在“做課題”中引導(dǎo)學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)問(wèn)題的探討

楊莉秋

（浙江省杭州市蕭山區(qū)戴村鎮(zhèn)初級(jí)中學(xué)）

一、問(wèn)題研究的背景與所要解決的主要問(wèn)題

提出問(wèn)題的過(guò)程就是對(duì)教學(xué)內(nèi)容初步感知和整體把握的過(guò)程，隨著學(xué)生問(wèn)題的提出，課堂的主人也由教師變成了學(xué)生；教師備課也由主觀(guān)分析教學(xué)中的重點(diǎn)、難點(diǎn)，演變成尋找教學(xué)中產(chǎn)生的問(wèn)題；教學(xué)反思也由反思教學(xué)行為轉(zhuǎn)變?yōu)榉此紝W(xué)生提出的問(wèn)題。這樣的課堂將成為隨著學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)變化量身定做的新課堂。但在實(shí)際教學(xué)中，學(xué)生主動(dòng)質(zhì)疑有所欠缺，導(dǎo)致我們一系列的想法和理念無(wú)法完整的實(shí)現(xiàn)。

學(xué)生欠缺主動(dòng)質(zhì)疑，歸根到底是缺少促使他思考的條件。

小組合作是按照學(xué)生的優(yōu)劣搭配分組，不同層次的學(xué)生混搭在一起，導(dǎo)致有些學(xué)生由于沒(méi)有同等的學(xué)生激發(fā)他思考的動(dòng)力，有些學(xué)生又覺(jué)得自己和組內(nèi)人相差太多，不敢提問(wèn)。

面對(duì)全體學(xué)生，老師提出的問(wèn)題的難度讓一部分學(xué)生覺(jué)得不解渴，另一部分學(xué)生又感覺(jué)太難。

課堂的時(shí)間有限，我們讓學(xué)生小組合作，但討論和解決問(wèn)題的時(shí)間很短，根本沒(méi)有給學(xué)生自己思考和提出問(wèn)題的余地。

學(xué)生缺乏提問(wèn)題的能力與熱情，沒(méi)有養(yǎng)成提出問(wèn)題、反思問(wèn)題的習(xí)慣。

二、引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出數(shù)學(xué)問(wèn)題的策略研究

（一）概念的界定

1.問(wèn)題

問(wèn)題是要求人們?nèi)ネ瓿梢粋€(gè)任務(wù)，依他們的經(jīng)驗(yàn)，沒(méi)有一個(gè)現(xiàn)成的可供使用的完成任務(wù)的策略。

2.質(zhì)疑能力

質(zhì)疑能力是指學(xué)生在自主學(xué)習(xí)過(guò)程中，讀書(shū)、發(fā)問(wèn)、探究的一種學(xué)習(xí)能力，它是以讀書(shū)為啟端，以提問(wèn)為軸心，以探究為中心點(diǎn)的自主學(xué)習(xí)策略。

（二）培養(yǎng)學(xué)生產(chǎn)生問(wèn)題和提出問(wèn)題的有效策略

以往我們對(duì)學(xué)生產(chǎn)生問(wèn)題、提出問(wèn)題的培養(yǎng)都局限于兩個(gè)方面：時(shí)間上局限于課堂；問(wèn)題產(chǎn)生的范圍局限于書(shū)本，實(shí)質(zhì)上是在培養(yǎng)學(xué)生如何去解決一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，而不是去產(chǎn)生數(shù)學(xué)問(wèn)題。

那么，如何培養(yǎng)學(xué)生產(chǎn)生數(shù)學(xué)問(wèn)題呢？最好的辦法，是讓學(xué)生做課題，可以從小課題開(kāi)始，按學(xué)生的實(shí)際情況，拉長(zhǎng)時(shí)間，策略上適宜安排即可。

1.課題的選擇原則

（1）可操作原則。課題的選擇一定要有可操作性，可以是學(xué)生通過(guò)社會(huì)調(diào)查尋求解決問(wèn)題的方法、動(dòng)手操作能發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的方案、通過(guò)生活經(jīng)驗(yàn)?zāi)芴岢稣n題的問(wèn)題所在等。

（2）重要性原則。課題要能給學(xué)生產(chǎn)生問(wèn)題的空間，激起學(xué)生解決問(wèn)題的欲望。可以選擇教科書(shū)后的閱讀材料或設(shè)計(jì)材料，也可以選擇課本中已刪節(jié)但對(duì)解決初中數(shù)學(xué)問(wèn)題又非常重要的內(nèi)容，也可以選擇課本中的重、難點(diǎn)延伸出的問(wèn)題。

（3）分層原則。新課標(biāo)中規(guī)定課堂教學(xué)要尊重學(xué)生的個(gè)體差異，滿(mǎn)足學(xué)生多樣化的需求，因此，對(duì)于不同層次的學(xué)生，老師要引導(dǎo)他們選擇不同層次的課題，比如，層次好的學(xué)生按照重要性、探究性選擇課題，層次一般的學(xué)生選擇難度適宜卻有趣味性的課題。

（4）合作原則。在合作過(guò)程中能形成同學(xué)之間火花的碰撞，課題研究不同于課堂上的合作探究，因此，在分組上應(yīng)以自愿組合為主，提高團(tuán)隊(duì)的整體素質(zhì)。

2.做課題前的準(zhǔn)備工作

（1）恰當(dāng)分組。分組要以自愿為主，能引起組內(nèi)同學(xué)的共鳴，取得最大化的分組效應(yīng)。

（2）選擇時(shí)間。課題的研究目的是培養(yǎng)學(xué)生產(chǎn)生問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，特別是培養(yǎng)學(xué)生產(chǎn)生問(wèn)題，提出猜想的習(xí)慣，因?yàn)檎n堂時(shí)間有限，所以要將時(shí)間劃零為整，再統(tǒng)一時(shí)間做總結(jié)和規(guī)劃。

（3）確定課題。按照分組情況、自愿原則，可以選擇自己喜歡探究或具有趣味性的課題。

（4）制定課題方案。根據(jù)課題確定方案，如，我們要研究什么問(wèn)題，可以把這個(gè)問(wèn)題分解為幾個(gè)小問(wèn)題？或者由此問(wèn)題可以延伸出幾個(gè)問(wèn)題？在研究過(guò)程中出現(xiàn)什么問(wèn)題？解決問(wèn)題的方法是什么？方案的確定可以以表格的形式，清晰明了，也可以以文章的形式，有理有據(jù)。

3.在課題研究中產(chǎn)生數(shù)學(xué)問(wèn)題的實(shí)例（按重要性原則，以探究組為例）

（1）確定課題名稱(chēng)：1.5 圖形的平移課后設(shè)計(jì)題的探究。

（2）課題要研究的問(wèn)題：如圖1 所示，直線(xiàn)L1，L2表示一條河的兩岸，且L1∥L2，現(xiàn)要在這條河上建一座橋，橋建在何處才能使村莊A 經(jīng)橋過(guò)河到村莊B 的路程最短？

圖1

課本中出現(xiàn)這一題目時(shí)，學(xué)生感覺(jué)此題不難，出現(xiàn)的答案有兩種：一是直接連接AB，二是在L1上隨便找了個(gè)點(diǎn)C 連接BC，作CD⊥L2，再連接DA。這兩種答案都是不對(duì)的，答案一的學(xué)生知道“兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短”，答案二的學(xué)生知道河上造橋要垂直于河。兩者都有可取之處，但又存在問(wèn)題，如何解決這些問(wèn)題，本題是有一定的難度，因此，有一小組選擇了這一課題。在學(xué)生的初步討論過(guò)程中，他們把問(wèn)題分解成為兩個(gè)小問(wèn)題：

①我們?cè)?jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的路程最短問(wèn)題有哪些？是采用什么方法解決的？

②聯(lián)系生活實(shí)際，如果我們自己從A 村到B 村路程最短，會(huì)怎么走？

這個(gè)過(guò)程就是問(wèn)題產(chǎn)生的過(guò)程，也是分步解決問(wèn)題的過(guò)程。

（3）解決問(wèn)題的方法。數(shù)學(xué)方法：數(shù)形結(jié)合法，回憶討論法。實(shí)踐方法：聯(lián)想生活實(shí)際，畫(huà)出適宜草圖，作圖上分析。

（4）小組人員的分工：

徐嘉偉：負(fù)責(zé)人員分工，時(shí)間安排，討論環(huán)節(jié)的組織，結(jié)論的生成。

張丹、張小芬：負(fù)責(zé)查閱課本及作業(yè)本、導(dǎo)學(xué)、試卷，整理與路程最短相關(guān)的題目。

徐晨孟茜、胡同：負(fù)責(zé)畫(huà)出符合題意的草圖，并進(jìn)行圖上分析，找出分析過(guò)程中存在的問(wèn)題。

（5）綜合結(jié)論：利用一節(jié)數(shù)學(xué)綜合課，小組人員齊聚討論：

與最短距離相關(guān)的題X：一段筆直的公路L 的同側(cè)有兩村莊A，B，它們之間的距離為13 千米，A，B 與公路L 的垂直距離AD=8.5 千米，BC=3.5 千米，要在公路上修一車(chē)站P，使車(chē)站P 到兩村莊A，B 的距離的和為最短，最短距離為多少？

分析時(shí)出現(xiàn)的問(wèn)題：如何能使線(xiàn)段（AD+BC）的長(zhǎng)度最短？

根據(jù)題X 的解法，學(xué)生過(guò)點(diǎn)B 作L1的垂線(xiàn)并延長(zhǎng)相等的距離得點(diǎn)B1，連接AB1與L2相交于點(diǎn)D，過(guò)D 作CD⊥L1，路徑BCCD-DA 為所求。

圖2

學(xué)生認(rèn)為自己做的是對(duì)的，我問(wèn)：誰(shuí)能找到一個(gè)辦法反駁這個(gè)做法？

學(xué)生再次去研究，胡同提出：如果是從點(diǎn)A 作L2的垂線(xiàn)開(kāi)始，其他作法不變，那么，得到的路徑和剛剛得到的路徑就不同，本題的最短路程是唯一的一條路，不會(huì)是兩個(gè)答案，因此，方法不能服眾。

從這個(gè)過(guò)程，我們發(fā)現(xiàn)，學(xué)生缺乏的就是提出問(wèn)題的能力，他們自以為問(wèn)題已經(jīng)解決了。此時(shí)，張丹提出一個(gè)想法：為什么題X的解法用在此題上不行呢？

我表?yè)P(yáng)了張丹，學(xué)生能自己提出問(wèn)題非常好，并讓學(xué)生分析一下原因。

張孝芬提出：題X 中A，B 兩點(diǎn)在L 的同側(cè)，而本題A，B 兩點(diǎn)在直線(xiàn)的兩側(cè)。

胡同提出：題X 中只有一條直線(xiàn)，而本題中有兩條直線(xiàn)。（這都是問(wèn)題的所在，學(xué)生放棄了題X，開(kāi)始尋找新的出路，無(wú)果）

我建議學(xué)生不要放棄，因?yàn)槲覀儸F(xiàn)在所學(xué)的路徑最短問(wèn)題只有兩種解決方法：兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短和垂線(xiàn)段最短，所以，還是要著手于題X。請(qǐng)學(xué)生再觀(guān)察一下我們研究過(guò)的所有問(wèn)題。

張丹：如果我們能把本題中的點(diǎn)A，B 放在一條直線(xiàn)的同側(cè)，那可能就解決問(wèn)題了。

胡同馬上問(wèn)：怎么把A，B 放一條直線(xiàn)的同側(cè)？放哪條直線(xiàn)的同側(cè)？

這兩個(gè)問(wèn)題交給學(xué)生繼續(xù)研究，現(xiàn)在已經(jīng)接近下課，接下來(lái)需要他們零散進(jìn)行，另找時(shí)間交流想法。

再觀(guān)察圖2，他們雖然沒(méi)有找到辦法把A，B 放在一條直線(xiàn)的同側(cè)，但他們發(fā)現(xiàn)，如果圖中的BC=B1D，那么，（BC+AD）的長(zhǎng)度就是（AD+B1D）的長(zhǎng)度，根據(jù)兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短。路徑（BC+CD+DA）的長(zhǎng)度為最短。他們又提出了兩個(gè)問(wèn)題：如何使BC=B1D？如何使點(diǎn)A，D，B1在同一條直線(xiàn)上？

經(jīng)過(guò)幾天的討論，探究，學(xué)生得出結(jié)論：過(guò)點(diǎn)B 做BB1⊥L1且BB1=CD（CD 為河寬，長(zhǎng)度可得）連接AB1與L2相交于點(diǎn)D，過(guò)D作CD 垂直于L1，與L1交于點(diǎn)C。

圖3

師問(wèn)：你們?cè)趺粗浪龅木褪亲疃搪窂侥兀?/p>

生答：老師，我們也這樣問(wèn)過(guò)自己，您看：

我隨便畫(huà)了個(gè)路徑BC1-C1D1-D1A，∵BC1=B1D1，∴BC1+D1A=B1D1+AD1，又∵BC=B1D，∴BC+AD=B1D+AD=AB1。在△AD1B1中，∵AD1+B1D1＞AB1C1D1=CD，∴BC+CD+AD＜BC1+C1D1+D1A。

學(xué)生講得有理有據(jù)，這倒激起了我對(duì)學(xué)生思維過(guò)程的好奇，于是，我提了問(wèn)題：在你們的作圖過(guò)程中，沒(méi)有做過(guò)BC=B1D 呀？

有學(xué)生搶著說(shuō)：因?yàn)槲覀冏髁薆B1⊥L1，CD 也垂直L1，所以BB1∥CD，又因?yàn)槲覀冏髁薆B1=CD，按照平移性質(zhì)（一個(gè)圖形和它經(jīng)過(guò)平移所得的圖形中，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線(xiàn)平行且相等）的逆原理，那么B1D 就應(yīng)該是BC 平移以后的線(xiàn)段，圖形的平移不改變它的形狀和大小，所以，BC=B1D。

學(xué)生在沒(méi)有學(xué)過(guò)平行四邊形的情況下，能利用平移性質(zhì)的逆運(yùn)用來(lái)解決問(wèn)題，雖然，還需進(jìn)一步探究，但我覺(jué)得，可以適可而止了，畢竟在這個(gè)過(guò)程中，我們達(dá)到了做課題的根本目的——讓學(xué)生善于提問(wèn)，從而促進(jìn)思考。

接著，學(xué)生完成了最后一步，總結(jié)：

①綜合結(jié)論：河流的寬度不變，所以，CD 的長(zhǎng)度不變，（BC+AD）的長(zhǎng)度最短即解決問(wèn)題；長(zhǎng)度最短問(wèn)題利用的數(shù)學(xué)原理：兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短；平移可以將兩點(diǎn)兩線(xiàn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)一線(xiàn)問(wèn)題；利用平移性質(zhì)的逆用，得圖3 中BC=B1D。

②研究過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題：按題X 的方法解決本題出現(xiàn)了結(jié)論上的矛盾；點(diǎn)A，B 無(wú)法移到一條直線(xiàn)的同側(cè)；平移的性質(zhì)的逆用可以解決問(wèn)題，但平移性質(zhì)逆用的正確性尚需證明。

③反思。反思包括對(duì)解題過(guò)程的反思和對(duì)生成結(jié)論的反思，反思對(duì)我們未來(lái)解決問(wèn)題有指導(dǎo)性作用。

過(guò)程性反思：數(shù)形結(jié)合是一種非常重要的思想方法，解決本題，畫(huà)一個(gè)符合題意的草圖起到了決定性的作用；沒(méi)有問(wèn)題，就沒(méi)有思考。

結(jié)論性反思：我們平時(shí)都忽略了對(duì)結(jié)論正確性的驗(yàn)證，只知道解方程時(shí)將結(jié)果代入原方程，使方程左右兩邊相等，一定是方程的解，而實(shí)際上，不僅是方程，很多題目都有它自身的檢驗(yàn)結(jié)論是否正確的方法，我們?cè)诮忸}時(shí)還需關(guān)注。

在學(xué)生做課題的過(guò)程中，作為老師，我也進(jìn)行了適時(shí)的反思。大學(xué)問(wèn)家朱熹曾說(shuō)過(guò)：讀書(shū)，始讀，不疑；其次，漸疑；中則節(jié)節(jié)是疑。后，疑漸釋?zhuān)灾聼o(wú)疑，是為學(xué)。而我們?cè)谌粘＝虒W(xué)過(guò)程中，通常是教師呈現(xiàn)問(wèn)題，學(xué)生探究結(jié)果，這就把設(shè)疑和解疑分隔開(kāi)了，學(xué)生之所以解決不了問(wèn)題，很大程度上是因?yàn)椴粫?huì)通過(guò)設(shè)疑來(lái)尋求解題的思路和判斷結(jié)果的確定性。因此，培養(yǎng)學(xué)生提出問(wèn)題的能力是很重要的。

這種能力的培養(yǎng)不是一朝一夕的，也不是在課堂上有限的時(shí)間里就可以解決的，因此，我們要確定培養(yǎng)的對(duì)象、時(shí)間、方式。我們的目的不是單單地讓學(xué)生解決一個(gè)問(wèn)題，而是讓學(xué)生養(yǎng)成提問(wèn)的習(xí)慣和熱情，那么，采用做分層課題的形式，給學(xué)生提問(wèn)的空間和動(dòng)力，利用閑散時(shí)間，給學(xué)生自由選擇的權(quán)利，未嘗不是一個(gè)好的方式。當(dāng)然，在操作過(guò)程中，會(huì)有很多不盡如人意之處，老師則要做適當(dāng)?shù)耐苿?dòng)、指導(dǎo)和反思，逐步完善這一過(guò)程。我想，很多同行已更早地讓學(xué)生進(jìn)行做課題的活動(dòng)了吧？也希望能得到其他老師的建議與指點(diǎn)。

［1］邱學(xué)華，蘇春景.邱學(xué)華與嘗試教學(xué)法［M］.北京：中國(guó)青年出版社，2001.

［2］裴娣娜.教育創(chuàng)新與學(xué)校課堂教學(xué)改革論綱［J］.課程·教材·教法，2012（02）.