神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輔助的GPS/INS組合導(dǎo)航自適應(yīng)UKF算法

譚興龍，王 堅，趙長勝

1.江蘇師范大學(xué)測繪學(xué)院，江蘇 徐州221116；2.中國礦業(yè)大學(xué)環(huán)境與測繪學(xué)院，江蘇 徐州221116

1 前 言

由于難以得到GPS/INS組合系統(tǒng)中目標狀態(tài)后驗概率密度函數(shù)的完整描述，為實現(xiàn)最優(yōu)非線性濾波，常采用次優(yōu)近似的估計方法［1－5］。擴展卡爾曼濾波（extended Kalman filter，EKF）是一種函數(shù)近似法。其基本思想是圍繞狀態(tài)估值對非線性模型進行一階Taylor展開，再結(jié)合經(jīng)典的卡爾曼濾波進行估計，算法簡單易實現(xiàn)［6－8］。但線性化引起的高階項截斷誤差會降低濾波器的精度，且需要計算非線性函數(shù)的雅克比矩陣。不敏卡爾曼濾波（unscented Kalman filter，UKF）和粒子濾波（particle filter，PF）屬于基于采樣的近似估計算法。其中PF會隨機產(chǎn)生大量粒子，計算量龐大、實時性較差［9］。UKF采用確定的樣本點，通過樣本點逼近狀態(tài)向量后驗概率密度函數(shù)的均值和協(xié)方差，避免了由線性化導(dǎo)致的跟蹤誤差，濾波解精度較高，實時性優(yōu)于前者［10－11］。

GPS/INS組合導(dǎo)航非線性系統(tǒng)中，系統(tǒng)噪聲相關(guān)信息的不確定性以及狀態(tài)模型擾動異常等都會影響UKF濾波解的精度。為此，文獻［12］提出采用預(yù)測殘差向量協(xié)方差矩陣構(gòu)造最優(yōu)自適應(yīng)因子算法；文獻［13—14］采用方差膨脹的原則將自適應(yīng)因子引入卡爾曼濾波；文獻［15］基于部分狀態(tài)不符值來構(gòu)造自適應(yīng)因子，降低狀態(tài)異常的權(quán)值。但每一個狀態(tài)的異常程度不同，單一的自適應(yīng)因子不能精確地修正所有狀態(tài)異常。文獻［16］采用整體異常檢驗判斷是否存在異常，利用支持向量回歸算法預(yù)測次優(yōu)觀測值輔助自適應(yīng)濾波算法。文獻［17］基于假設(shè)檢驗構(gòu)造多重漸消卡爾曼濾波。文獻［18］提出多重衰減因子自適應(yīng)估計卡爾曼濾波方法，對系統(tǒng)每個誤差狀態(tài)估計進行控制，提高濾波器的估計性能。文獻［19—20］基于相關(guān)觀測值的雙因子抗差估計理論提出多因子自適應(yīng)估計算法。文獻［21］利用開窗法計算新息序列協(xié)方差的無偏估計獲得漸消因子矩陣，對不同的濾波通道提供不同的漸消速率。文獻［22］利用卡爾曼濾波取得最佳增益時殘差序列互不相關(guān)，在線自適應(yīng)地調(diào)整多個漸消因子，提高濾波性能。

以上多漸消因子自適應(yīng)濾波大都基于假設(shè)檢驗和數(shù)理統(tǒng)計，其理論前提是殘差向量符合高斯白噪聲的數(shù)字特征分布。而實際導(dǎo)航中，殘差向量常受到粗差或系統(tǒng)誤差影響失去其高斯白噪聲的數(shù)字特征分布?；诖?，本文在標準UKF算法的基礎(chǔ)上，結(jié)合徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)（radial basis function neural network，RBFNN）算法、多重漸消因子（multiple fading factors，MF）和奇異值分解（singular value decomposition，SVD），提出一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輔助的多重漸消因子自適應(yīng)SVD－UKF算法。

2 基于多重漸消因子的GPS/INS組合系統(tǒng)自適應(yīng)SVD－UKF算法

以北東地（north－east－down，NED）為導(dǎo)航坐標系，取GPS/INS組合導(dǎo)航系統(tǒng)狀態(tài)參數(shù)15維，分別為位置、速度、姿態(tài)誤差以及陀螺儀和加速度計分別在三軸上的漂移。根據(jù)INS誤差方程，結(jié)合GPS和INS在導(dǎo)航系下的位置和速度差，構(gòu)造GPS/INS組合系統(tǒng)的狀態(tài)方程和觀測方程［23］

式中，xk和xk－1分別為k和k－1時刻的狀態(tài)向量；yk為觀測向量；f（·）為狀態(tài)模型；h（·）為觀測模型；wk為系統(tǒng)噪聲向量；vk觀測噪聲向量；wk、vk為高斯白噪聲且對應(yīng)方差分別為Qk、Rk。則SVD－UKF算法計算步驟如下。

2.1 SVD－UKF算法

2.1.1 狀態(tài)參數(shù)初始化

2.1.2 計算Sigma點

Sigma點采樣策略是UKF算法的關(guān)鍵，要求其在抓住輸入變量x的分布特征的同時，又能使逼近輸出性能指標的代價函數(shù)達到最小。受觀測條件和模型擾動影響，當方差矩陣失去對稱正定性時，傳統(tǒng)UT變換中的Cholesky分解算法無法對Sigma點進行取樣，導(dǎo)致程序中斷，穩(wěn)定性差，而SVD算法則可解決上述難點，性能優(yōu)于前者。為抑制方差矩陣負定性變化，采用基于SVD分解的對稱采樣策略，即對于均值為，方差為Pk－1∈Rm×m的m維隨機變量xk－1，產(chǎn)生的2m＋1個列向量χk－1（Sigma點）為

式中，Sk－1＝diag（s1，s2，…，sr），s1≥s2≥…≥sr≥0，s1、s2、…、sr為矩陣Pk－1的奇異值；r為Pk－1的秩；Uk－1、Tk－1的列向量分別為Pk－1的左右奇異向量；χk－1∈Rm×（2m＋1）為Sigma點；m為狀態(tài)參數(shù)個數(shù)；λ＝α2（m＋κ）－m為尺度因子；κ為常數(shù)，設(shè)置為0或3－m；α為Sigma點到的距離，一般取10－4≤α≤1。各個Sigma點權(quán)值為

2.1.3 時間更新

2.1.4 測量更新

2.1.5 濾波更新

式中，Kk為增益矩陣為估計狀態(tài)；Pk為估計狀態(tài)協(xié)方差矩陣。

2.2 多重漸消因子

根據(jù)式（1）和式（6），預(yù)測殘差向量為Vk＝，在濾波器穩(wěn)定狀態(tài)條件下Vk～N（0，Pyy），因此有

γk為服從自由度為m的χ2分布，構(gòu)建以下假設(shè)檢驗判決函數(shù)

式中，ξ為假設(shè)檢驗的比例因子；檢驗門限ε由設(shè)置的置信水平借助χ2分布表取值。

若判決函數(shù)被拒絕，則認為濾波器存在異常，采用多重漸消因子σi控制殘差向量中的異常值。令Vi，k為殘差向量Vk中的第i個元素，Aii為矩陣對角線中第i個元素，Bii為矩陣Rk對角線中第i個元素，此時根據(jù)式（6）和式（8）有

根據(jù)式（9），若要濾波器正常，則

由于漸消因子需大于等于1，因此

令多重漸消因子σ＝diag（σ1，σ2，…，σn），σ′＝diag（σ1，σ2，…，σn，1，1，…，1），n為觀測值個數(shù)。此時，SVD－UKF算 法中Pyy、Pxy、Pk更新如式（13）所示

需要指出的是，基于多重漸消因子的自適應(yīng)濾波算法的理論前提是預(yù)測殘差向量符合均值為零的高斯白噪聲。而當GPS觀測向量中含有觀測粗差或系統(tǒng)誤差時，會嚴重影響預(yù)測殘差向量的數(shù)字分布特征，導(dǎo)致算法失效。

3 RBFNN輔助多重漸消因子自適應(yīng)濾波

3.1 徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)原理

RBFNN為兩層的前饋網(wǎng)絡(luò)，輸入層和輸出層由線性神經(jīng)元組成，通過隱層節(jié)點核函數(shù)對輸入矢量產(chǎn)生局部響應(yīng)，輸出層對隱層節(jié)點的輸出線性加權(quán)，從而實現(xiàn)輸入空間到輸出空間的映射，使整個網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)函數(shù)逼近和回歸［24］。本文中RBFNN的隱層節(jié)點中的基函數(shù)采用高斯核函數(shù)，則有

式中，Ψk（xi）為隱層的第k個隱節(jié)點的輸出，xi為第i個輸入矢量；Ck為第k個隱節(jié)點的中心；σk為第k個隱節(jié)點的寬度；j為隱節(jié)點個數(shù)。則徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的輸出為

式中，yi為第i個輸入矢量；ωk為輸出層與隱層第k個節(jié)點間的連接權(quán)值；l為總樣本數(shù)。

值得注意的是模型參數(shù)選取決定擬合效果，文中采用最近鄰聚類學(xué)習(xí)算法確定隱節(jié)點個數(shù)及核函數(shù)中心，基于最小二乘算法求解網(wǎng)絡(luò)的連接權(quán)值，采用遺傳算法計算最優(yōu)核函數(shù)隱節(jié)點的寬度。

3.2 RBFNN輔助自適應(yīng)算法模型

鑒于RBFNN具有較強的非線性映射能力，能以任意精度全局逼近一個非線性函數(shù)，且運算速度快，文中采用RBFNN算法削弱觀測向量中的粗差或系統(tǒng)誤差對預(yù)測殘差向量的影響。由于等歷元時間間隔內(nèi)GPS觀測值的位移和速度增量與前一時刻系統(tǒng)速度、姿態(tài)、INS系統(tǒng)在該時間間隔內(nèi)的加速度和角速度增量存在某種非線性關(guān)系［25］，基于RBFNN算法建立這種非線性模型的映射關(guān)系。當組合系統(tǒng)存在異常時，利用訓(xùn)練好的映射模型預(yù)測出下一時刻的近似觀測值，削弱可能存在的觀測異常，再基于多重漸消因子的自適應(yīng)SVD－UKF算法消除潛在的狀態(tài)異常，達到提高組合系統(tǒng)導(dǎo)航解可靠性和精度的目的。技術(shù)路線如圖1所示，具體步驟如下：

步驟1：基于SVD－UKF算法對k時刻的輸入的GPS/INS數(shù)據(jù)進行時間和測量更新，通過判決函數(shù)判斷預(yù)測殘差向量是否存在異常。

步驟2：若判決函數(shù)被接受，則認為系統(tǒng)無異常，濾波更新后計算導(dǎo)航解。

步驟3：將k－1時刻導(dǎo)航解中的速度、姿態(tài)、k時刻加速度和角速度增量作為輸入，k時刻觀測值的位移和速度增量作輸出，進行RBFNN訓(xùn)練后，轉(zhuǎn)到步驟1計算k＋1時刻。

步驟4：若判決函數(shù)被拒絕，則認為系統(tǒng)存在異常，則認為觀測異常或動力學(xué)異常至少存在一項，基于已訓(xùn)練出的映射模型和k－1時刻導(dǎo)航解中的速度、姿態(tài)、k時刻加速度和角速度增量作為輸入，預(yù)測出k時刻觀測值代替原觀測值進行測量更新（削弱潛在的觀測異常），計算多重漸消因子（削弱潛在的狀態(tài)異常），進行濾波更新計算出k時刻的導(dǎo)航解，轉(zhuǎn)到步驟3。

圖1 RBFNN輔助多重漸消自適應(yīng)SVD－UKF算法Fig.1 RBFNN aided multiple fading factors in adaptive SVD－UKF algorithm

4 計算與分析

儀器采用Leica 1200Base ＆Rover GPS System和SPAN－CPT，采集2166sGPS－RKT（1Hz）和IMU（200Hz）實測數(shù)據(jù)。設(shè)GPS－RTK測量值在緯度、經(jīng)度和高程方向位置中誤差分別為0.1m、0.1m 和0.3m，速度中誤差分別為0.04m/s、0.04m/s和0.08m/s；INS北東地初始位置誤差分別為1m、1m和2m；北東地初始速度為0.5m/s；俯仰翻滾和航向初始姿態(tài)誤差分別為1°、1°和3°；陀螺漂移和加速度偏置誤差分別為5°/h和50μg；陀螺儀和加速度相關(guān)時間分別為100s和60s。采用后處理計算導(dǎo)航解驗證提出的算法。

4.1 預(yù)測殘差向量數(shù)字特征分析

預(yù)測殘差向量為均值等于零的高斯白噪聲，是構(gòu)建文中多漸消因子的前提條件。基于SVD－UKF算法，圖2為位置和速度預(yù)測殘差向量的自相關(guān)函數(shù)（非偏估計）及其對應(yīng)的概率密度函數(shù)。結(jié)果顯示：①預(yù)測殘差序列的自相關(guān)函數(shù)中，延遲為零時，緯度、經(jīng)度和高程方向的殘差自相關(guān)系數(shù)分別0.01m2/s、0.01m2/s、0.1m2/s，速度北東地方向的殘差自相關(guān)系數(shù)分別0.001m2/s3、0.001m2/s3、0.003m2/s3，數(shù)值上約為預(yù)設(shè)GPS觀測中誤差的二次方，與實際相符；②從預(yù)測殘差向量的概率密度函數(shù)中可以看出，預(yù)測殘差隨機變量符合高斯分布；③二者皆服從本文多重漸消因子自適應(yīng)SVD－UKF濾波的理論前提。

圖2 預(yù)測殘差向量自相關(guān)函數(shù)與概率密度函數(shù)Fig.2 Autocorrelation functions and probability density functions of the predicted residual vectors

為驗證觀測值含粗差時預(yù)測殘差向量的數(shù)字特征，選取觀測質(zhì)量較好的600～800s實測數(shù)據(jù)進行分析，在GPS觀測值緯度方向每間隔20s加入均值為3m、中誤差0.1m的觀測粗差；在速度東方向每間隔20s加入均值為0.3m/s、中誤差0.01m/s的觀測粗差。圖3為加入觀測粗差后，采用SVD－UKF算法，緯度和速度東方向預(yù)測殘差向量的自相關(guān)函數(shù)（非偏估計）與概率密度函數(shù)。從圖中可以看出：①觀測值含有粗差或系統(tǒng)誤差時，觀測新息的預(yù)測殘差向量的具有較強的相關(guān)性，不符合白噪聲的特征分布；②緯度方向和速度東方向上的預(yù)測殘差向量分別在3m、0.3m/s處存在較突出的概率密度分布（箭頭處），與所加觀測粗差一致，不符合高斯白噪聲的零均值正態(tài)分布。

為驗證多重漸消因子自適應(yīng)效果，在上述的試驗樣本中，載體坐標系Z方向上INS輸出比力再加入N（0，2）的隨機誤差。圖4為速度地方向加入狀態(tài)異常、緯度和速度東方向加入觀測粗差后的多重漸消因子。圖中可以看出：①速度地方向的漸消因子由所加入的狀態(tài)異常導(dǎo)致，該漸消因子可以合理調(diào)節(jié)該處的狀態(tài)方差，削弱此異常狀態(tài)對導(dǎo)航解的貢獻；②緯度和速度北方向未出現(xiàn)異常，高程方向存在較小的異常由GPS高程方向精度較弱導(dǎo)致；③緯度和速度東方向的漸消因子由觀測粗差導(dǎo)致，該漸消因子錯誤地將觀測粗差歸結(jié)到狀態(tài)異常，進一步放大了觀測粗差對導(dǎo)航解的影響。

圖3 預(yù)測殘差自相關(guān)函數(shù)與概率密度函數(shù)（含觀測粗差）Fig.3 Autocorrelation functions and probability density（observation abnormalities contained）

圖4 多重漸消因子（含觀測粗差和狀態(tài)異常）Fig.4 Multiple fading factors（observation and state abnormalities contained）

4.2 RBFNN輔助多重漸消因子自適應(yīng)SVD－UKF算法分析

當觀測值含有粗差或系統(tǒng)誤差時，預(yù)測殘差向量為有色噪聲，多漸消因子自適應(yīng)算法失去了應(yīng)用的理論前提。為削弱觀測向量中有色噪聲的影響，采用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法預(yù)測次優(yōu)觀測值代替觀測粗差。以200～600s數(shù)據(jù)作為訓(xùn)練樣本（INS速度、姿態(tài)、加速度增量、姿態(tài)增量為訓(xùn)練輸入，GPS位置增量為訓(xùn)練輸出），構(gòu)建回歸模型。圖5為采用徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法對緯度坐標增量和速度東方向增量的訓(xùn)練及預(yù)測結(jié)果。其中，緯度方向訓(xùn)練、預(yù)測中誤差分別為0.068m、0.16m；速度東方向訓(xùn)練、預(yù)測中誤差分別為1.48e－4m/s、2.43e－4m/s。可以看出該算法在位置和速度上預(yù)測誤差約為訓(xùn)練誤差的2倍，位置和速度都可以獲得較高精度。

利用SVD－UKF算法解算不含觀測粗差和狀態(tài)異常原始觀測值，以解算出的車載組合系統(tǒng)的導(dǎo)航解作為真值。圖6為采用標準SVD－UKF算法（SVD－UKF）、多重漸消因子自適應(yīng)SVD－UKF算法（MFUKF）、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輔助的多重漸消因子自適應(yīng)SVD－UKF算法（NNMFUKF），對速度地方向含狀態(tài)異常、緯度和速度東方向含觀測粗差的600～800s數(shù)據(jù)進行解算的誤差圖。表1為圖6的統(tǒng)計結(jié)果。可以看出：①對標準SVDUKF算法而言，由于INS短時精度高，INS結(jié)果在濾波器中對導(dǎo)航解的貢獻較大，因而高程方向上存在的狀態(tài)異常引起導(dǎo)航解誤差較大，緯度和速度東方向存在觀測粗差對導(dǎo)航解影響較?。虎诙嘀貪u消因子自適應(yīng)算法可以單獨調(diào)整每個濾波通道，較好地消除了高程方向狀態(tài)異常，但當觀測值含粗差時會擴大觀測粗差對導(dǎo)航解的貢獻；③神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)輔助的多重漸消因子自適應(yīng)SVDUKF算法即能同時消除觀測粗差和狀態(tài)異常對導(dǎo)航解的貢獻。

表1 3種算法誤差統(tǒng)計Tab.1 Errors statistics comparison of the three algorithms

分析上述結(jié)果可以看出：①當觀測向量不受粗差或系統(tǒng)誤差影響時，預(yù)測殘差向量符合高斯白噪聲的數(shù)字特征分布，將漸消因子引入SVDUKF算法中，能夠準確消除各狀態(tài)中不同幅度的異常，提高了導(dǎo)航解精度；②當觀測向量受粗差或系統(tǒng)誤差影響時，基于徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的多重漸消因子自適應(yīng)SVD－UKF算法可以同時削弱觀測粗差、消除系統(tǒng)狀態(tài)異常，提高了濾波器導(dǎo)航解的可靠性。

5 結(jié) 論

UKF算法采用確定性采樣策略逼近非線性分布，具有精度高、計算簡單、不需計算雅可比矩陣等優(yōu)點，將其引入GPS/INS組合導(dǎo)航非線性系統(tǒng)計算導(dǎo)航解，采用SVD分解代替?zhèn)鹘y(tǒng)的UT算法，抑制先驗協(xié)方差矩陣負定性變化，提高了濾波算法中的數(shù)值穩(wěn)定性。通過理論推導(dǎo)和實測數(shù)據(jù)預(yù)測殘差向量的數(shù)字特征分析，驗證了多重漸消因子用于SVD－UKF自適應(yīng)算法的可行性。引入徑向基神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法削弱觀測異常對預(yù)測殘差向量高斯白噪聲分布特性的影響，拓展了多重漸消自適應(yīng)算法應(yīng)用范圍。使得該算法能在觀測值存在異常的情況下，實現(xiàn)每個濾波通道下不同幅度的自適應(yīng)效果，為GPS/INS組合導(dǎo)航非線性系統(tǒng)次優(yōu)估計算法提供了一種解決思路。

圖5 RBFNN訓(xùn)練及預(yù)測結(jié)果Fig.5 Results of RBFNN trained and predicted data

圖6 3種方案誤差對比（含觀測粗差和狀態(tài)異常）Fig.6 Errors comparison of SVD－UKF，MFUKF and NNMFUKF（observation and state abnormalities contained）

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