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    淺談數(shù)學(xué)概念的教學(xué)

    2018-07-16 11:35王衛(wèi)華
    考試周刊 2018年61期
    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)概念

    摘 要:數(shù)學(xué)概念在數(shù)學(xué)內(nèi)容中占有重要地位,數(shù)學(xué)概念的教學(xué)有著自身的特點,在教學(xué)中應(yīng)該根據(jù)這些特點開展教學(xué)。本文分析了數(shù)學(xué)概念的定義,數(shù)學(xué)概念的獲得以及數(shù)學(xué)概念的教學(xué)這三方面的特點,其中,介紹了定義的五種方法,概念獲得的兩種方式,概念教學(xué)的注意事項等。

    關(guān)鍵詞:數(shù)學(xué)概念;概念獲得;概念形成;概念同化

    中學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識包括概念,命題及命題的證明等,其中數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)家智慧的結(jié)晶。數(shù)學(xué)是用概念思維的,在概念學(xué)習(xí)的過程中培養(yǎng)出來的方法遷移能力及思維方式最強悍。數(shù)學(xué)概念教學(xué)的意義,一方面讓學(xué)生掌握書本知識,另一方面使學(xué)生學(xué)會用概念思維,以此提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)。教師們應(yīng)該重視概念教學(xué),特別是核心概念的教學(xué)。

    一、 數(shù)學(xué)概念的定義

    概念反映了客觀事物的本質(zhì)屬性,數(shù)學(xué)概念則反映了客觀事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性。掌握一個概念,將是要掌握這個概念的定義,定義是揭示概念內(nèi)涵的邏輯方法。

    有如下幾種定義方法:1. 內(nèi)涵式定義,即屬概念加種差定義。例如,在定義“有一組對邊相等的平行四邊形叫菱形”中,“平行四邊形”是臨近的屬,“有一組對邊相等”是種差。

    2. 發(fā)生定義。以被定義概念所反映的對象產(chǎn)生或形成的情況作為種差作出的定義,稱為發(fā)生定義。例如“一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而成的圖形叫做角”,就是一個發(fā)生性定義。

    3. 關(guān)系定義。以被定義概念所反映的對象與其他對象之間的關(guān)系作為種差而作出的定義叫作關(guān)系定義。例如“如果一條直線和一個平面內(nèi)的任何一條直線都垂直,就稱這條直線和這個平面垂直”。

    4. 外延定義,某些概念內(nèi)涵不易描述,但外延明確,可通過表示外延的方法來作定義,例如,“有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)”。

    5. 詞語定義,例如“形如y=kx+b(k≠0)的函數(shù)稱為一次函數(shù)”。

    說到概念,不能不提原始概念。在概念的序列中有一些概念是用來定義其他概念的,但又不能用別的概念給它下定義,這些概念稱為原始概念或不加定義的概念。例如,數(shù)、點、直線、平面等都是原始概念。原始概念一般用描述的方法來揭示它們的本質(zhì)屬性。

    二、 數(shù)學(xué)概念的獲得

    一般地,人們通過概念形成與概念同化兩種方式獲得概念。概念形成是指人們從大量例子出發(fā),抽象概括出一類事物的本質(zhì)屬性。教學(xué)操作如下:(1)教師拿出一組例子,與同學(xué)們一起分析它們的共同屬性。(2)通過已有認知結(jié)構(gòu),概括抽象出對象共同的本質(zhì)屬性。(3)給出概念的定義。(4)通過正例和反例進行強化訓(xùn)練。

    概念同化是學(xué)習(xí)者利用已有概念去理解新概念。教學(xué)操作如下:(1)辨認階段,回顧已有知識,比較分析新舊知識。(2)同化階段,把新概念納入已有概念體系中,同化新概念,形成一個整體。(3)強化階段,通過正,反例,加深加強學(xué)生對新概念的理解。

    概念的同化有下面三種基本模式:

    1. 下位學(xué)習(xí)。下位學(xué)習(xí)是由大到小,由一般到特殊,通過學(xué)習(xí)將新概念納入舊概念之下,或者說新概念是舊概念的子集。例如,已有函數(shù)的概念,納入正比例函數(shù),反比例函數(shù);已有平行四邊形,納入矩形,菱形。

    雖然人們對客觀事物的認識是從特殊到一般的,但目前的數(shù)學(xué)教材編排是采用下位學(xué)習(xí)方式,如先學(xué)習(xí)函數(shù)概念,再學(xué)習(xí)一次函數(shù),二次函數(shù)。下位學(xué)習(xí)是一種演繹學(xué)習(xí)的過程。

    2. 上位學(xué)習(xí)。上位學(xué)習(xí)是指新概念包含了原有認知結(jié)構(gòu)中的概念。例如,已經(jīng)學(xué)習(xí)了橢圓,拋物線,雙曲線,再學(xué)習(xí)圓錐曲線。上位學(xué)習(xí)是一種歸納學(xué)習(xí)的過程。

    3. 組合學(xué)習(xí),也叫并列學(xué)習(xí)。組合學(xué)習(xí)是指新概念與原有概念在內(nèi)涵和外延上是并列的,既無上位關(guān)系,也無下位關(guān)系,例如,三角形的三線,高,角平分線,中線,它們是并列關(guān)系。

    概念同化是依靠新舊概念之間的相互作用來理解新概念,需要學(xué)生依托原有認知結(jié)構(gòu),是一種主動的,有意義的學(xué)習(xí),更利于成績好的學(xué)生學(xué)習(xí)。

    概念形成與概念同化兩者不是孤立的,概念形成包含了同化的因素,需要用具體的材料去同化新概念。概念形成的教學(xué)形式比較費時,但有利于培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力。概念同化也包含有概念形成的因素,因為同化不能脫離分析,抽象和概括。概念同化的教學(xué)形式省略了概念產(chǎn)生過程中的觀察,分析共性,抽象概括,節(jié)約了教學(xué)時間,但有利于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力。在概念教學(xué)中,經(jīng)常要結(jié)合兩種方式,根據(jù)不同的教學(xué)內(nèi)容選用不同的教學(xué)形式,以培養(yǎng)學(xué)生綜合素質(zhì)。

    三、 概念教學(xué)

    教師要把基本概念放在中心地位,使其成為相關(guān)知識的紐帶,要把基本概念的教學(xué)作為重點,狠下功夫,訓(xùn)練學(xué)生能對一類具體例子的屬性進行分析,綜合,比較而抽象出本質(zhì)屬性,把新概念納入概念系統(tǒng)中去,這是概括的高級階段。同時要注意培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)語言表達能力,這是學(xué)生的弱項,也是長期被數(shù)學(xué)老師所忽視的。語言表達是概念教學(xué)的難點,經(jīng)常性的,老師和學(xué)生都知難而退。學(xué)生能用自己的語言敘述概念,這說明學(xué)生能夠深刻正確地理解概念。數(shù)學(xué)語言是符號語言,是世界通用語言,因此,學(xué)生掌握數(shù)學(xué)語言具有重要意義。

    “人教A版”的主編寄語中說:數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想的起源與發(fā)展都是自然的。如果有人感到某個概念不自然,是強加于人的,那么只要想一下它的背景,它的形成過程,它的應(yīng)用,以及它與其他概念的聯(lián)系,你就會發(fā)現(xiàn)它實際上是水到渠成、渾然天成的產(chǎn)物,不僅合情合理,甚至很有人情味。

    概念教學(xué)應(yīng)該自然,水到渠成。這包括知識邏輯順序的自然和學(xué)生心理邏輯,主要是思維過程的自然。概念教學(xué)中,一方面要突出由實際背景抽象出數(shù)學(xué)概念的過程,讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)抽象的過程,學(xué)會用數(shù)學(xué)思考問題;另一方面,要突出建模方法的使用,讓學(xué)生認識到數(shù)學(xué)反映客觀事物的方法是通過數(shù)學(xué)模型實現(xiàn)的,從而學(xué)會用數(shù)學(xué)解決問題。

    作者簡介:

    王衛(wèi)華,湖北省武漢市,湖北大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院;應(yīng)用數(shù)學(xué)湖北省重點實驗室。

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