機動目標無源跟蹤IMM-MKF算法?

(海軍航空工程學院電子信息工程系,山東煙臺264001)

0 引言

現(xiàn)代高科技局部戰(zhàn)爭的經(jīng)驗表明,制空權和信息快速獲取能力已成為決定戰(zhàn)爭勝負最為關鍵的兩個因素,兩者密不可分。在這種背景下,多站尤其是運動多站無源定位跟蹤系統(tǒng)[1-2]因為具有信息融合能力、隱蔽性好、機動性強、探測距離遠等優(yōu)點,已成為獲取戰(zhàn)場信息的重要手段,獲取戰(zhàn)場中機動目標的狀態(tài)信息是一個難點。

目前對機動目標的跟蹤多采用交互式多模型結構,研究的重點在于模型集的選擇和與模型集對應的濾波算法性能的改進[3-6]。本文對后者進行研究。

目前,非線性濾波算法主要有三類:一是基于局部線性化的擴展卡爾曼濾波(EKF)類算法[7]。當系統(tǒng)方程非線性程度較高時EKF類算法線性化誤差大,跟蹤性能不穩(wěn)定。二是基于確定性采樣點的sigma點卡爾曼濾波算法,包括不敏卡爾曼濾波(UKF)[8-9]算法、容積卡爾曼濾波(CKF)算法[10]等。這類算法采用一組帶有權值的確定性采樣點來近似統(tǒng)計量的均值和方差信息,可視為EKF算法的改進,目前應用比較廣泛,盡管跟蹤精度有所提高,不過仍未解決EKF類算法的缺點。三是基于隨機采樣點的粒子濾波類算法[11]。盡管理論上粒子濾波類算法能很好地近似后驗概率密度函數(shù),但這需要無窮多隨機采樣點,實際應用中只能選擇有限的采樣點且存在粒子退化現(xiàn)象,導致粒子濾波算法計算量大且跟蹤性能不理想。

為了更好地利用sigma點卡爾曼濾波算法的確定采樣點,文獻[12]提出了一種新的變換即邊緣化變換(MT)來計算隨機變量的前兩階矩信息(均值和方差)。邊緣化變換采用與UKF算法或者CKF算法相同的sigma點,不過將非線性函數(shù)建模為隨機過程并進一步將其描述為一系列Hermite多項式的線性組合,從而可以得到均值和方差的解析閉式解,保證了協(xié)方差矩陣的半正定性。MT假設Hermite多項式的系數(shù)具有分級先驗分布,這些系數(shù)的后驗概率分布可以通過變換后的sigma點求出,對系數(shù)進行積分可以消除其影響從而解析計算出變換后的均值和方差信息。

本文將MT應用于狀態(tài)更新過程,提出了基于MKF的新的運動多站無源跟蹤算法,將其與IMM結合來實現(xiàn)對機動目標的高精度跟蹤,并對其性能進行了仿真分析。

1 機動目標跟蹤模型

考慮具有如下Markov跳變線性系統(tǒng)的機動目標狀態(tài)估計問題。

式中,X k和Z k分別表示k時刻目標的狀態(tài)及運動觀測站獲得的觀測量(本文采用的觀測量為角度),表示k-1時刻目標按第i個模型運動時的狀態(tài)轉移矩陣,h k為與目標狀態(tài)及觀測站狀態(tài)有關的非線性函數(shù),過程噪聲與測量噪聲w k～N(0,R)相互獨立。假設目標在N個模型之間依Markov鏈進行轉移,轉換概率已知且k-1時刻模型轉移到k時刻模型j(記為

2 IMM-MKF算法

2.1 MKF算法

假設已知N個模型的初始狀態(tài)估計都為E[X0],初始協(xié)方差矩陣估計P0=E[(X0-對k∈{1,…,∞},因為狀態(tài)方程為線性,在最小均方根誤差(MMSE)準則下卡爾曼濾波(KF)是最優(yōu)濾波器,因此對第i個模型而言狀態(tài)預測過程通過KF來實現(xiàn),即

量測方程為非線性,本文采用M T來實現(xiàn)狀態(tài)更新,具體步驟為:

1)選擇先驗分布矩陣Σ,該矩陣是p×p的對角矩陣(p≤5),對角元素至少兩個非零。先驗矩陣為對角矩陣是因為假設θj的各個元素服從高斯分布且相互獨立。p≤5是因為M T最多能夠準確積分直到5階的多項式。

2)產(chǎn)生2n+1個sigma點χ=[X0,X1,…,X2n],即

式中,w和C為Hermite基函數(shù)的均值和協(xié)方差矩陣,C為對角矩陣,其對角元素如式(7)所示,H(χ)為在各sigma點處計算的Hermite多項式,Pθ|z為加權矩陣θ的后驗分布。式(6)～式(9)在遞推過程中為常量,可以提前計算,從而大大減小算法計算量。

4)求解變換后的sigma點即根據(jù)χ計算的觀測量點集

5)計算k時刻觀測量的一步預測值^Z k|k-1

6)估計θi,j先驗分布中的比例因子αj,用眾數(shù)作為其估計值,即

7)計算觀測量一步預測值的協(xié)方差矩陣

權增益及狀態(tài)更新過程與KF相同

通過上面推導可知,與EKF算法、UKF算法及CKF算法相比,MKF算法也保持了KF算法的結構,不同的是在對均值及協(xié)方差矩陣的估計上。

2.2 IMM-MKF算法流程

令k-1時刻第i個模型的模型概率為狀態(tài)估計為狀態(tài)估計協(xié)方差矩陣為,則從k時刻起IM M-MKF算法的計算流程為:

2)對k-1時刻狀態(tài)及其協(xié)方差估計的混合。k-1時刻與第j個模型匹配的MKF算法的混合初始估計為

3)濾波。k時刻得到觀測量z k后,將和作為此時與第j個模型匹配的MKF算法的輸入,進行濾波得到k時刻狀態(tài)估計及其協(xié)方差估計計算模型似然概率

式中,c為歸一化常數(shù),且

5)狀態(tài)及協(xié)方差融合估計。按模型概率對N個模型輸出的狀態(tài)估計進行加權可得k時刻對目標的狀態(tài)估計為

需要注意的是,步驟5)只是輸出最終結果,不參與IMM算法的遞推過程。

3 算法仿真

以三機只測角跟蹤為例對IMM-MKF算法的性能進行仿真分析。3架飛機作勻速直線運動且初始狀態(tài)分別為(-15 km,0 km,0 m/s,300 m/s)、(0 km,0 km,0 m/s,300 m/s)和(15 km,0 km,0 m/s,300 m/s)。目標機動,初始狀態(tài)為(60 km,80 km,-200 m/s,-100 m/s),前90 s作帶有加速度擾動的勻速直線運動,加速度擾動噪聲標準差91～120 s作轉彎率為-0.1 rad/s的勻轉彎運動,加速度擾動噪聲標準差121～200 s重作帶有加速度擾動的勻速直線運動。三機測角標準差相同,都為0.5°;觀測時間間隔Ts=1s,連續(xù)觀測200s;兩個模型的初始模型概率相等,即μ1=μ2=0.5,模型概率轉移矩陣各算法初始化都假設目標相對第一個觀測站的徑向距離在0～400 km內(nèi)服從均勻分布,目標沿x軸和y軸的速度分量在-500～500 m/s內(nèi)服從均勻分布,結合第一個觀測站初始時刻角度測量值及均勻分布的統(tǒng)計特性可得目標的初始狀態(tài)估計。對各算法200次蒙特卡洛實驗結果進行統(tǒng)計可得位置RMSE及模型概率估計(以模型2為例)如圖1和圖2所示。

從圖1和圖2可以看出,將IMM結構和MKF算法結合的思想是有效的。圖1中盡管各種算法跟蹤性能趨于一致,但IMM-MKF算法收斂速度快,在跟蹤初期就具有很高的跟蹤精度,從而能為指揮員提供快速、高精度的目標指示結果。從圖1還可以看出IMM-MKF算法在跟蹤初期就很平穩(wěn),說明MKF算法對模型交互的穩(wěn)定性。此外,從圖2可以看出IMM-MKF算法能夠更準確地估計出模型的概率。

需要說明的是,盡管推導過程復雜,MKF算法的最終形式很簡潔,很多矩陣可以事先計算并存儲,計算量較小,便于工程實現(xiàn)。

4 結束語

本文將邊緣化變換(MT)引入狀態(tài)更新過程,提出了新的跟蹤算法即MKF算法,并將其與交互式多模型結合,提出了用于跟蹤機動目標的IMMMKF算法。仿真結果表明,上述改進思想是有效的,在本文的仿真場景中取得了比已有典型IMM算法更好的跟蹤性能,為解決機動目標的穩(wěn)健跟蹤提供了新的解決思路。

圖1 不同機動目標跟蹤算法性能比較圖

圖2 模型估計概率示意圖

[2]蘇峰,王昌海,徐征.基于最小二乘的時差定位算法[J].雷達科學與技術,2013,11(6):621-625,632.SU Feng,WANG Chang-hai,XU Zheng.TDOA Location Algorithms Based on the Least Squares[J].Radar Science and Technology,2013,11(6):621-625,632.(in Chinese)

[3]陳玲,李少洪.基于無源時差定位系統(tǒng)的機動目標跟蹤算法[J].系統(tǒng)工程與電子技術,2005,27(1):127-130.

[4]焦淑紅,劉申建,司錫才.機動目標時差無源定位自適應濾波算法研究[J].哈爾濱工程大學學報,2001,22(5):57-61.

[5]宋驪平,姬紅兵,高新波.多站測角的機動目標最小二乘自適應跟蹤算法[J].電子與信息學報,2005,27(5):793-796.

[6]徐本連,王執(zhí)銓.一種新的雙基陣純方位機動目標跟蹤算法[J].南京理工大學學報,2006,30(2):142-146.

[7]FENG D W,LI T,HUANG Z T.Square-Root Second-Order Extended Kalman Filter and Its Application in Target Motion Analysis[J].IET Radar,Sonar&Navigation,2010,4(3):329-335.

[8]ZHAN R H,WAN J W.Iterated Unscented Kalman Filter for Passive Target Tracking[J].IEEE Trans on Aerospace and Electronic Systems,2007,43(3):1155-1163.

[9]DUNíK J,ˇSIMANDL M,STRAKA O.Unscented Kalman Filter:Aspects and Adaptive Setting of Scaling Parameter[J].IEEE Trans on Automatic Control,2012,57(9):2411-2416.

[10]ARASARATNAM I,HAYKIN S.Cubature Kalman Filters[J].IEEE Trans on Automatic Control,2009,54(6):1254-1269.

[11]RISTIC B,ARULAMPALAM S,GORDON N.Beyond the Kalman Filter:Particle Filters for Tracking Applications[M].London:Artech House,2004.

[12]SANDBLOM F,SVENSSON L.Moment Estimation Using a Marginalized Transformation[J].IEEE Trans on Signal Processing,2012,60(12):6138-6150.

[13]JULIER S J.The Scaled Unscented Transformation[C]∥Proceedings of the American Control Conference,[S.l]:[s.n.],2002:4555-4559.