淺析圖像模糊的基本頻域恢復(fù)算法

鄭中杰李展

（1.廣東石油化工學(xué)院，廣東 茂名 525000；2.暨南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，廣東 廣州 510632）

淺析圖像模糊的基本頻域恢復(fù)算法

鄭中杰1李展2

（1.廣東石油化工學(xué)院，廣東 茂名 525000；2.暨南大學(xué)信息科學(xué)技術(shù)學(xué)院，廣東 廣州 510632）

圖像頻域恢復(fù)是數(shù)字圖像去模糊的一個(gè)重要的研究方向，在現(xiàn)實(shí)生活中有著廣闊的應(yīng)用前景和市場(chǎng)。本文針對(duì)常見的高斯模糊進(jìn)行分析，使用頻域上的逆濾波器、維納濾波器和最小二乘恢復(fù)去除模糊，并對(duì)比它們的恢復(fù)效果。

圖像恢復(fù)；高斯模糊；頻域恢復(fù)

1 引言

近年來，隨著電子數(shù)碼產(chǎn)品特別是數(shù)碼相機(jī)、數(shù)碼攝像機(jī)、拍照手機(jī)的普及，以及計(jì)算機(jī)處理能力的提升，數(shù)字圖像處理無論在軍事、醫(yī)療、天文還是生活中都有著越來越重要的應(yīng)用，而其中的圖像模糊恢復(fù)的研究更成為其中的一個(gè)熱點(diǎn)。

造成圖像模糊的原因有很多，其中包括光學(xué)系統(tǒng)像差、大氣擾動(dòng)等，不同原因?qū)е碌哪：枰煌奶幚矸椒?。從技術(shù)方面來看，模糊是圖像被卷積的結(jié)果，通常從頻域上來去除圖像模糊。

本文從頻域上對(duì)圖像的基本去模糊算法如逆濾波、維納濾波及有約束最小二乘方法，通過編程實(shí)現(xiàn)來進(jìn)行比較。

2 高斯模糊

圖像的模糊有很多情況，其中高斯模糊常常被用于研究圖像模糊。從數(shù)學(xué)的角度來看，圖像高斯模糊的過程就是圖像與正態(tài)分布做卷積。由于正態(tài)分布又叫做高斯分布，所以叫做高斯模糊。由于高斯函數(shù)的傅立葉變換是另外一個(gè)高斯函數(shù)，所以高斯模糊對(duì)于圖像來說就是低通濾波器的效果。高斯模糊是一種圖像模糊濾波器，它用正態(tài)分布計(jì)算圖像中每個(gè)像素的變換。在二維空間定義為：

而高斯模糊定義為圖像與高斯分布做卷積：

其中r是模糊半徑，r2=x2+y2，σ是正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差。

3 頻域恢復(fù)

圖像恢復(fù)處理的關(guān)鍵在于建立退化模型。輸入圖像f (x，y)，經(jīng)過某個(gè)退化系統(tǒng)后輸出的是一幅退化的圖像。為了討論方便，把噪聲引起的退出即噪聲對(duì)圖像的影響一般作為加性噪聲考慮，這也與許多實(shí)際應(yīng)用情況一致，如圖像數(shù)字化時(shí)的量化噪聲、隨機(jī)噪聲等就可以作為加性噪聲，即使不是加性噪聲而是乘性噪聲，也可以用對(duì)數(shù)方式將其轉(zhuǎn)化為相加形式。

原始圖像f(x，y)經(jīng)過一個(gè)退化算子或退化系統(tǒng)h(x，y)的作用，再和噪聲n(x，y)進(jìn)行疊加，形成退化后的圖像g(x，y)。

圖1為退化過程的輸入和輸出的關(guān)系，其中h(x，y)概括了退化系統(tǒng)的物理過程，就是所要尋找的退化數(shù)學(xué)模型。

圖1 圖像的退化模型

根據(jù)退化圖像g(x，y)和退化算子h(x，y)的形式，逆向地尋找原始圖像f(x，y)的最佳近似估計(jì)。圖像退化的過程可以用數(shù)學(xué)表達(dá)式寫成如下的形式：

在頻域上，上式可以寫成：

其中，G(u，v)、F(u，v)、N(u，v)分別是退化圖像g(x，y)、源圖像f(x，y)、噪聲信號(hào)n(x，y)的傅里葉變換；H(u，v)是h(x，y)的傅里葉變換，稱為光學(xué)系統(tǒng)在頻域上的傳遞函數(shù)。

兩式是連續(xù)函數(shù)的退化模型?？梢?，圖像復(fù)原實(shí)際上就是已知g(x，y)求f(x，y)的問題或已知G(u，v)求F(u，v)的問題，它們的不同之處在于一個(gè)是在空域，一個(gè)是在頻域。本文則只在頻域上討論。

3.1 逆濾波恢復(fù)

逆濾波是一種簡(jiǎn)單直接的無約束圖像恢復(fù)方法。無約束恢復(fù)方法僅將圖像看作一個(gè)數(shù)字矩陣，從數(shù)學(xué)角度進(jìn)行處理而不考率恢復(fù)后圖像應(yīng)受到的物理約束。

在對(duì)n沒有任何先驗(yàn)知識(shí)的情況下，圖像恢復(fù)可描述為尋找一個(gè)原始圖像f的估計(jì)?，使?在最小均方誤差的意義下最接近退化圖像g，即要使n的范數(shù)最小。

這里只需要將L(f?)對(duì) f?求微分并將結(jié)果設(shè)為0，再設(shè)H-1存在，就可得到無約束恢復(fù)公式。

該式表明，用退化系統(tǒng)矩陣的逆來左乘退化圖像就可以得到原始圖像f的估計(jì) f?。下面轉(zhuǎn)到頻率域中討論。先不考慮噪聲，根據(jù)式(3.2)，如果用退化函數(shù)來除退化圖像的傅里葉變換，便可以得到一個(gè)對(duì)原始圖像的傅里葉變換的估計(jì)。

上式常稱為逆濾波。如果把H(u，v)看作一個(gè)濾波函數(shù)，則它與F(u，v)的乘積是退化圖像g(x，y)的傅里葉變換。這樣用H(u，v)去除G(u，v))就是一個(gè)逆濾波過程。將式(3.1.5)的結(jié)果求反變換就得到恢復(fù)后的圖像

實(shí)際中，噪聲是不可避免的?？紤]噪聲后的逆濾波形式為

由式(3.1.7)可看出兩個(gè)問題。首先因?yàn)镹(u，v)是隨機(jī)的，所以即便知道了退化函數(shù)，也不能精確地恢復(fù)原始圖像。其次，如果H(u，v)在UV平面上取0或很小的值，N(u，v)/ H(u，v))就會(huì)使恢復(fù)結(jié)果與預(yù)期的結(jié)果有很大差距。實(shí)際中，一般H(u，v)隨(u，v)與原點(diǎn)距離的增加而迅速減小，而噪聲N (u，v)卻變化緩慢。在這種情況下，恢復(fù)只能在距原點(diǎn)較近的范圍內(nèi)進(jìn)行。換句話說，一般情況下逆濾波器并不正好是1/ H(u，v)，而是u和v的某個(gè)函數(shù)，可記為M(u，v)。M(u，v)常稱為恢復(fù)轉(zhuǎn)移函數(shù)，這樣圖像退化和恢復(fù)模型可用圖2表示。

圖2 圖像退化和恢復(fù)模型

一種常見的方法是取M(u,v)為如下函數(shù)：

其中w0的選取原則是將H(u，v)為0的點(diǎn)除去。這種方法的缺點(diǎn)是恢復(fù)結(jié)果的振鈴效應(yīng)較明顯。一種改進(jìn)的方法是取M(u，v)為：

其中k和d均為小于1的常數(shù)。d選的較小為好。

3.2 維納濾波恢復(fù)

3.2.1 有約束恢復(fù)

與逆濾波這樣的無約束恢復(fù)方法不同，有約束恢復(fù)的方法還考慮到恢復(fù)后的圖像應(yīng)該受到一定的物理約束，如在空間上比較平滑，其灰度值為正等。

與式(3.1.4)相似可得有約束恢復(fù)公式(令s=1/l)

3.2.2 維納濾波器

維納濾波器是一種最小均方誤差濾波器。它可以從式(3.1.4)推出。

在頻率域中，有約束恢復(fù)的一般公式可寫成如下形式

其中Sf(u，v)和Sn(u，v)分別為原始圖像和噪聲的相關(guān)矩陣元素的傅里葉變換。

這里有幾種情況：

① 如果s=1，大方括號(hào)中的項(xiàng)就是維納濾波器；

② 如果s是變量，就稱為參數(shù)維納濾波器；

③ 當(dāng)沒有噪聲時(shí)，Sn(u，v)，維納濾波器退化成理想逆濾波器。

當(dāng)Sf(u，v)和Sn(u，v)未知時(shí)，式(3.2.3)可用下式來近似(其中K是一個(gè)預(yù)先設(shè)定的常數(shù))

3.3 有約束最小平方恢復(fù)

維納濾波的方法是一種統(tǒng)計(jì)方法。它用的最優(yōu)準(zhǔn)則基于圖像和噪聲各自的相關(guān)矩陣，所以由此得到的結(jié)果只是在平均意義上最優(yōu)。有約束最小平方恢復(fù)方法只需有關(guān)噪聲均值和方差的知識(shí)就可對(duì)每個(gè)給定圖像得到最優(yōu)結(jié)果。

有約束最小平方恢復(fù)方法也從式(3.2.2)出發(fā)，所以問題還是要確定變換矩陣Q。首先注意到式(3.1.4)實(shí)際是一個(gè)病態(tài)方程，所以有時(shí)解的振蕩會(huì)很厲害。一種減小振蕩的方法是建立基于平滑測(cè)度的最優(yōu)準(zhǔn)則，例如可最小化某些二階微分的函數(shù)。f(x，y)在(x，y)處的二階微分可用下式近似：

上式二階微分可用f(x,y)與下面的算子卷積得到：

有一種基于這種二階微分函數(shù)的最優(yōu)準(zhǔn)則是：

這里為避免重疊誤差，可將p(x，y)擴(kuò)展為：

若要求滿足一下約束：

那么最優(yōu)解可表示為：

如將上式兩邊都左乘以W-1，得到：

可以導(dǎo)出下式：

上式與維納濾波器有些相似，主要區(qū)別是這里除了對(duì)噪聲均值和方差的估計(jì)外不需要對(duì)其他統(tǒng)計(jì)參數(shù)的知識(shí)。

式(3.3.8)表明需要調(diào)節(jié)s以滿足約束式，所以只有當(dāng)S滿足這個(gè)條件時(shí)，式(3.3.8)才能達(dá)到最優(yōu)。下面介紹一種估計(jì)s的方法。首先定義一個(gè)殘差矢量r：

r是s的函數(shù)，這里希望調(diào)節(jié)s以滿足：

這里a是一個(gè)準(zhǔn)確度系數(shù)。如果‖‖r2=‖‖n2，則約束式()嚴(yán)格滿足。一個(gè)簡(jiǎn)單的尋找滿足式的s的方法是：

(1)賦給s某個(gè)初始值；

(2)計(jì)算 f?和‖‖r2；

(3)如果滿足式(3.3.10)，停止計(jì)算；否則就增加s(如果‖‖r2＜‖‖n2-a)或減少s(如果‖‖r2＞‖‖n2+a)，然后返回(2)，用新的s值根據(jù)式(3.3.8)獲得F?(u,v)，在求其反傅里葉變換得到f?后繼續(xù)計(jì)算。

為利用上面的過程進(jìn)行有約束最小平方恢復(fù)需要確定‖‖r2和‖‖n2。首先，根據(jù)殘差矢量r的定義式(3.3.9)，利用傅里葉變換得到：

計(jì)算出R(u，v)后在求傅里葉反變換可得到r(x,y)，由r(x,y)可計(jì)算‖‖r2：

下面考慮計(jì)算‖‖n2。先計(jì)算整幅圖的噪聲方差，它可用采樣平均的方法來估計(jì)：

其中：

參照式(3.3.12)，可知式(3.3.13)的雙重求和就等于‖‖n2，所以有：

3.4 算法仿真效果及分析

對(duì)圖像進(jìn)行不同模板大小，標(biāo)準(zhǔn)差為10的高斯卷積，再加入高斯噪聲。分別用逆濾波、維納濾波和有約束最小二乘對(duì)降質(zhì)圖像進(jìn)行恢復(fù)。由于篇幅限制，本文只展示維納濾波和有約束最小二乘恢復(fù)濾波的部分處理效果(見圖3)，更詳細(xì)的處理情況可以參照表1。

圖3 幾種圖像頻率恢復(fù)結(jié)果

從上面幾幅圖像可以看出最小平方恢復(fù)最能夠有效地提高模糊圖像的清晰度，而振鈴效應(yīng)也相對(duì)較小。

表1 幾種濾波的性能比較

上述表明，三種頻域恢復(fù)，當(dāng)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)半徑不太大的時(shí)候，有約束最小二乘方法對(duì)降質(zhì)圖像的恢復(fù)效果最明顯。

4 總結(jié)

本文主要從高斯模糊對(duì)降質(zhì)圖像進(jìn)行分析，包括對(duì)點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)的研究，尤其是對(duì)高斯模糊的研究。針對(duì)影響圖像質(zhì)量的因素，分別對(duì)空域和頻域的方法進(jìn)行了解，從中引出頻率恢復(fù)方法——逆濾波器、維納濾波器和有約束最小二乘恢復(fù)。對(duì)于這三種頻域恢復(fù)方法，都詳細(xì)地分析了它們的原理，并進(jìn)行恢復(fù)效果的比較。

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Analysis of Basic Restoration to Deblured Images in Frequency Domain

Zheng Zhongjie1Li Zhan2
(1.Guangdong University of Petrochemical Technology,Maoming 525000,Guangdong; 2.Jinan University,Guangzhou 510632,Guangdong)

act】Image restoration in frequency-domain is an important research direction in image deblurring,which has widespread applications and marketing space in real life.This research focuses on analyzing common Gaussian blur.To eliminate it,inverse filtering,Wiener filtering and least square filtering in frequency domain are used.And last,comparison is made through experiments.

image restoration;Gaussian blur;frequency domain restoration

TP391.41

A

1008-6609(2015)03-0085-04

鄭中杰，男，廣東茂名人，碩士研究生，助教，研究方向：圖像處理。