能夠以高概率成功地恢復(fù)出發(fā)送源數(shù)據(jù)分組。而度分布決定著LT碼碼組如何選擇，對(duì)于編譯碼有著至關(guān)重要的作用。

在LT碼的編碼中，度是指與編碼數(shù)據(jù)分組相連的源數(shù)據(jù)分組的個(gè)數(shù)，如圖1所示，s為源數(shù)據(jù)分組，r為編碼數(shù)據(jù)分組。

圖1 度值示意圖Fig.1 Diagram of degree value

如圖1所示，給出了LT碼的編碼過(guò)程，編碼度分布Ω=（Ω1，Ω2，Ω3，…，Ωk）表示隨機(jī)選到整數(shù) d 的概率為 Ωd，為了便于數(shù)學(xué)處理，一般用度分布函數(shù)的形式表示為：

度概率分布函數(shù)ρ（d）是度即d=i的數(shù)據(jù)分組在總數(shù)據(jù)分組中占的比例。

理想孤子分布的隨機(jī)度生成方法，即隨機(jī)度按照以下概率分布規(guī)律確定：

孤立子分布為了保證每次譯碼過(guò)程中，度為1的集合不為0，為一個(gè)固定的值，為了提高譯碼成功率，Luby提出了一種修正的度分布（Robust Soliton Distribution，RSD）。他首先引入了兩個(gè)參數(shù)c和δ，其中c為一個(gè)常數(shù)，δ為譯碼失敗概率的上界，并定義

其中，c=0.1，delta（δ）=0.5。

為了簡(jiǎn)化計(jì)算量，Amin Shokrollahi提出 Raptor碼，將LDPC碼和LT碼級(jí)聯(lián)，但是LT碼使用弱化的weaken分布，度分布函數(shù)滿(mǎn)足：

Ω（x）=0.008x+0.494x2+0.166x3+0.076x4+0.083x5+0.056x8+0.037x9+0.056x19+0.025x65+0.003x66（5）

關(guān)于3種度分布的關(guān)系如圖2所示，其中原始碼長(zhǎng)K為100，編碼長(zhǎng)度N為200。ideal分布在度為2時(shí)達(dá)最大值，然后迅速下降，weaken分布在度為20時(shí)有一個(gè)上升，其它與ideal分布近似，weaken分布只是在固定的幾個(gè)點(diǎn)有值，其它點(diǎn)處為0。

圖2 度分布圖Fig.2 Diagram of degree distribution

度分布在很大程度上決定譯碼所需的分組數(shù)量，譯碼過(guò)程中實(shí)際度值為1的集合一直不為空，在一個(gè)恒定的范圍，能夠保證譯碼一直進(jìn)行。

傳統(tǒng)的LT編碼只對(duì)度進(jìn)行分配，雖然每個(gè)編碼分組是相互獨(dú)立的，但是所選擇的是哪些原始分組沒(méi)有考慮，這樣導(dǎo)致只注重編碼分組對(duì)于原始分組如何利用，而對(duì)于實(shí)際中由于隨機(jī)選擇原始分組給編碼帶來(lái)的貢獻(xiàn)差異沒(méi)有考慮，也沒(méi)有對(duì)于原始分組的分布進(jìn)行研究。本文將在原有編碼基礎(chǔ)上提出修正度分布，從原始分組角度進(jìn)行度的二次選擇。

2 本文所提的噴泉編碼算法

本文將編碼分組作為原始分組，將原始分組作為編碼分組，逆向進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到原始度分布的置信區(qū)間，以此作為二次度分配的依據(jù)。

2.1 模型建立

假設(shè)在LT編碼過(guò)程中，K個(gè)原始分組被編碼成N個(gè)編碼分組，根據(jù)度分布 ρ={ρ1，ρ2，…ρs}，其 N 個(gè)編碼分組相應(yīng)地

通過(guò)度分布被重新劃分為 num={num1，num2，…nums}，滿(mǎn)足

在逆向過(guò)程中，本文建立了ping模型和quan模型，分別進(jìn)行統(tǒng)計(jì)。在ping模型中，對(duì)于生成矩陣G（K×N），統(tǒng)計(jì)原始分組中參與編碼的個(gè)數(shù)，[1 0 1 1 1]

例如G=0 0 1 1 0，K=3，N=5， 平均統(tǒng)計(jì)模型得到0 1 1 0 1 ping=[4，2，3]，即原始分組1被調(diào)用了4次，分組2被調(diào)用了2次，分組3被調(diào)用了3次。

在quan模型中，對(duì)于生成矩陣 G（K×N），統(tǒng)計(jì)原始分組占該度分布下的權(quán)重，在矩陣G（K×N）中，加權(quán)統(tǒng)計(jì)模型得到quan=[7/3，5/6，11/6]，如表 1 所示。

表1 quan模型計(jì)算值Tab.1 Com putation value in model ping

ping模型說(shuō)明被調(diào)用的次數(shù)，次數(shù)越多，說(shuō)明參與編碼的次數(shù)多，在譯碼過(guò)程中可以得到的信息源越多，避免局部編碼分組出現(xiàn)污染而影響譯碼的判決。quan模型說(shuō)明原始分組在編碼過(guò)程中的影響能力，quan值越大，說(shuō)明該原始分組起的作用越明顯。例如對(duì)于編碼分組1和2，分別只調(diào)用了原始分組1和3，只有原始分組1和3對(duì)編碼分組1和2起作用，在得到編碼分組1和2時(shí)，可以很順利地將原始分組1和3解出，而對(duì)于原始分組2，譯碼起來(lái)就顯得有些困難，需要得到編碼分組1和4的信息才能將其解出。

ping模型適合于高斯信道，能夠在低信噪比的情況下正確得到原始信息，但是譯碼起來(lái)需要很多次的迭代，在時(shí)間復(fù)雜度上開(kāi)銷(xiāo)很大，而且在刪除信道下，在迭代過(guò)程中存在實(shí)際度值為1的集合為空的情況。quan模型適合于刪除信道，可以在只獲取超過(guò)原始分組數(shù)目一點(diǎn)的情況下正確譯碼，但是在刪除概率增大的情況下，會(huì)出現(xiàn)原始分組沒(méi)有編碼分組對(duì)應(yīng)和起始譯碼度值為1的集合為空的情況，導(dǎo)致譯碼失敗。

本算法將巧妙結(jié)合這兩種模型，使得LT碼既適合高斯信道也適合刪除信道，性能有了明顯提升。

2.2 修正分布的閾值確立

在ping模型中，對(duì)于每一個(gè)編碼分組，其度值全部都按照度分布 ρ={ρ1，ρ2，…ρs}的概率選擇集合 num={num1，num2，…nums}，模型可以簡(jiǎn)化為s維伯努利分布函數(shù)，而每一個(gè)原始分組是從編碼分組中均等概率地選擇出來(lái)。以weaken分布為例，如表2所示。

在ideal、robust和weaken分布中，維度和概率均不相等，但是都滿(mǎn)足維度較多，樣本較大的情況，這樣多維伯努利分布可以簡(jiǎn)化為正態(tài)分布，當(dāng)編碼分組為N時(shí)，模型可以認(rèn)為是N次正態(tài)獨(dú)立事件，其期望為：以weaken分布為例，其期望值為Expectation=

表2 集合與度分布關(guān)系表Tab.2 Ralationship between sets and degree distributions

2×5.701 =11.738由于不同的度分布，每個(gè)原始分組的ping與期望的偏差pingi-Expectation的絕對(duì)值和方差不盡相同，本文采取實(shí)驗(yàn)的方法，取K=1 000，N=2 000，對(duì)3種分布仿真1 000次進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，得到表3所示。

表3 ping模型期望方差表Tab.3 Expectation and variance in model ping

可以看到，3個(gè)模型的期望值差別很大，很難有一個(gè)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)，標(biāo)準(zhǔn)差差別不大，在3-4之間，所以本文選擇3作為ping模型的閾值。

在quan模型中，對(duì)于每一個(gè)編碼分組，首先全部都按照度分布 ρ={ρ1，ρ2，…ρs}的概率選擇 num={num1，num2，…nums}選定一個(gè)度值numi，如果隨機(jī)選中原始分組，其quan值為1/numi，模型可以看做是度分布 ρ={ρ1，ρ2，…ρs}的取值為 num={1/num1，1/num2，…1/nums}的 N 次 s維伯努利分布，任意原始分組期望度值為unmi/K，相對(duì)于該編碼分組的平均度期望Expe_degree=·numi，quan 模 型 中 原 始 分 組 quani=，原始分組中quan模型的期望為：

這樣對(duì)于不同度分布，其quan模型的期望值與度分布沒(méi)有關(guān)系，只與K值和N值有關(guān)。但是方差仍然依賴(lài)于分布函數(shù)，下面是對(duì)3種分布的1000次仿真統(tǒng)計(jì)，得到表4。

表4 quan模型期望方差表Tab.4 Expectation and variance in model quan

可以看到，在quan模型中，期望值偏差和方差差距都不明顯，所以本文以0.7作為quan模型的閾值較為合適。

兩個(gè)模型和閾值建立起來(lái)，首先隨機(jī)地進(jìn)行編碼，每生成一個(gè)編碼分組，統(tǒng)計(jì)被選中的原始分組的ping值和quan值，當(dāng)滿(mǎn)足條件：

該原始分組被拋棄，在以后的編碼過(guò)程中不被選擇。這樣一來(lái)，絕大多數(shù)的原始分組都落在了Expectation_ping和Expectation_quan附近，整個(gè)編碼得到了優(yōu)化。

2.3 m ing置亂算法的提出

而在實(shí)際的編碼中，由于存在最后階段沒(méi)有足夠的原始分組可供選擇，所以設(shè)定閾值，當(dāng)0.95K都被拋棄時(shí)，此時(shí)已編碼M個(gè)編碼分組，最后N-M個(gè)編碼分組采用原來(lái)的編碼算法。前M個(gè)和后來(lái)的N-M個(gè)采用的是兩種編碼算法，顯然前者的效果更好，需要對(duì)編碼分組和編碼矩陣進(jìn)行置亂，使得能夠更好地體現(xiàn)在刪除和高斯信道的性能，本文對(duì)于1×N維矩陣和N×N維矩陣提出ming置亂算法，其步驟如下：

1）選取Logistic方程作為模型的混沌序列發(fā)生器：xn+1=μxn（1+xn），這樣每一個(gè)隨機(jī)數(shù)都在 0和 1之間。

2）選取N×N維單位陣I，將第一個(gè)隨機(jī)數(shù)乘以N得到操作數(shù)x，然后對(duì)x做[x]運(yùn)算，將[x]列與第N列進(jìn)行交換。

3）將第二個(gè)隨機(jī)數(shù)乘以 N-1，然后對(duì)操作數(shù)做[x]運(yùn)算，將[x]列與第N-1列進(jìn)行交換。

4）重復(fù)第2個(gè)步驟，直至剩下最后1列為止。

這樣能夠保證每一個(gè)編碼分組都能等概隨機(jī)地排列在最后傳輸分組的任意位置。

3 新算法的實(shí)現(xiàn)

3.1 確定度分布

將原始數(shù)據(jù)等分為K個(gè)數(shù)據(jù)分組 （最后一個(gè)分組可以補(bǔ)0后成等分），根據(jù)輸入碼長(zhǎng)K和輸出碼長(zhǎng)N，選擇weaken分布作為原始分布，計(jì)算出ping模型的期望和quan模型的期望。

3.2 第一階段編碼

根據(jù)設(shè)計(jì)的度分布Ω，隨機(jī)地選取編碼數(shù)據(jù)分組的度d，對(duì)每一個(gè)編碼分組，從K個(gè)輸入數(shù)據(jù)包中，等概率地隨機(jī)選取d個(gè)不同的原始數(shù)據(jù)分組，計(jì)算這d個(gè)原始分組的ping值和quan值。當(dāng)有原始分組滿(mǎn)足公式（8）時(shí)，該分組舍去，從剩下的原始分組中隨機(jī)選取不滿(mǎn)足公式（8）的分組，直至d個(gè)原始分組都被選取，將這d個(gè)原始分組模二加，生成一個(gè)編碼數(shù)據(jù)分組。

重復(fù)上述過(guò)程，統(tǒng)計(jì)已經(jīng)滿(mǎn)足公式（8）的原始分組個(gè)數(shù)，當(dāng)其已經(jīng)達(dá)到0.95K時(shí)，此編碼過(guò)程結(jié)束，記下已經(jīng)編碼的編碼分組個(gè)數(shù)M。

3.3 第二階段編碼

將剩下的N-M個(gè)未編碼分組按照原先的編碼方式編碼，選取度分布值d，根據(jù)d隨機(jī)選取原始d個(gè)原始分組，將這d個(gè)原始分組模二加，生成一個(gè)編碼數(shù)據(jù)分組。

當(dāng)N-M個(gè)編碼分組編完后，將所有N個(gè)編碼分組ming置亂，選擇Logistic方程作為混沌方程，設(shè)定初始值μ，得到隨機(jī)數(shù)列，進(jìn)而得到置亂矩陣，對(duì)編碼分組進(jìn)行置亂，得到最終的傳輸分組。

3.4 譯 碼

當(dāng)收到傳輸分組，首先根據(jù)初始值通過(guò)Logistic方程得到隨機(jī)數(shù)列，對(duì)傳輸分組反置亂。

這里譯碼采用BP算法，所不同的是刪除信道采用硬判決的BP算法，而高斯信道采用的是log-BP的軟判決算法。譯碼算法根據(jù)編碼數(shù)據(jù)分組與輸入數(shù)據(jù)分組的對(duì)應(yīng)關(guān)系建立二部圖。在硬判決譯碼的每一步，譯碼器都在編碼集合中尋找度為1的分組，這些分組組成的集合稱(chēng)為輸出可譯集合，具體譯碼如圖3所示。log-BP的軟判決算法相對(duì)復(fù)雜，本文就不再贅述。

圖3 BP硬判決譯碼圖Fig.3 Diagram of BP hard decision decoding

在數(shù)據(jù)傳輸?shù)倪^(guò)程中，會(huì)由于各種各樣的原因發(fā)生數(shù)據(jù)分組的丟失和干擾，在常規(guī)的糾錯(cuò)編碼中，當(dāng)一個(gè)大的數(shù)據(jù)流發(fā)生超過(guò)其糾錯(cuò)能力的時(shí)候，會(huì)發(fā)生整個(gè)數(shù)據(jù)無(wú)法解碼出來(lái)，但是噴泉碼還會(huì)在一定程度上將一定數(shù)量的分組解碼出來(lái)，本算法使得噴泉碼在這兩種信道性能進(jìn)一步增強(qiáng)。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果與討論

本文分別進(jìn)行LT編碼和Raptor編碼，原始分組長(zhǎng)度K值取1 000，編碼分組長(zhǎng)度N值取2 000，為方便起見(jiàn)，每個(gè)分組只是0，1比特，置亂選擇 Logistic方程，初始值 μ為 0.37，每個(gè)仿真節(jié)點(diǎn)仿真100次。

在 LT編碼中，LT度分布采用 ideal、robust和 weaken分布，當(dāng)有950個(gè)原始分組都已經(jīng)達(dá)到要求被拋棄時(shí)，本文所采取的編碼算法自動(dòng)終止，采用原來(lái)的編碼算法將剩下的編碼分組全部編完，然后用ming算法將編碼分組和編碼矩陣進(jìn)行置亂。

在Raptor碼中，LT度分布采用weaken分布，首先進(jìn)行LDPC預(yù)編碼，將1 000個(gè)分組編碼為1 050個(gè)分組，碼率為0.95，然后將1 050個(gè)中間分組噴泉編碼為2 000編碼分組。

在LDPC預(yù)編碼中，采用PEG的非規(guī)則編碼，校驗(yàn)矩陣H的列的度分布函數(shù)為：

f（x）=0.283 54x+0.242 37x2+0.474 09x3（9）

當(dāng)有1 000個(gè)中間分組滿(mǎn)足條件被拋棄時(shí)，本文算法終止，采用原來(lái)的編碼算法將剩下的編碼分組全部編完，最后用ming算法將編碼分組和編碼矩陣置亂得到傳輸分組。

圖4 ping模型分布圖Fig.4 Distribution diagram ofmodel ping

圖5 quan模型分布圖Fig.5 Distribution diagram ofmodel quan

如圖4所示，在ping模型中，通過(guò)閾值設(shè)定，通過(guò)對(duì)比，原始分組明顯向期望值11.7靠近，每一個(gè)原始分組對(duì)于編譯碼的貢獻(xiàn)趨于一致。當(dāng)0.95個(gè)原始分組被使用完，表明沒(méi)有足夠的原始分組可供利用，在ping值兩端，會(huì)出現(xiàn)原有算法得到的ping，由于最后的編碼數(shù)很少，對(duì)編譯碼沒(méi)有太大的影響。

如圖5所示，在quan模型中，通過(guò)閾值設(shè)定，原始分組向期望值2靠近，說(shuō)明每一個(gè)原始分組的貢獻(xiàn)也是一致的，這樣能夠避免在譯碼過(guò)程中由于信道的影響帶來(lái)糾錯(cuò)性能的下降。

本文通過(guò)BEC信道和AWGN信道進(jìn)行測(cè)試，其中BEC信道采用0.025的比例步長(zhǎng)，刪除概率從0.3到0.5進(jìn)行測(cè)試，AWGN信道采用1db的信噪比步長(zhǎng)，信噪比從-5db到0db進(jìn)行測(cè)試，文獻(xiàn)[9]的結(jié)果作為BEC信道的對(duì)比，而文獻(xiàn)[10]的結(jié)果作為AWGN信道的對(duì)比。

圖6 BEC信道誤碼率顯示圖Fig.6 Chart of BER in the BEC channel

圖7 AWGN信道誤碼率顯示圖Fig.7 Chart of BER in the AWGN channel

測(cè)試結(jié)果如圖6和圖7所示，在高的刪除概率下，本文采用的算法誤碼率明顯降低，而且在零誤碼率的情況下所需的分組數(shù)也小于常規(guī)的方法。在低信噪比下，本文采用的算法比LT和Raptor常規(guī)的方法在相同的信噪比下誤碼率低，而且達(dá)到的誤碼率所需的信噪比也低于原來(lái)的方法。

5 結(jié) 論

本文通過(guò)對(duì)噴泉碼原始分組的構(gòu)成分析，提出ping模型和quan模型，使原始分組對(duì)于編碼的貢獻(xiàn)趨于一致，對(duì)中短碼長(zhǎng)的隨機(jī)特性予以約束，避免原始分組被欠利用和過(guò)利用，這樣提高了編碼的效率，進(jìn)而加強(qiáng)了抵抗干擾的能力，使得在干擾較強(qiáng)的情況下仍然有較低的誤碼率。由于閾值已經(jīng)設(shè)定好，所以實(shí)現(xiàn)起來(lái)較為簡(jiǎn)單，保證絕大多數(shù)的原始分組的ping值和quan值都在期望附近，最后又提出ming置亂算法，使得每一個(gè)編碼分組所攜帶的信息更為均衡。這樣在降低復(fù)雜度的同時(shí)，又進(jìn)一步提高了噴泉碼的糾錯(cuò)能力。

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