基于lyapunov指數(shù)的股票市場混沌性研究

周揚

摘要： 金融市場本身是一個“復(fù)雜系統(tǒng)”，它以一種非線性的方式對外界的作用做出反應(yīng)。因而，金融市場會隨著時間的變化改變自身的發(fā)展規(guī)律。隨著外部環(huán)境的作用，金融市場會從一個穩(wěn)定而有序的模式逐漸的陷入混沌之中，然后通過內(nèi)部的相互作用達到平衡或者是產(chǎn)生金融危機。本文通過分析上證指數(shù)數(shù)據(jù)利用lyapunov指數(shù)來判斷股票市場中是否存在混沌性，進而判斷金融市場中是否存在混沌現(xiàn)象。對能否對股票市場進行預(yù)測提供理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞： 混沌；lyapunov指數(shù)；重構(gòu)相空間；wolf方法

一、引言

金融市場本質(zhì)上是一個開放型的復(fù)雜系統(tǒng)，而金融危機是金融市場混沌特征的一種表現(xiàn)，其爆發(fā)根本原因在于以有效市場、隨機游走與理性投資等線性范式假設(shè)為前提的，并且認為金融市場所呈現(xiàn)出來的特征是各個部分特征的簡單相加；另一方面，這些方法采用的是靜態(tài)均衡的觀點去解決金融市場問題，因而當(dāng)市場的外部環(huán)境發(fā)生變化時，先前制定的解決方法極有可能成為解決問題的阻礙[1]。因此，經(jīng)典金融學(xué)理論在認識金融市場的本質(zhì)規(guī)律、提供有效的風(fēng)險控制方法的思路存在許多局限性。

因此，要想從根本上解決這個問題，我們要首先認識到金融市場本身作為一個“復(fù)雜系統(tǒng)”，它具有一種演化特征的非線性的方式對外界的作用做出反應(yīng)。因而，金融市場會隨著時間的演化而改變自身的發(fā)展規(guī)律。隨著外部環(huán)境的不斷變化，金融市場將會從一個穩(wěn)定而有序的模式逐漸的陷入混沌之中，然后通過內(nèi)部的相互作用達到平衡或者是產(chǎn)生金融危機。

因此，單刀直入的直接研究金融市場的非線性特征往往會為解決根本問題提供思路。因此，這篇論文的主要目的就在于，通過研究金融市場的一個指標(biāo)——上證指數(shù)，利用lyapunov指數(shù)來判斷金融市場本身是否具有混沌的特性。如果其具有這樣的一種特性，那么我們必須從這方面著手，研究金融市場的混沌特征。從而找到金融市場的內(nèi)部規(guī)律。

（一）研究方法

要想研究金融市場的混沌特性，我們以股票市場為例，選取了上證指數(shù)作為研究混沌現(xiàn)象的指標(biāo)，利用lyapunov指數(shù)來判斷指標(biāo)是否具有混沌的特征。本文首先表述了混沌時間序列分析的主要研究方法：重構(gòu)相空間的方法，這種方法能夠重構(gòu)高維相空間中的混沌吸引子，構(gòu)造完成之后，我們就可以恢復(fù)時間序列數(shù)據(jù)的非線性特征。重構(gòu)相空間需要知道時間序列數(shù)據(jù)的嵌入維數(shù)與延遲時間，我們分別利用了自相關(guān)函數(shù)法計算出序列的延遲時間以及利用Cao方法計算出時間序列的嵌入維數(shù)。利用構(gòu)造好之后的相空間，我們就可以求得時間序列的lyapunov指數(shù)，根據(jù)lyapunov指數(shù)的大小判斷上證指數(shù)的波動性是否具有混沌的特征。

二、理論依據(jù)

（一）重構(gòu)相空間

為了恢復(fù)“混沌吸引子”，我們需要做的第一件是是“重構(gòu)相空間”。所謂“混沌吸引子”，本身指的就是混沌系統(tǒng)具有某種規(guī)律性，它既不向一點靠近，也不遠離這一點，而是在一定的軌道內(nèi)變化。該混沌系統(tǒng)的一部分的演化過程與其他部分有著密切的聯(lián)系。每一部分的信息都包含在另一部分的發(fā)展之中。這樣，我們就可以從某一部分的時間序列數(shù)據(jù)中得到并模擬該混沌系統(tǒng)的規(guī)律?？梢赃@樣說，一個混沌系統(tǒng)的軌道經(jīng)過一定時間的變動，最終會產(chǎn)生一種有規(guī)則的軌道，這也就是“混沌吸引子”。但是這種軌道在轉(zhuǎn)化成時間序列時表現(xiàn)出一種復(fù)雜并且混亂的特征。因為混沌系統(tǒng)的各個部分之間是相互影響的，在時間序列上產(chǎn)生的數(shù)據(jù)也具有相關(guān)性的特征。[2] 我們利用Packad等人的坐標(biāo)延遲相空間重構(gòu)法，對于一維時間序列[WTBX]

{x（t）}，t=1，2，…，N可以構(gòu)造m維的向量

Xn={x（n），x（n+τ），…，x（n+（m-1）τ）}，

n=1，2，…，N-m-1）τ

其中：m為嵌入維數(shù)，τ為延遲時間。相空間重構(gòu)的關(guān)鍵在于嵌入維數(shù)與延遲時間的確定。Takens定理[3]表明：我們可以從一個一維混沌時間序列中模擬一個與原來的動力系統(tǒng)在拓撲意義下相同的相空間，這樣就可以模擬時間序列的規(guī)律?；煦鐣r間序列的性質(zhì)各方面的分析都是基于相空間重構(gòu)之上的，因此，相空間重構(gòu)是混沌時間序列研究的關(guān)鍵。[4]下面我們將討論延遲時間與嵌入維數(shù)的確定方法 。

1延遲時間τ

延遲時間的選擇關(guān)鍵在于使x（n）與x（n+τ）表現(xiàn)出獨立性，但又不能使其在統(tǒng)計學(xué)角度上完全不相關(guān)。確定延遲時間的方法主要有：自相關(guān)函數(shù)法與互信息法。下面我們主要闡述的是自相關(guān)函數(shù)法，因為我們后面也會用到這種方法。

自相關(guān)函數(shù)法[5]主要考察觀測量x（n）與x（n+τ）與平均觀測量的差之間的線性相關(guān)性。其定義用數(shù)學(xué)方法表示為：

C（τ）=[SX（]1/N∑Nn=1（x（x+τ）-x[TX-]）（x（n）-x[TX-]）[]

1/N∑Nn=1（x（n）-x[TX-]）2

[SX）]

其中，x[TX-][SX（]1[]N[SX）]∑Nn=1x（n），一般取自相關(guān)函數(shù)值C（τ）第一次下降到零時的延遲時間作為相空間重構(gòu)的最佳延遲時間。

2嵌入維數(shù)m[WTBZ]