基于LSSVM的多輸入多輸出開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)建模

徐宇柘， 曹彥萍， 鐘銳

(1.山東省海洋環(huán)境監(jiān)測(cè)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，山東青島266001;2.山東省科學(xué)院海洋儀器儀表研究所，山東青島266001;3.東南大學(xué)國(guó)家專(zhuān)用集成電路系統(tǒng)工程技術(shù)研究中心，江蘇南京210096)

0 引言

作為一種無(wú)需稀土材料的無(wú)刷直流電機(jī)，開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)(SRM)具有結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、轉(zhuǎn)矩大、成本低等突出特點(diǎn)，并在寬廣的速度和功率范圍內(nèi)都能保持較高效率［1］。近年來(lái)，隨著稀土資源的日益減少，永磁無(wú)刷電機(jī)成本日益上升，SRM已逐漸引起電動(dòng)車(chē)行業(yè)的重視［2－3］。

精確的SRM模型是電動(dòng)車(chē)應(yīng)用研究與控制的基礎(chǔ)。但是由于SRM定轉(zhuǎn)子的雙凸極結(jié)構(gòu)，使其呈現(xiàn)出高度非線性及多變量耦合的特點(diǎn)，因此，使用傳統(tǒng)建模方法很難得到精確的電機(jī)模型。隨著智能技術(shù)的不斷成熟，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)不斷應(yīng)用于開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)建模中［4－6］，作為智能控制技術(shù)的一種，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)具有很強(qiáng)的非線性映射能力，無(wú)需知道模型的任何先驗(yàn)知識(shí)，而是利用實(shí)際可測(cè)量的輸入輸出來(lái)辨識(shí)模型，使得所建模型具有很強(qiáng)的自適應(yīng)性和魯棒性［7］。然而神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)存在所需樣本大、局部極小點(diǎn)、過(guò)學(xué)習(xí)以及結(jié)構(gòu)和類(lèi)型的選擇過(guò)分依賴(lài)于經(jīng)驗(yàn)等固有缺陷。支持向量機(jī)［8］(SVM)是Vapnik在統(tǒng)計(jì)學(xué)習(xí)理論基礎(chǔ)上提出的一種新型機(jī)器學(xué)習(xí)方法，它基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化，具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)依據(jù)，為解決小樣本問(wèn)題提供了很好的解決方案，并能有效避免神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)上述缺陷。文獻(xiàn)［9］利用支持向量機(jī)建立轉(zhuǎn)子位置預(yù)測(cè)模型，能準(zhǔn)確預(yù)測(cè)轉(zhuǎn)子位置，實(shí)現(xiàn)了SRM的無(wú)位置傳感器控制。最小二乘支持向量機(jī)由于在損失函數(shù)和等式約束條件上的修正，較之標(biāo)準(zhǔn)的 SVM算法，在快速上有了很大提高。文獻(xiàn)［10］建立了LSSVM速度控制器并代替原始PI控制器，實(shí)現(xiàn)了開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)的快速準(zhǔn)確調(diào)速。在SRM建模方面，文獻(xiàn)［11－12］利用LSSVM分別建立了基于自感特性及矩角特性的SRM模型，并通過(guò)實(shí)測(cè)證明建模方法的正確性和有效性，克服了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模過(guò)學(xué)習(xí)和訓(xùn)練速度慢的缺點(diǎn);文獻(xiàn)［13］利用LSSVM建立了基于磁鏈特性的SRM模型，避免了神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模局部極小點(diǎn)、過(guò)學(xué)習(xí)和過(guò)分依賴(lài)經(jīng)驗(yàn)等固有缺陷，并分析了LSSVM方法在小樣本建模方面的優(yōu)勢(shì)。

本文基于SRM磁特性，采用LSSVM方法建立多輸入多輸出開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)模型。與以上最小二乘支持向量機(jī)SRM建模相比在結(jié)構(gòu)上進(jìn)行改進(jìn)，以進(jìn)一步提高模型精確度。給出樣本數(shù)據(jù)獲取方法以及核參數(shù)的優(yōu)化方法，訓(xùn)練多輸入多輸出LSSVM模型，并分析其在精確度上的優(yōu)勢(shì)，搭建基于LSSVM的多輸入多輸出SRM仿真模型，并將仿真結(jié)果和實(shí)測(cè)結(jié)果對(duì)比，驗(yàn)證該建模方法的正確性。

1 LSSVM基本原理

支持向量機(jī)基于結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化理論，將低維空間非線性樣本經(jīng)過(guò)核函數(shù)映射為高維空間中的線性樣本，從而降低求解復(fù)雜性。其基本原理如圖1所示。

圖1 支持向量機(jī)基本原理圖Fig.1 Basic schematic of support vector machine

最小二乘支持向量機(jī)是支持向量機(jī)的一種改進(jìn)，它是將傳統(tǒng)支持向量機(jī)中的不等式約束改為等式約束，且將誤差平方和損失函數(shù)作為訓(xùn)練集的經(jīng)驗(yàn)損失，從而把解二次規(guī)劃問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解線性方程組問(wèn)題，提高了求解問(wèn)題的速度和收斂精確度。

給定非線性系統(tǒng)的n個(gè)輸入輸出樣本數(shù)據(jù)集(xi，yi)，i=1，…，n(其中 xi∈Rd為輸入變量，yi∈R為期望值，d為自變量維數(shù))。根據(jù)這些樣本用支持向量機(jī)來(lái)建立該系統(tǒng)的非線性模型。首先通過(guò)一個(gè)非線性變換x→φ(x)，將輸入空間的樣本點(diǎn)xi映射到一個(gè)高維的特征空間(Hilbert空間);而后在該特征空間進(jìn)行線性建模，構(gòu)造最優(yōu)決策函數(shù)

式中:ω為權(quán)重向量，ω∈Rd;b為閾值，b∈R;＜·＞表示向量?jī)?nèi)積。

利用Vapnik結(jié)構(gòu)風(fēng)險(xiǎn)最小化原則，尋找ω，b是優(yōu)化以下問(wèn)題

式中，ζi為松弛因子，c為正則化參數(shù)，用拉格朗日法求解優(yōu)化問(wèn)題

式中，αi≥0為拉格朗日乘子。對(duì)式(3)求極值，令

解得

消去ω和ξ，得

式中:y=［y1，…，yn］T;

用最小二乘法求解式(5)，求出α和b，得到用核函數(shù)表示的非線性系統(tǒng)模型為

2 基于LSSVM的開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)建模

2.1 樣本數(shù)據(jù)的獲取

最小二乘支持向量機(jī)模型輸入為角度(θ)、磁鏈(ψ)，輸出為電流(i)、轉(zhuǎn)矩(T)及磁鏈對(duì)角度的偏導(dǎo)(?ψ/?θ)，如圖 2 所示。其中，輸出?ψ/?θ是為了仿真中方便求解反電動(dòng)勢(shì)。

圖2 SRM多輸入多輸出LSSVM模型Fig.2 MIMO LSSVM model of SRM

實(shí)驗(yàn)樣機(jī)的額定參數(shù)為:12/8極，額定功率500 W，額定轉(zhuǎn)速3 600 r/min，額定轉(zhuǎn)矩1.1 N·m。

電機(jī)的電壓方程［14－15］為

由式(7)可推出磁鏈方程得

磁共能方程

由式(9)推出轉(zhuǎn)矩方程

因此，采用以下方法獲取樣本數(shù)據(jù):固定角度，利用改進(jìn)的DC脈沖法［16］得到測(cè)量電壓、電流，由式(8)計(jì)算出磁鏈，得到角度－電流－磁鏈數(shù)據(jù)，此改進(jìn)DC脈沖法能有效消除損耗影響，測(cè)量結(jié)果更準(zhǔn)確;然后由三次樣條插值求導(dǎo)［17］得到(?ψ/?θ)數(shù)據(jù)，再由式(9)和式(10)經(jīng)三次樣條積分和求導(dǎo)求得轉(zhuǎn)矩，得到角度－電流－轉(zhuǎn)矩?cái)?shù)據(jù)。

2.2 LSSVM和參數(shù)選擇

核參數(shù)的選取對(duì)LSSVM模型的精確度有很大的影響，由于開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)的高度非線性及多變量耦合特點(diǎn)，本文選取非線性映射能力強(qiáng)，誤差小的RBF核函數(shù)，基本形式為

且RBF核參數(shù)相對(duì)較少，更適用于SRM建模。該核函數(shù)有兩個(gè)參數(shù)需要確定，校正因子γ和核寬度系數(shù)σ。采用交叉驗(yàn)證與湊試法結(jié)合的方法選取最優(yōu)參數(shù)對(duì)［18］。

首先用交叉驗(yàn)證法尋優(yōu)，進(jìn)行幾次后，選取訓(xùn)練點(diǎn)誤差最小的兩個(gè)參數(shù)值作為初始優(yōu)化值，并統(tǒng)計(jì)參數(shù)的變化趨勢(shì)對(duì)誤差大小的影響。

然后在確保訓(xùn)練點(diǎn)誤差較小的前提下，分別以初始值為中心，根據(jù)以上總結(jié)的趨勢(shì)適當(dāng)縮放參數(shù)的值，最后選取使得訓(xùn)練點(diǎn)誤差最小的一組參數(shù)值為最終優(yōu)化值。其中，誤差分為兩種形式，一種是最大絕對(duì)誤差，定義如式(12);另一種是均方根誤差，定義如式(13)。其中，yri為實(shí)測(cè)樣本值，ypi為L(zhǎng)SSVM預(yù)測(cè)的值。

2.3 LSSVM模型訓(xùn)練

最后確定最優(yōu)參數(shù)對(duì)為(γ，σ):γ=［10000 10500 22000］;σ =［0.1 0.06 0.12］。圖 3 和圖4分別是訓(xùn)練好的多輸入多輸LSSVM模型仿真得到的轉(zhuǎn)矩與磁鏈特性曲線［18－20］，可看出訓(xùn)練曲線與樣本點(diǎn)吻合度很高。

圖3 LSSVM模型仿真得到的轉(zhuǎn)矩特性曲線Fig.3 Torque curves based on LSSVM model simulation

圖4 LSSVM模型仿真得到的磁鏈特性曲線Fig.4 Magnetization curves based on LSSVM model simulation

2.4 多輸入多輸出LSSVM模型與多輸入單輸出LSSVM模型比較

LSSVM建模相對(duì)于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)建模的優(yōu)勢(shì)在文獻(xiàn)［12］和文獻(xiàn)［13］中已經(jīng)明確闡述并得到驗(yàn)證，這里不再闡述。但是，這些LSSVM開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)模型都是基于單輸出LSSVM，文獻(xiàn)［12］中SRM模型由兩個(gè)單輸出LSSVM模型矩角模型和自感模型組合而成，這很容易造成累積誤差，降低模型的精確度甚至是速度。為了驗(yàn)證本文建立的多輸入多輸出LSSVM模型的優(yōu)勢(shì)，建立并優(yōu)化了多輸入單輸出(MISO)LSSVM模型，和圖2中多輸入多輸出模型相對(duì)比，如圖5所示。

圖5 SRM多輸入單輸出LSSVM模型Fig.5 MISO LSSVM model of SRM

表1為兩種方法建模結(jié)果對(duì)比，其中，εm和εr分別為輸出轉(zhuǎn)矩的為最大絕對(duì)誤差和均方根誤差，t為訓(xùn)練時(shí)間。

表1 多輸出與單輸出LSSVM建模性能指標(biāo)對(duì)比Table 1 Comparison of performance between multi-output and single-output LSSVM models

由表1可以看出多輸出LSSVM模型的均方根誤差、最大絕對(duì)誤差和訓(xùn)練時(shí)間均小于單輸出的LSSVM模型。且文獻(xiàn)［12］中模型轉(zhuǎn)矩的最大絕對(duì)誤差和均方根誤差分別為3.5e－4和8.7e－4也大于本文的多輸出模型。由此可見(jiàn)，由于設(shè)計(jì)成多輸入多輸出，能更好的適應(yīng)SRM各參數(shù)間的強(qiáng)耦合性，避免了上述單輸出模型組合而產(chǎn)生的累積誤差，不僅稍微加快了模型速度而且使得模型精確度更高。

2.5 基于多輸入多輸出LSSVM的SRM系統(tǒng)模型的建立

在Matlab的SIMULINK中建立系統(tǒng)的仿真模型，包括功率變換模塊、控制模塊和電機(jī)本體模塊，這里只討論電機(jī)本體模塊仿真模型的建立。仿真模塊中用S函數(shù)實(shí)現(xiàn)磁鏈計(jì)算、LSSVM預(yù)測(cè)、反電動(dòng)勢(shì)計(jì)算及電感計(jì)算。經(jīng)S函數(shù)封裝后模塊輸入為角度、磁鏈、角速度，輸出為電流、轉(zhuǎn)矩、反電動(dòng)勢(shì)和電感。SIMULINK仿真原理框圖如圖6所示。

圖6 SRM本體simulink仿真原理Fig.6 The simulation block diagram of SRM body in simulink

反電動(dòng)勢(shì)由式(14)得出，電感由式(15)得出。

3 仿真與實(shí)測(cè)驗(yàn)證

為了驗(yàn)證本文建模方法的正確性，將仿真結(jié)果和SRM調(diào)速系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)平臺(tái)實(shí)測(cè)結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比，設(shè)置相同的工況:直流供電電壓48 V，負(fù)載2.75 N·m，控制方式APC，斬波限90 A，A相開(kāi)通角－3.293 7°，關(guān)斷角12.958 1°。仿真A相電流和實(shí)測(cè)A相電流分別如圖7和圖8所示。

圖7 仿真得到A相電流波形Fig.7 Current waveform of phase A obtained by simulation

圖8 實(shí)測(cè)A相電流波形Fig.8 Current waveform of phase A obtained by experimental measurement

仿真與實(shí)測(cè)對(duì)比結(jié)果如表2所示。

表2 仿真與實(shí)測(cè)A相電流結(jié)果對(duì)比Table 2 Comparision of results by simulation and experimental measurement

由上兩圖和表2可以看出，仿真和實(shí)測(cè)電流相比不僅波形吻合性很好，而且能夠保持較小的誤差，這充分說(shuō)明了本文所述的基于最小二乘支持向量機(jī)的多輸入多輸出開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)建模方法的正確性和可行性。

4 結(jié)論

本文基于最小二乘支持向量機(jī)建立了SRM的非線性多輸入多輸出模型，訓(xùn)練精確度進(jìn)一步提高，避免了以往最小二乘支持向量機(jī)建模方法產(chǎn)生的累積誤差;并且仿真和實(shí)測(cè)結(jié)果驗(yàn)證了此建模方法的準(zhǔn)確性和有效性，對(duì)開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)非線性建模來(lái)說(shuō)具有很大的應(yīng)用價(jià)值。此模型精確度可通過(guò)優(yōu)化核函數(shù)進(jìn)一步提高，是下一步研究的重點(diǎn)。

［1］SOARES F，BRANCO P J C.Simulation of a 6/4 switched reluctance motor based on Matlab/Simulink environment［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic，2001，37(3):989－1009.

［2］SPONG M，PERESADA S，TAYLER D.Feedback linearizing control of switched reluctance motors［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，1987，32(5):371 －379.

［3］KRISHNAN R.Switched reluctance motor drives:modeling，simulation，analysis，design，and applications［M］.New York:CRC Press，2001:1 －25.

［4］ELMAS C，SAGIROGLU S，COLAK I，et al.Modeling of a nonlinear switched reluctance deriver based on artificial neural networks［C］//Proceedings of Fifth International Conference on Power Electronics and Variable-Speed Drivers，October 26 － 28，1994，London，UK.1994:7－12.

［5］CAI Jun，DENG Zhiquan，LIU Zeyuan.Nonlinear Modeling of Switched Reluctance Motor Using Different Methods［C］//Applied Power Electronics Conference and Exposition(APEC)，2010 Twenty-Fifth Annual IEEE，F(xiàn)eb 21 －25，2010，Palm Springs，CA，USA.2010:1018－1025.

［6］蒯松巖，張旭隆，王其虎，等.開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)無(wú)位置傳感器控制［J］.電機(jī)與控制學(xué)報(bào)，2011，15(8):18－22.KUAI Songyan，ZHANG Xulong，WANG Qihu，et al.Position sensorless control of SRM using neural network ［J］.Electric Machines and Control，2011，15(8):18 －22.

［7］高雋.人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理及仿真實(shí)例［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2003:1－50.

［8］CRISTIANINI Nello，TAYLOR John Shawe著，李國(guó)正，王猛，曾華軍譯.支持向量機(jī)導(dǎo)論［M］.北京:電子工業(yè)出版社，2004:1－50.

［9］HE Ziming，XIA Changliang，ZHOU Yana，et al.Rotor Position Estimation for Switched Reluctance Motor Using Support Vector Machine［C］//Control and Automation，2007，ICCA 2007，May 30－June 1，2007，Guangzhou，China.2007:1683－1687.

［10］ZHOU Jie，LI Hui，SUN Yongkui.Variable Speed Control in Switched Reluctance Drive Based on Least Square-Support Vector Machine［C］//Mechatronics and Automation，2008，ICMA 2008，Aug 5－8，Takamatsu，Japan.2008:792－796.

［11］QU Bingni，SONG Jiancheng，JIA Huiyong，et al.Nonlinear Modeling of Switched Reluctance Machine［C］//Electrical Ma-chines and Systems(ICEMS 2011)，Aug 20－23，2011，Beijing，China.2011:1 －4.

［12］宋建成，鄭建斌，曲兵妮，等.開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)的最小二乘支持向量機(jī)建模與仿真［J］.電機(jī)與控制學(xué)報(bào)，2010，14(5):32－36.SONG Jiancheng，ZHENG Jianbin，QU Bingni，et al.Modeling and simulation for switched reluctance motor based on least squares support vector machine［J］.Electric Machine and Control，2010，14(5):32 －36.

［13］司利云，林輝，劉震.基于最小二乘支持向量機(jī)的開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)電動(dòng)機(jī)建模［J］.中國(guó)電機(jī)工程學(xué)報(bào)，2007，27(6):26－30.SI Liyun，LIN Hui，LIU Zhen.Modeling of switched reluctance motors based on LS-SVM［J］.Proceedings of the CSEE，2007，27(6):26－30.

［14］王宏華.開(kāi)關(guān)磁阻電動(dòng)機(jī)調(diào)速控制技術(shù)［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，1999.

［15］吳建華.開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)設(shè)計(jì)與應(yīng)用［M］.北京:機(jī)械工業(yè)出版社，2000.

［16］CARSTENSEN C E，F(xiàn)UENGWARODSAKUL N H，DE DONCKER，R W.Flux Linkage Determination for Correct Modeling of Switched ReluctanceMachines-DynamicMeasurementversus Static Computation［C］//Electric Machines＆ Drives Conference，IEMDC 2007，May 3 －5，2007，Antalya，Turkey.2007:1317－1323.

［17］丁文，梁得亮，魚(yú)振民，等.基于磁鏈與轉(zhuǎn)矩特性的開(kāi)關(guān)磁阻電機(jī)建模研究［J］.西安交通大學(xué)學(xué)報(bào).2007，41(2):214－218.DING Wen，LIANG Deliang，YU Zhenmin，et al.Modeling for switched reluctance motor based on flux linkage and torque characteristics［J］.Journal of Xi’an Jiao Tong University，2007，41(2):214－218.

［18］陳帥，朱建寧，潘俊，等.最小二乘支持向量機(jī)的參數(shù)優(yōu)化及其應(yīng)用［J］.華東理工大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)報(bào)，2008，34(2):278－282.CHEN Shuai，ZHU Jianning，PAN Jun，et al.Parameters optimization of LS-SVM and its application［J］.Journal of East China University of Science and Technology:Natural Science Edition，2008，34(2):278－282.

［19］王晶，靳其兵，曹柳林.面向多輸入多輸出系統(tǒng)的支持向量機(jī)回歸［J］.清華大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)報(bào)，2007，47(S2):1737－1741.WANG Jin，JIN Qibing，CAO Liulin.Support vector machine algorithm for multi-input multi－ output systems［J］.Journal of Tsinghua Univ:Sci＆Tech，2007，47(S2):1737 －1741.

［20］郭小薈，馬小平.基于Matlab的支持向量機(jī)工具箱［J］.計(jì)算機(jī)應(yīng)用與軟件，2007，24(12):57－59.GUO Xiaohui，MA Xiaoping.Support vector machines toolbox in matlab environment［J］.Computer Application and Software，2007，24(12):57－59.