聯合使用位模型和地形信息的陸區(qū)航空重力向下延拓方法

黃謨濤，寧津生，歐陽永忠，，鄧凱亮，翟國君，陸秀平，吳太旗

1.海軍海洋測繪研究所，天津300061；2.海軍工程大學導航工程系，湖北 武漢430033；3.武漢大學測繪學院，湖北 武漢430079

1 引 言

自20世紀80年代末由于高精度衛(wèi)星定位系統(tǒng)的發(fā)展，使得航空重力測量技術取得實質性突破以來，航空重力測量數據向下延拓問題一直受到極大的關注，國內外學者為此開展了深入研究并提出了許多不同類型的解算方法，具有代表性的主要有梯度法、最小二乘配置法、FFT法、點質量方法等［1－3］，但目前在實際應用中，大多仍沿用傳統(tǒng)的球面Poisson積分方法解決此問題，即求逆Poisson積分方法，包括不同形式的迭代求解和非迭代求解法［4－5］。文獻［6］研究了航空重力測量數據向不規(guī)則面（包括地面）延拓的可能性，提出了顧及地形高度但無密度假設的向下延拓方法。文獻［7—9］先后提出直接代表法和球內Dirichlet法。但由于重力場向下延拓計算在數學上屬于不適定反問題，其解算過程存在不穩(wěn)定性是該問題本身固有的一種屬性，即很小的觀測噪聲也可能引起模型解嚴重偏離真解［10－11］。因此，無論是早期的逆Poisson積分迭代求解法，還是后期的最小二乘配置法和FFT法，都無法確保向下延拓解算結果是絕對穩(wěn)定有效的。針對此問題，自20世紀末以來，國內外學者的注意力一致投向將正則化方法引入到航空重力測量向下延拓這個典型的不適定反問題解算中來，其研究成果可謂層出不窮［12－19］。但必須指出的是，航空重力測量向下延拓計算結果的有效性不僅取決于解算方法的穩(wěn)定性，同時取決于航空重力觀測數據的噪聲特性［20］。從已有研究成果看，在3km計算高度上，即使采用有針對性的正則化處理方法，向下延拓解算精度一般也只能達到±（3～5）mGal（mGal＝10－5m/s2）的水平［3，9，15，20］。而要想取得這樣的精度，還需要在觀測高度歸一化、觀測數據網格化、邊緣效應處理和模型參數選擇等多個方面作出不懈的努力?？傊F有的航空重力測量向下延拓方法仍需要作進一步的改進和完善。為此，筆者曾從另一角度出發(fā)，提出了一種基于外部數據源、獨立于觀測數據的向下延拓方案［20］。針對海域重力場的變化特點，文獻［20］提出了直接利用超高階重力場模型計算延拓改正數的實用方法，其解算結果的穩(wěn)定性不再受到航空重力觀測噪聲的干擾，突破了向下延拓不適定問題的技術瓶頸，同時顯著簡化了其計算過程和解算難度，取得了較好的解算效果［20］。本文繼續(xù)沿用這種“差分”思路將該方法拓展應用到陸部，提出聯合使用超高階位模型和地形高數據，實施陸部航空重力向下延拓總改正數的計算，以飛行高度面與地面對應點的位模型差分信息表征總改正數的中長波分量，以相對應的局部地形改正差分修正量表征總改正數的中高頻成分，從而實現航空重力數據點對點向地面的全頻段延拓。在地形變化不同區(qū)域，聯合使用EGM2008位模型、地面實測重力和高分辨率高程數據進行了實際數值計算、精度評估和對比分析，證明該方法是可行有效的，具有推廣應用價值。

2 計算模型與適用性分析

2.1 利用位模型和地形信息計算延拓改正數

2.1.1 問題的提出

如引言所述，針對海域重力場的變化特點，筆者已在文獻［20］中提出了直接利用超高階重力場模型計算海域延拓改正數的實用方法。由于EGM2008模型在建模時已經充分利用了當時最好的衛(wèi)星測高數據集［21］，因此在海域使用該模型計算航空重力測量向下延拓改正數，能夠取得較高精度的歸算結果［20］。但在地形變化比較復雜的陸部，EGM2008模型的適用性如何還不得而知。文獻［22］利用我國大陸GPS水準高程異常和地面平均空間重力異常數據，對EGM2008模型在我國陸部的符合度進行了評估，本文利用多個部門在我國及鄰近海域測量獲得的1500多萬個船測重力數據，對EGM2008位模型進行了外部檢核，現將兩部分比對結果匯總于表1。

表1 EGM2008模型與船測重力點值和陸部平均重力對比Tab.1 Differences of EGM2008gravity anomalies and the measurements mGal

從表1比對結果可以看出，EGM2008模型對我國海域重力場的逼近度較高，已接近于我國現役航空重力儀的測量精度水平（±（3～5）mGal）［23－24］，而在表征我國大陸地區(qū)5′×5′重力異常方面，盡管與EGM96相比，EGM2008模型的逼近度已經有了較大幅度的提高，但比對誤差仍超過±10mGal。此結果說明，在我國陸部單純使用位模型計算延拓改正數，不會取得理想的結果，在地形變化比較劇烈的山區(qū)，情況更是如此。為了改善位模型延拓改正數的計算精度，必須考慮在原有基礎上增加陸部重力場高頻信息的作用。地形是一種可見的重力場高頻信息，在局部范圍內，空間重力異常與地形的相關度可達0.95以上［8］。因此，聯合利用位模型和地形信息確定延拓改正數，成為本文研究思路的基本出發(fā)點。

2.1.2 基于差分局部地形改正的延拓歸算模型

由高等物理大地測量學得知［5］，Molodensky邊值問題解是通過計算G1、G2、G3、…各項改正來顧及地球表面形態(tài)變化的。在Bjerhammar邊值理論中，地形質量影響則是通過解析延拓手段間接轉移到等效重力異?；蛱摂M點質量上來的。文獻［4—5］將G1分解為兩項G1＝G11＋G12，同時證明了G11正好是將地面重力異?！把油亍钡胶Ｆ矫娴目臻g改正，而G12的Stokes積分又相當于從海平面“回到”地面的高程異常改正［25］。當重力異常與地形高度呈線性相關時，可證明局部地形改正C和G1項改正是近似等價的。以上情況說明，局部地形改正是表征地球重力場高頻信息的一類關鍵參量，在局部重力場逼近計算中具有非常重要的作用。重力位模型由于受空間分辨率的限制，高頻含量明顯不足，因此很難在表示地球重力場局部特征方面有所作為，局部地形改正參量正好能夠彌補這方面的缺陷。空中一點重力異常的高頻分量隨高度增大而衰減，空中測點與對應地面投影點局部地形改正數之差異，正是這種高頻信號衰減的量化體現。據此，本文提出陸部航空重力測量向下延拓計算模型，見式（1）和式（2）

局部地形改正可按照文獻［26］提出的球面公式進行嚴密計算，但考慮到敘述方便起見，這里仍采用平面近似方式給出相應的計算模型。計算O點處的局部地形改正數C0時，不管是高出計算點部分（h－h(huán)0＞0），還是低于計算點部分（h－h(huán)0＜0），其地形改正數均為正值。C0的統(tǒng)一計算式為［25］

或寫為

式中，R為地球平均半徑；hx和hy分別代表計算點在經圈和緯圈方向上的地形梯度。

計算空中測點P的局部地形改正數Cp時，仍然選擇與其相對應的地面投影點O作為地形高程面，此時高出O點高程面部分的地形改正數為負值，低于O點高程面部分的地形改正數為正值。Cp的統(tǒng)一計算式為

在實際應用中，一般使用數值積分完成式（3）和式（6）的計算，式（4）更適合使用FFT技術進行解算，但當使用特別高分辨率的地形數據（如3″×3″甚至1″×1″）時，由于不能確保，式（3）無法近似過渡到式（4），此時需對核函數作非奇變換［27］，因此必須注意，使用式（4）是有前提條件的?？罩袦y點和地面點局部地形改正計算各參量之間的幾何關系見圖1。

圖1 局部地形改正參量幾何關系Fig.1 Geometry relations of parameters in topographic correction computations

不難看出，本文提出的延拓計算模型即式（1），同樣適用于陸海交界區(qū)域的重力向下延拓解算。當計算點從陸區(qū)向海域延伸時，局部地形差分改正數δCp0將逐步減??；當計算點距離陸地地形超出局部地形改正積分半徑時，差分改正數δCp0為零。

2.2 基于差分層間地形改正的延拓歸算模型

文獻［7］曾依據空中一點重力異常主要與其相應地面一定區(qū)域內的重力異常大小相關聯這一事實，提出直接使用空中測點重力異常代替相應地面方塊平均重力異常的延拓歸算方案，簡稱直接代表法。文獻［8］在此基礎上，提出了利用地形信息改善直接代表法的改進型延拓歸算方案，其基本思想是：首先通過使用空中測點重力異常代表相應地面方塊平均重力異常的方法，確定地面投影點重力異常的主項，然后利用地形信息補充該主項的高頻分量，最終按式（7）完成延拓歸算［8］

式中，HT代表地面點高程；代表最佳相關區(qū)平均高程，可利用高分辨率DEM數據按逐次趨近方法計算得到；b為布格系數，取b＝2πGρ0＝0.111 9mGal/m，其他符號意義同前。

文獻［8］的數值試驗結果表明，利用式（7）作為延拓歸算模型的主要缺陷是，延拓計算值與地面觀測值之間存在一個比較明顯的系統(tǒng)性偏差。這顯然跟直接使用空中測點重力異常作為地面點重力異常的主項存在不確定性有關。實際上，隨著飛行高度的增大，空中測點重力異常不僅高頻分量在衰減，中低頻分量也在衰減。因此，在和之間，除了由地形質量引起的高頻分量差異外，還應包括由高度差引起的中低頻分量差異。本文在式（1）中特別引入位模型延拓改正數項，其作用就是為了補償由高度差引起的中低頻分量衰減。為了對比分析不同方法的計算效果，這里特意列出現行國家軍用標準選用的直接代表法模型即式（7）［28］，并在后面的數值檢核中一同給出其計算結果。因式（7）右端第二項實為地面投影點與平均高程點的層間改正互差，故將式（7）稱為基于差分層間地形改正的延拓歸算模型。

2.3 新方法特點分析

本文方法的最大特點是，向下延拓改正數計算過程完全獨立于航空重力測量觀測數據，不受觀測噪聲的影響，更重要的是，不受向下延拓不適定反問題解算過程固有的不穩(wěn)定性影響。如前所述，由于空中一點重力異常的高頻分量隨高度增大而衰減，因此相比較而言，空中重力場變化要比地面重力場平緩是不言而喻的。而從理論上講，要想通過求解傳統(tǒng)的逆Poisson積分方程，單純由變化相對平緩的空中重力異常信息恢復包含更多高頻分量的地面重力異常，幾乎是不可能的。即使能夠獲取一部分高頻信息，那也是觀測噪聲被放大后的虛假的重力異常信息。因此從這個角度上講，傳統(tǒng)延拓方法一直存在理論上的缺陷。本文方法的獨特之處正是完全避開了傳統(tǒng)方法的弊端，首先利用超高階地球位模型恢復延拓改正數的中長波部分，然后利用地形信息恢復地面重力場的高頻分量，從而實現航空重力測量數據向地面的全頻延拓。

3 精度分析與數值檢核

3.1 精度分析

由式（1）知，本文提出的陸部航空重力測量向下延拓計算模型精度，主要取決于位模型延拓改正數和局部地形差分改正數δCp0的計算精度。筆者曾對位模型延拓改正數的計算精度做過理論估算［20］，其中，在5km延拓高度上，由位模型系數誤差引起的延拓改正數計算誤差不超過2.5mGal，由位模型階次截斷引起的延拓改正數計算誤差不超過2.8mGal。因在式（1）中已經引入局部地形差分改正數，來補償位模型缺失的高頻分量，故在新模型中不需考慮后一項位模型截斷誤差的影響。又由文獻［25—27］分析結果知，在具備高精度和高分辨率數字地形模型條件下，局部地形差分改正數的計算誤差完全可以控制在1mGal以內。因此，從理論上講，新模型中兩項延拓改正數的總體估算精度應優(yōu)于3mGal。但必須指出的是，新模型的實際計算精度還受多種不確定因素的影響，包括位模型在陸部逼近度的非均勻性及數字地形模型精度和分辨率水平的不一致性等。

3.2 數值檢核

3.2.1 檢核方法與試驗數據

檢驗向下延拓計算模型精度最有效的方法是，直接使用航空和地面實際重力觀測數據求互差作為基準值，將由新模型計算得到的延拓改正數與基準值進行比較，由此可得到新模型計算精度的評價指標。遺憾的是，陸部同時擁有高精度航空和地面實際重力觀測數據的區(qū)域并不多見，目前筆者還缺乏這方面的可靠資料。為此，本文改用向上與向下延拓比對方法對新模型計算精度進行外部檢核，即首先利用地面網格重力和地形高數據，通過向上延拓方法計算一定高度面上的空間重力異常，進而求取地面與計算高度面重力異常的互差，將此互差值分別與單獨由位模型計算得到的改正數（即文獻［20］中的式（8））及由式（1）、式（7）計算得到的延拓改正數進行逐一比較，即可獲得相應延拓歸算模型的精度評價。由于向上延拓過程是穩(wěn)定可靠的，因此其解算結果可作為檢核向下延拓計算結果的基準值。這里考慮到向上延拓的Poisson積分方程是球面公式，當地形起伏較大時，利用球面向上延拓公式推算低空重力異常精度難以得到保證［4］。為此，本文改用虛擬點質量方法進行地面重力異常向上延拓計算，具體解算模型可參見文獻［25］和［27］。因點質量模型以最簡單的方式顧及了地形效應，故向上延拓解算結果更接近實際［27］。

本文選用的試驗區(qū)包括兩個區(qū)塊，一個位于我國大陸中部，區(qū)塊大小為3°×3°（稱為區(qū)塊1），屬于地形變化相對比較平緩的中等山區(qū)；另一個位于美國大陸南部，區(qū)塊大小為4°×4°（稱為區(qū)塊2），屬于地形變化比較劇烈的大山區(qū)。區(qū)塊1和2分別擁有1′×1′和2′×2′網格地面重力異常數據，同時擁有30″×30″地形高數據。兩個區(qū)塊所對應的重力和地形數據變化特征如表2統(tǒng)計結果所示。

表2 兩個試驗區(qū)塊重力和地形數據變化特征Tab.2 Statistics of gravity anomalies and terrain data in the test areas

3.2.2 區(qū)塊1檢核結果

試驗區(qū)塊1的平均地形高為358m，最大高程為1698m。據此，這里取飛行高度（相對橢球面高）hp＝3km，進行地面重力異常Δg地向上延拓計算，首先解算得到3km高度面上的空間重力異常Δgh，進而計算相對應的延拓改正數基準值δΔg地＝Δg地－Δgh。又利用EGM2008位模型和地面30″×30″地形高數據，分別按文獻［20］中的式（8）計算位模型延拓改正數δΔg位，按式（1）計算位模型和差分局部地形改正的延拓總改正數δΔg位局＝δΔg位－δC，按式（7）計算差分層間地形改正的延拓改正數。將基準值δΔg地分別同以上3組計算值δΔg位、δΔg位局和δΔg層作比較，可得到相應的精度評估信息。表3為地面和3km高度面局部地形改正計算值統(tǒng)計結果，具體比對結果見表4。

表3 區(qū)塊1地面點與3km高度點局部地形改正計算值統(tǒng)計結果Tab.3 Statistics of local topographic corrections at ground and 3km altitude in area 1st mGal

表4 第1區(qū)塊3種延拓方案計算結果與地面實測數據計算延拓改正數的比較Tab.4 Comparisons between the continuation corrections from ground gravity and three models in area 1st mGal

為了說明單獨使用位模型計算延拓改正數的精度并不完全取決于位模型自身的絕對精度［20］，表4第2行同時給出了同一區(qū)域位模型重力異常與地面實測網格重力的比對結果。從表4可以看出，位模型重力異常與地面觀測重力比對的系統(tǒng)性偏差超過1mGal、均方根誤差超過9mGal，但由位模型計算延拓改正數的精度仍達到了6mGal，加上局部地形改正差分延拓改正數后的比對精度則提升到了3mGal，系統(tǒng)性偏差減小到0.5mGal。而利用層間地形改正模型進行延拓計算的比對效果并不十分理想，均方根誤差接近6mGal。這個結果說明，將本文提出的差分模式應用于陸部航空重力測量數據延拓處理，能夠取得較高精度的延拓解算結果。

3.2.3 區(qū)塊2檢核結果

為了進一步了解各種計算方案在地形變化劇烈山區(qū)的適用性，這里繼續(xù)在表2所示的區(qū)塊2進行與表4相類同的數值檢核。其中，考慮到區(qū)塊2的平均地形高為1987m，最大高程為4116m，實施地面重力異常向上延拓計算時，特別把飛行平均高度改取為hp＝5km，其他參量保持不變。表5為地面和5km高度面局部地形改正計算值統(tǒng)計結果，具體比對結果見表6。圖2同時給出了（δΔg地－δΔg位）和（δΔg地－δΔg位局）的等值線圖，從圖2可清晰看出，單獨由位模型計算得到的延拓改正數誤差（見圖2（a））明顯與地形變化幅度大小有關；由位模型和局部地形改正差分得到的延拓改正數與地面實測數據解算結果則具有很好的一致性（見圖2（b）），誤差分布比較均勻，不存在明顯的邊緣效應。

從表6結果可以看出，即使在地形變化劇烈的大山區(qū)，由位模型計算延拓改正數的精度仍達到了5.71mGal，加上局部地形改正差分延拓改正數后的比對精度則提升到了2.97mGal，系統(tǒng)性偏差很小。而利用層間地形改正模型計算延拓改正數的效果明顯失效。對比表4和表6計算結果不難看出，地形變化劇烈大山區(qū)（即區(qū)塊2）的比對效果還略好于地形變化相對平緩的區(qū)塊1，這個結果也從另一個側面說明，EGM2008模型在美國本土的符合度要明顯高于在我國的符合度，與該模型在建模時已經使用了美國本土比較高精度和高分辨率重力及地形數據這一事實相符。

表5 區(qū)塊2地面點與5km高度點局部地形改正計算值統(tǒng)計結果Tab.5 Statistics of local topographic corrections at ground and 5km altitude in area 2nd mGal

表6 第2區(qū)塊3種延拓方案計算結果與地面實測數據計算延拓改正數的比較Tab.6 Comparisons between the continuation corrections from ground gravity and three models in area 2nd mGal

圖2 地面數據延拓改正數與模型計算值互差等值線圖Fig.2 Maps of continuation correction differences between the true and model values

3.2.4 正則化方法檢核結果

為了從另一個側面說明本文新方法的有效性，這里進一步采用文獻［19］介紹的逆Poisson積分正則化方法，將由點質量模型向上延拓計算得到的3km高度（對應區(qū)塊1）和5km高度（對應區(qū)塊2）上的重力異常，分別向下延拓到兩個區(qū)塊的平均地形高度，然后將向下延拓計算結果與地面已知重力異常作比較，可得到向下延拓計算模型的精度評價指標，其結果見表7。

表7 兩區(qū)塊逆Poisson積分正則化方法向下延拓比對統(tǒng)計結果Tab.7 Comparisons of the continuation corrections from ground gravity and regularization model in test areas mGal

由于這里采用的空中重力異常是由點質量模型向上延拓計算得到的，因此它與地面已知重力異常之間形成閉環(huán)關系，即相當于不存在通常意義下的觀測誤差，向下延拓計算結果與已知值互差所反映的應當是純粹的計算模型誤差。對比表7和表4、表6計算結果可以看出，即使沒有觀測噪聲的干擾，逆Poisson積分正則化方法的延拓計算比對效果，無論是系統(tǒng)偏差還是均方根誤差指標，都不及本文提出的新方法。此外，從計算過程看，新方法不需要對觀測重力做網格化處理，能夠實現點對點延拓計算也是傳統(tǒng)逆積分方法無法比擬的。

4 結論與建議

前面的理論分析和數值檢核結果表明，利用EGM2008模型和地形信息計算延拓總改正數，將陸部航空重力數據向地面延拓是可行有效的，具有很好的推廣應用價值。

（1）聯合使用超高階位模型和地形信息進行陸部航空重力數據向下延拓解算，在5km高度下，其理論估計精度優(yōu)于±3mGal；在地形變化劇烈的大山區(qū)，實際比對精度達±3mGal。此結果與當前國際航空重力測量精度水平相當，因此使用新方法不會顯著降低航空重力測量成果質量。

（2）利用本文方法計算向下延拓改正數，不僅簡化了向下延拓計算過程，更重要的是可獲得穩(wěn)定可靠的解算結果。同時相對降低了航空重力測量測線布設要求，不需要對觀測數據作高度歸一化和網格化處理，可直接對不同高度的測點進行點對點計算。

（3）本文方法計算效果優(yōu)于傳統(tǒng)的直接代表法和逆積分正則化方法，建議盡早對現行的國家軍用標準相關內容作必要的修改。

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