D－分割技術(shù)確定磁軸承的PID參數(shù)魯棒穩(wěn)定域

楊益飛， 駱敏舟， 邢紹邦 ， 韓曉新， 李月紅， 朱熀秋

(江蘇理工學(xué)院電氣信息工程學(xué)院，江蘇常州213001;2.中國科學(xué)院合肥物質(zhì)科學(xué)研究院，先進(jìn)制造技術(shù)研究所，江蘇常州213164;3.江蘇大學(xué)電氣信息工程學(xué)院，江蘇鎮(zhèn)江212013)

0 引言

PID控制方法的參數(shù)整定方便，結(jié)構(gòu)靈活，是控制理論中比較成熟控制方法，在工業(yè)控制中占據(jù)主要的地位。PID控制器應(yīng)用在實際工業(yè)控制中，需要考慮到魯棒穩(wěn)定性。PID控制適合于精確數(shù)學(xué)模型的控制對象，對于受到外界干擾和不確定性的工業(yè)控制系統(tǒng)，通過經(jīng)驗調(diào)節(jié)得到的PID控制器的參數(shù)整定無法得出完整的穩(wěn)定域.HO給出了結(jié)合H∞性能設(shè)計的PID參數(shù)穩(wěn)定域，實現(xiàn)不確定控制系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性，達(dá)到了期望的性能指標(biāo)［1］。Saeki給出了PID控制的 H∞性能設(shè)計的不同方法［2］。L.H.Keel研究了PID參數(shù)穩(wěn)定域的加權(quán)靈敏度和魯棒穩(wěn)定問題，但沒有考慮到系統(tǒng)魯棒性能［3］。以上方法給出了PID魯棒穩(wěn)定域的設(shè)計方法，但都沒有考慮到被控系統(tǒng)的時滯現(xiàn)象。

時滯常數(shù)的變化是工業(yè)控制系統(tǒng)模型不確定性變化最為明顯，的因素。Silva推導(dǎo)了一階不穩(wěn)定時滯系統(tǒng)所有魯棒PID控制器參數(shù)集的算法［4］。對于時滯項逼近誤差的存在，多數(shù)人采用帕德近似。磁懸浮軸承作為一種典型的本征不穩(wěn)定系統(tǒng)，對控制器參數(shù)非常敏感，對控制器的設(shè)計要求十分苛刻，數(shù)字控制中附加時延的存在往往造成控制器不能穩(wěn)定地工作。本文在前人研究時滯系統(tǒng)的PID參數(shù)穩(wěn)定域整定方法的基礎(chǔ)上［5－7］，針對存在時滯現(xiàn)象的磁軸承系統(tǒng)受到外界干擾造成不確定性這一特性，僅依靠傳遞函數(shù)的頻率響應(yīng)，選取合適的加性不確定的權(quán)函數(shù)，然后，基于邊界穿越定理和D－分割技術(shù)，設(shè)計出滿足不確定時滯系統(tǒng)的H∞加權(quán)靈敏度約束PID參數(shù)魯棒穩(wěn)定域。這一方法對于很難獲得精確數(shù)學(xué)模型的磁懸浮軸承系統(tǒng)有著一定的實際使用價值。方法簡單、直觀，仿真和實驗結(jié)果證明了本文所采用設(shè)計方法的有效性。

1 問題描述

研究的控制對象不是精確模型，具有一定的模型化誤差。PID控制器參數(shù)選擇的是否合適，直接決定了閉環(huán)控制系統(tǒng)的性能要求。反饋控制系統(tǒng)的PID控制器K(s)和加性不確定的靈敏度函數(shù)分別為

式中:kp為比例系數(shù);ki為積分系數(shù);kd為微分系數(shù);

Gp(s)為任意階線性定常時滯系統(tǒng)頻率響應(yīng)的傳遞函數(shù)

式中 R，I∈R。

X(s)和Y(s)均為有理多項式。設(shè)計目的是設(shè)計一種在(kp，ki)、(kp，kd)和(ki，kd)平面中的魯棒穩(wěn)定域中任選參數(shù)，使得控制對象Gp(s)參數(shù)發(fā)生攝動時，能夠使被控對象的動態(tài)特性不受不確定性因素的影響，實現(xiàn)反饋控制系統(tǒng)的漸進(jìn)調(diào)節(jié)功能。

2 PID參數(shù)魯棒穩(wěn)定域設(shè)計方法

典型的加法不確定性反饋控制系統(tǒng)框圖可以由圖1表示。其中:w為參考輸入信號，y為輸出信號，u為控制信號，e為誤差信號，K(s)為控制器傳遞函數(shù)，實際控制對象GΔ(s)是具有加性不確定的模型，用加性攝動Δ(s)表示為

為了確保負(fù)載對系統(tǒng)的干擾影響很小，應(yīng)該考慮輸入靈敏度函數(shù)的上界。圖中，w點到y(tǒng)點的輸入靈敏度函數(shù)Ua(s)表達(dá)為

使用小增益［8］定理，對于加性不確定，得到閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒穩(wěn)定性條件

對于反饋控制系統(tǒng)，WA(s)是加法攝動Δ(s)系統(tǒng)期望達(dá)到所要求性能的權(quán)函數(shù)的最大值，表示為

設(shè)計目標(biāo)是找出由此加性不確定性的內(nèi)部穩(wěn)定H∞指標(biāo)的PID參數(shù)魯棒穩(wěn)定域，這一目標(biāo)可以通過滿足H∞期望指標(biāo)實現(xiàn)，即

式中，本文的魯棒性能指標(biāo)γ=1為有界擾動抑制水平。加權(quán)靈敏度約束可以表示為

由式(9)，H∞期望指標(biāo)重寫為

圖1 加法不確定性反饋控制系統(tǒng)框圖Fig.1 Additive uncertainty feedback control system block diagram

對于每一固定的θA∈［0，2π)，可以找出式(10)的PID控制器參數(shù)魯棒穩(wěn)定域。系統(tǒng)的閉環(huán)特征多項式方程為

開環(huán)左半平面定義為Г，邊界表示為

PID參數(shù)魯棒穩(wěn)定域KΓ是通過位于平面Г中的所有PID參數(shù)域的極點定義的，邊界表示為?KΓ。

將s=jω代入到特征多項式(11)中，得

其中:

定義式(12)的集合為 K?Γ，由邊界穿越定理［9］可知，K?Γ包含PID參數(shù)魯棒穩(wěn)定域的邊界?KΓ。本文說明了一種計算任意階線性定常時滯系統(tǒng)Gp(s)的方法，

3 PID參數(shù)魯棒穩(wěn)定域證明

假設(shè)1 如果τ恒等于0，則Gp(s)K(s)是嚴(yán)格正則的，如果τ不等于0時，即是正則的。并且進(jìn)一步假設(shè)Gp(s)在虛軸沒有零點。

以下證明 PID 控制器(kp，ki)、(kp，kd)(ki，kd)平面的參數(shù)魯棒穩(wěn)定域。

1)定理1 kd為(kp，ki)平面的參數(shù)魯棒穩(wěn)定域上的固定值，對于0﹤ ω﹤∞，K?Γ包含奇異邊界線ki=0和以下方程所給定的非奇異邊界線曲線

證明 令式(12)的實部和虛部等于零，可得

由D－分割技術(shù)［6］可知，魯棒穩(wěn)定域邊界包括奇異邊界(ω=0，ω=∞和非奇異邊界(0＜ω＜∞)。當(dāng)ω =0 和 θA∈［0，2π)時，方程變?yōu)?Gp(0)ki—(1/γ)WA(s)ki=0，由式(13)可得ki=0，kp是任意的。當(dāng)ω=∞和θA∈［0，2π)時，由假設(shè)1得知，此時方程無解.綜合以上分析可得(kp，ki)平面的參數(shù)非奇異穩(wěn)定域。當(dāng)0＜ω ＜∞和 θA∈［0，2π)時，此時方程有唯一連續(xù)解曲線，因為GP(S)在虛軸沒有零點，比如，R2+I2=|Gp(jω)|2≠0，由式(14)可以求解出滿足魯棒性的參數(shù)非奇異穩(wěn)定域的邊界線為式(13)。根據(jù)式(14)得出雅克比矩陣為

當(dāng)J＞0時，穩(wěn)定邊界的左側(cè)沿著w增大的方向為參數(shù)穩(wěn)定域，非奇異邊界線左側(cè)的不穩(wěn)定閉環(huán)極點少于右側(cè)。反之，當(dāng)J＜0時，穩(wěn)定邊界的右側(cè)沿著w增大的方向為參數(shù)魯棒穩(wěn)定域，非奇異邊界線右側(cè)的不穩(wěn)定閉環(huán)極點少于左側(cè)［6，10］。式(15)總是小于0，因此沿著w增大方向的右側(cè)確定為參數(shù)魯棒穩(wěn)定域。

2)(kp，kd)平面的參數(shù)魯棒穩(wěn)定域的求解類似于定理1關(guān)于(kp，ki)平面的參數(shù)魯棒穩(wěn)定域的方法。設(shè)定ki是一固定值。令式(12)的實部和虛部等于零，可得到

當(dāng)0＜ ω ＜∞和 θA∈［0，2π)，(kp，ki)參數(shù)魯棒穩(wěn)定域由以下曲線得出

方程(16)中的雅克比矩陣表示為

由式(18)可知，J總是大于0，因此沿著w增大方向的左側(cè)確定為(kp，kd)平面的參數(shù)魯棒穩(wěn)定域。

3)kp已知時，當(dāng)0＜ω ＜ ∞和 θA∈［0，2π)，由文獻(xiàn)［7］得知，(ki，kd)平面的參數(shù)魯棒穩(wěn)定域是一組直線相交的凸多邊形，這組直線表示為kd=a ki+b。取(kp，ki)平面和(kp，kd)平面上對應(yīng)于 kp的 kd與 ki，便可確定(a，b)值，從而得出(ki，kd)平面的非奇異參數(shù)魯棒穩(wěn)定域的邊界K?Γ。

4 主動磁軸承的數(shù)學(xué)模型

主動磁軸承是利用主動可控的電磁力懸浮轉(zhuǎn)子的無接觸支承方式，由功放、電磁鐵轉(zhuǎn)子和位移傳感器組成，徑向?qū)ο笕鐖D2所示。功放將控制電壓轉(zhuǎn)換為控制電流，驅(qū)動電磁鐵產(chǎn)生電磁力懸浮轉(zhuǎn)子，位移傳感器檢測出轉(zhuǎn)子偏離參考點的位移。

圖2 徑向磁軸承控制框圖Fig.2 Radial magnetic bearing control block diagram

功放電路通常可用一階低通濾波線性模型來近似，其傳遞函數(shù)為

其中，gwlpf為功放低通算子。

以徑向磁軸承為對象是，對磁軸承在工作點平衡位置，通過局部線性化得到模型為

位移傳感器的帶寬很高，用比例環(huán)節(jié)描述

磁軸承的數(shù)字控制時延可以表示為［11］

其中:τ為滯后時間常數(shù);tcon為A/D轉(zhuǎn)換時間;thold為零階保持器延遲時間;tcal為控制算法運算執(zhí)行間。

考慮時延的徑向磁懸浮轉(zhuǎn)子廣義被控對象傳遞函數(shù)可以表示為

5 算例驗證與實驗

加性不確定權(quán)函數(shù)的幅值應(yīng)該覆蓋高頻段頻率響應(yīng)的變化。根據(jù)上述分析，并結(jié)合表1所示的部分樣機(jī)結(jié)構(gòu)主要參數(shù)，再由文獻(xiàn)［12］計算式(23)，通過磁軸承的實際控制對象和標(biāo)稱模型的傳遞函數(shù)之差反映到波特圖上，合理選取如下加性不確定函數(shù)［13］，有

表1 三相交流主動磁軸承結(jié)構(gòu)參數(shù)Table 1 Structure parameters of three phases AC active radial magnetic bearing

由定理1，若已知kd=0.2，根據(jù)式(13)，當(dāng)w 增大時，非奇異穩(wěn)定邊界不斷向外逐漸變擴(kuò)大，穩(wěn)定邊界線的右側(cè)比左側(cè)有更少的不穩(wěn)定極點，即(kp，ki)平面參數(shù)魯棒穩(wěn)定域位于一組非奇異邊界和奇異邊界ki=0所包圍的區(qū)域。(kp，ki)平面的參數(shù)魯棒穩(wěn)定域如圖3所示，從圖3中的魯棒穩(wěn)定域內(nèi)外分別取一點 K1和 K2，有

代入式(13)中，從圖4可知

和

滿足PID控制器設(shè)計的期望指標(biāo)。圖4表明了文中算法的正確性。

圖3 (kp，ki)平面的魯棒穩(wěn)定區(qū)域Fig.3 Robust stability region in(kp，ki)plane

圖4 (kp，ki)平面的幅頻特性Fig.4 Magnitude-frequency characteristics in(kp，ki)plane

若已知ki=0.5，根據(jù)式(17)，得到滿足 H∞期望指標(biāo)式(10)的(kp，kd)平面的參數(shù)魯棒穩(wěn)定域如圖5所示。為了驗證這一結(jié)果，從圖5中的魯棒穩(wěn)定域內(nèi)外各任選一點K3K4，PID控制器為

圖5 (kp，kd)平面的幅頻特性Fig.5 Robust stability region in(kp，kd)plane

圖6 (kp，kd)平面的幅頻特性Fig.6 Magnitude-frequency characteristics in(kp，kd)plane

由圖3和圖5魯棒穩(wěn)定域可以確定對應(yīng)于kp的ki和kd，本文取kp=0.1，根據(jù)構(gòu)成凸多邊形的一組直線方程kd=a ki+b，求解其中的(a，b)值。由上述直線方程和奇異邊界ki=0得到了滿足H∞期望指標(biāo)式(10)的(ki，kd)平面參數(shù)魯棒穩(wěn)定域如圖7所示。

圖7 (ki，kd)平面的魯棒穩(wěn)定區(qū)域Fig.7 Robust stability region in(ki，kd)plane

從圖7中的魯棒穩(wěn)定域內(nèi)外任選一點K5和K6驗證該指標(biāo)，PID控制器為

圖8 (ki，kd)平面的幅頻特性Fig.8 Magnitude-frequency characteristics in(ki，kd)plane

給出了轉(zhuǎn)子一端的徑向二自由度主動磁軸承的數(shù)字控制系統(tǒng)，徑向采用電流跟蹤型逆變器提供控制電流。圖9為交流二自由度主動磁軸承控制框圖，位移傳感器檢測出轉(zhuǎn)子的徑向位移與參考位移比較，誤差通過分散控制器調(diào)節(jié)得到理想的控制電流參考信號，徑向電流控制信號與偏置電流相疊加后經(jīng)過2/3變換成理想的三相交流參考電流信號與反饋電流信號進(jìn)行滯環(huán)比較控制逆變器，由三相逆變器來驅(qū)動控制線圈，從而改變控制磁通，以產(chǎn)生期望的懸浮力。通過位移接口電路將轉(zhuǎn)子位移傳感器輸出電壓信號調(diào)整為0.2～2.8 V。因此當(dāng)三相交流主動磁軸承轉(zhuǎn)子位于平衡位置時，輸出位移電壓信號約為1.5 V。以位于圖3穩(wěn)定域中的PID參數(shù)為例(kp=3.1，ki=2.5，kd=0.2)，可以得到實驗波形如圖10所示。

圖9 交流二自由度徑向磁軸承控制框圖Fig.9 Two-degree-of-freedom radial magnetic bearing control block diagram

圖10 三相交流主動徑向磁軸承轉(zhuǎn)子穩(wěn)定懸浮曲線Fig.10 Three phases AC active radial magnetic bearing-Rotor stable suspension curve

從圖10可以看出，轉(zhuǎn)子x和y方向位移響應(yīng)曲線在1.5 V上下波動，即實現(xiàn)了轉(zhuǎn)子徑向方向穩(wěn)定懸浮控制。圖11和圖12分別為轉(zhuǎn)子在穩(wěn)定懸浮時，轉(zhuǎn)子在x方向和y方向受到干擾力時的實驗波形。從圖11和12中可以看出轉(zhuǎn)子在穩(wěn)定懸浮時，給轉(zhuǎn)子在x方向和y方向分別施加一個干擾力，轉(zhuǎn)子偏離平衡位置，當(dāng)干擾力消失后，轉(zhuǎn)子迅速回到平衡位置，實現(xiàn)穩(wěn)定懸浮。

圖11 x方向受到擾動時位移波形Fig.11 Displacement wave of x-direction with disturbance

圖12 y方向受到擾動時位移波形Fig.12 Displacement wave of y-direction with disturbance

另外，選取以位于圖5穩(wěn)定域中的PID參數(shù)為例(kp=1.5，ki=0.5，kd= －0.05)為例，觀察轉(zhuǎn)子的位移波形變化情況。圖13和圖14所示分別為x方向和y方向受到擾動時的位移波形圖。當(dāng)對x方向施加干擾，y方向基本不受影響，并且這兩個方向均能恢復(fù)到平衡位置;對y方向施加干擾，x方向受到的擾動較小，并且x方向和y方向均能恢復(fù)到平衡位置狀態(tài)。

圖13 x方向受到擾動時位移波形Fig.13 Displacement wave of x-direction with disturbance

圖14 y方向受到擾動時位移波形Fig.14 Displacement wave of y-direction with disturbance

最后，選取以位于圖7穩(wěn)定域中的PID參數(shù)為例(kp=0.1，ki=0.4，kd=0.25)為例，觀察轉(zhuǎn)子的位移波形變化情況。圖15和圖16所示分別為x方向和y方向受到擾動時的位移波形圖。當(dāng)只對x方向和y方向其中一個方向施加擾動后，另一個方向受到的擾動較小，并且x方向和y方向均能恢復(fù)到平衡位置狀態(tài)。對于圖16，x方向和y方向雖然都穩(wěn)定懸浮了，但是離平衡位置還差一點，其原因在于所選取的圖7穩(wěn)定域中的PID參數(shù)臨近邊界，其效果沒有以上實驗好。

圖15 x方向受到擾動時位移波形Fig.15 Displacement wave of x-direction with disturbance

圖16 y方向受到擾動時位移波形Fig.16 Displacement wave of y-direction with disturbance

以上實驗結(jié)果表明使用本文的控制算法時，系統(tǒng)起浮過程平穩(wěn)，阻尼合適，響應(yīng)性好，抗干擾性強(qiáng)，并具有良好的動態(tài)性能。

7 結(jié)論

本文給出一種快速計算徑向磁軸承的魯棒PID控制器參數(shù)穩(wěn)定域的方法。該方法的特點是計算簡單，結(jié)果可靠.根據(jù)邊界穿越定理并結(jié)合小增益定理，在魯棒穩(wěn)定域中任選PID參數(shù)，可以使系統(tǒng)穩(wěn)定并滿足魯棒性能約束條件。該方法可推廣到其他有時滯或者無時滯的控制系統(tǒng)中，并且對于控制系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型的精確度要求不高，為參數(shù)調(diào)節(jié)帶來的方便，具有一定的普遍性和實用性。

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