基于中點(diǎn)弦測(cè)模型的無砟軌道精調(diào)量迭代求解

魏 暉， 朱洪濤， 趙國堂， 萬 堅(jiān)， 王志勇

(1. 南昌大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，江西 南昌330031;2. 江西科技學(xué)院汽車工程學(xué)院，江西 南昌330098;3. 中國鐵路總公司，北京100844)

軌道結(jié)構(gòu)的組合性和所承受列車荷載的隨機(jī)性與重復(fù)性，決定了即便是無砟軌道，其在運(yùn)營過程中也不可避免地會(huì)出現(xiàn)殘余變形積累，從而形成軌道的各種不平順［1］. 軌道不平順是輪軌系統(tǒng)的激擾源，是引起機(jī)車車輛振動(dòng)和輪軌動(dòng)作用力的主要原因，對(duì)列車行車的安全性、平穩(wěn)性、舒適性、車輛和軌道部件的壽命以及環(huán)境噪聲等都有很大影響［2］.在高速條件下，平順性對(duì)行車的安全性、舒適性影響更突出. 因此，高速鐵路必須具備高平順性，其高低、軌向等平順性指標(biāo)均應(yīng)控制在±2 mm以內(nèi)［3］.如何實(shí)現(xiàn)高速鐵路無砟軌道的高平順性，涉及到包括設(shè)計(jì)、施工、養(yǎng)護(hù)等的全面質(zhì)量控制，并隱含于控制標(biāo)準(zhǔn)、測(cè)量技術(shù)、量值傳遞以及施工工藝等一系列具體問題中.

現(xiàn)有的無砟軌道平順性控制，基本上是通過對(duì)外部幾何參數(shù)的絕對(duì)測(cè)量獲得軌道工程坐標(biāo)，然后用坐標(biāo)法進(jìn)行調(diào)整規(guī)劃，進(jìn)而調(diào)整扣件系統(tǒng)，以獲得軌道的高平順性. 坐標(biāo)法的核心在于，通過軌道的外部幾何參數(shù)控制軌道的內(nèi)部幾何參數(shù)，即通過軌道橫、垂向偏差的調(diào)整實(shí)現(xiàn)軌道的高平順性. 基于絕對(duì)測(cè)量的坐標(biāo)法，其原理解析且結(jié)果閉合. 另外，坐標(biāo)法以軌道外部幾何參數(shù)為控制對(duì)象，故其應(yīng)用于軌道施工，有利于軌道狀態(tài)的全面均衡. 然而，在現(xiàn)場(chǎng)軌道養(yǎng)護(hù)中，該技術(shù)存在適用性的問題，具體表現(xiàn)在測(cè)量效率與軌道養(yǎng)護(hù)模式不匹配，測(cè)量精度與質(zhì)量管理要求不統(tǒng)一，測(cè)量成果與平順性概念不兼容.

我國相對(duì)測(cè)量歷經(jīng)近10 年的發(fā)展，目前已較為成熟，已廣泛應(yīng)用于軌道的日常檢測(cè). 在線下工程竣工后，為保證列車運(yùn)營的安全性、舒適性，軌道管理的重點(diǎn)在于其平順性控制［2］. 因此，有必要研究基于平順性的軌道養(yǎng)護(hù)方案. 為不失一般性，本文的討論僅限于軌道平面的平順性.

1 相對(duì)測(cè)量技術(shù)及既有軌道整正算法

1.1 基于軌向平順性的相對(duì)測(cè)量技術(shù)

目前用于高速鐵路無砟軌道的0 級(jí)軌道檢查儀，基本上采用慣性法進(jìn)行測(cè)量，其原理是利用光纖陀螺(FOG)的Sagnac 效應(yīng)［4］. 光纖陀螺利用光纖構(gòu)成Sagnac 干涉儀，光路中順、逆時(shí)針兩束光波的相位差ΔΦ 與陀螺儀的轉(zhuǎn)向角φ 的關(guān)系為

式中:N 為光纖匝數(shù);λ 為真空中光波長;c 為真空中光速;A 為光路所包含的面積;t0～t 為積分時(shí)間.

在此基礎(chǔ)上，再通過對(duì)轉(zhuǎn)向角的里程積分，可得軌道的慣性軌跡序列，并可計(jì)算軌道不平順(中點(diǎn)矢距)序列n-1}［5］.

由于相對(duì)測(cè)量技術(shù)采用慣性基準(zhǔn)，故測(cè)量序列不包含外部幾何尺寸信息，但測(cè)量效率可達(dá)4 ～8 km/h.

1.2 相對(duì)測(cè)量精度的要求

對(duì)軌道不平順的精確測(cè)定是軌道整正的前提和基礎(chǔ)，參照文獻(xiàn)［6］關(guān)于測(cè)量儀器示值誤差符合性評(píng)定的基本要求，測(cè)量允差U95與平順性控制允差UMPEV間應(yīng)滿足

在此條件下，由測(cè)量允差引入的不確定度不會(huì)顯著影響測(cè)量結(jié)果.根據(jù)文獻(xiàn)［3］，軌向、正矢與高低控制值均為±2 mm，可得軌向、正矢測(cè)量允差U95=0.7 mm.

1.3 現(xiàn)行平順性整正算法

傳統(tǒng)的軌道平面整正算法應(yīng)用于普速鐵路，主要包括繩正法、偏角法及目穿法等，其中繩正法和偏角法是基于漸開線模型計(jì)算軌道調(diào)整量［1］. 設(shè)軌道等步距測(cè)量n 個(gè)樁點(diǎn)，得到實(shí)測(cè)中點(diǎn)矢距vi，并有設(shè)計(jì)中點(diǎn)矢距Vi，i =1，2，…，n -1. 假定軌道任意一點(diǎn)均沿漸開線移動(dòng)且移動(dòng)前后軌道長度不變，則有

式中:ei為第i 點(diǎn)的調(diào)整量，i=1，2，…，n-1.

由于漸開線模型計(jì)算中存在累和計(jì)算［7］，意味著隨里程增加，誤差將不斷增大，難以保證長撬平順性，甚至產(chǎn)生“鵝頭”或反彎.

目穿法則是目測(cè)不平順，然后通過多次動(dòng)道，逐點(diǎn)改善軌道的平順性.此方法對(duì)不平順的測(cè)定十分粗糙，且嚴(yán)重依賴于操作者的技能和經(jīng)驗(yàn)，易破壞設(shè)計(jì)線型，故目前不能作為一種獨(dú)立的整道方法應(yīng)用于高速鐵路無砟軌道精調(diào).

2 基于軌向平順性的軌道精調(diào)的基本思路

如前所述，采用陀螺儀可計(jì)算軌道的軌跡，但由于缺乏方位角及起算點(diǎn)的北東高(N，E，Z)坐標(biāo)，且由于陀螺儀積分飽和，故直接計(jì)算軌道的坐標(biāo)在工程上難以實(shí)現(xiàn). 因此，直接對(duì)軌跡與軌道標(biāo)準(zhǔn)線型進(jìn)行比較以獲得整道量在技術(shù)上存在一定難度.然而，整道并非以全面恢復(fù)軌道幾何尺寸為唯一目的，當(dāng)以平順性控制為目標(biāo)時(shí)，則可避免求解積分常數(shù)，也可避免積分飽和對(duì)線型計(jì)算的影響.

從本質(zhì)上講，目穿法調(diào)軌過程可理解為一種迭代行為，即利用前幾次的控制信息構(gòu)成當(dāng)前的輸入控制信息，并按期望輸出找到期望輸入. 迭代算法具有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)描述和定義，算法簡(jiǎn)單，且不依賴被控系統(tǒng)模型，對(duì)解決常規(guī)算法難以控制的復(fù)雜、不確定性系統(tǒng)有獨(dú)到之處.

2.1 不平順向量模型的建立

根據(jù)文獻(xiàn)［8］，靜態(tài)軌向、高低不平順等的定義往往采用中點(diǎn)弦測(cè)(mid-chord offset，MCO)模型(圖1).以平面為例，設(shè)測(cè)弦基長為L，并令軌道檢查儀以步距0.5L 連續(xù)測(cè)量軌道，則軌道平順性可表示為

式中:vi為軌道不平順，mm;fi(i=1，2，…，n -1)為軌道平面軌跡(橫向偏差)，mm.

圖1 軌道不平順的中點(diǎn)弦測(cè)模型Fig.1 MCO model for track irregularities

由式(4)可知，中點(diǎn)弦測(cè)模型具有二階差分的形式，即其直接表征軌道里程方向的二階導(dǎo)數(shù)或曲率.中點(diǎn)弦測(cè)模型的主要問題是，其幅值增益將隨不平順波長變化而在0 ～2 間振蕩［9-10］.然而，考慮到其相頻特性無畸變，且有利于提取敏感波段的不平順信息，故仍廣泛用于軌道平順性檢查.

將軌道不平順序列和軌道平面軌跡序列寫成向量形式:

V=(v0，v1，v2，…，vn-1)T，

F=(f0，f1，f2，…，fn-1)T.

由式(4)，設(shè)

顯然，A 為三對(duì)角矩陣，則式(4)寫為

式(5)表達(dá)了軌向不平順與軌道平面軌跡的關(guān)系.若V 為軌道設(shè)計(jì)參數(shù)確定的不平順期望值，則軌道整正問題轉(zhuǎn)化為通過初始軌跡向量F(0)求解期望軌跡輸入F*的問題.

為便于說明，可對(duì)矩陣A 進(jìn)行分解，令D 為單位矩陣，

則

由 于A 的 順 序 主 子 式Δi＞0 且為A 的元素，i=1，2，…，n)，故此時(shí)矩陣A 正定對(duì)稱且對(duì)角占優(yōu).

2.2 軌道平面整正的迭代算法

式(5)的常規(guī)數(shù)值解法有直接法和迭代法，直接法(如Gauss 消去法)對(duì)原始數(shù)據(jù)誤差和計(jì)算舍入誤差敏感，故宜采用迭代法求解. 迭代法是求解大型線性系統(tǒng)(特別是稀疏矩陣)的有效方法，具有存儲(chǔ)空間小、程序簡(jiǎn)單等特點(diǎn). 它是從某個(gè)初始向量x(0)出發(fā)，按一定的迭代格式產(chǎn)生向量序列{x(k)}，隨著k 增大，x(k)將逐步逼近x.

基本迭代法包括Jacobi 迭代、Gauss-Seidel 迭代以及超松弛(SOR)迭代等算法.相對(duì)于Jacobi 迭代算法，由于Gauss-Seidel 迭代、SOR 迭代算法利用了x(k+1)1，x(k+1)2，…，x(k+1)i-1計(jì)算x(k+1)i，故收斂速度快，迭代矩陣構(gòu)造也較簡(jiǎn)單［11］.

SOR 迭代式為

式中，ω 為松弛因子.

當(dāng)ω=0 時(shí)，式(6)即為Gauss-Seidel 迭代.

對(duì)式(5)進(jìn)行迭代求解，須滿足收斂性條件.另外，ω 的取值也直接影響收斂速度，一般采用試湊法尋優(yōu).

對(duì)于如矩陣A 的正定對(duì)稱的三對(duì)角矩陣，根據(jù)文獻(xiàn)［11］，當(dāng)0 ＜ω ＜2 時(shí)，SOR 迭代收斂，且有最優(yōu)松弛因子［12-13］

式中:ρ(·)為迭代矩陣的譜半徑;BJ為式(5)的Jacobi 迭代矩陣.

則其特征值

當(dāng)矩陣規(guī)模n 較大時(shí)，BJ的譜半徑

由式(7)，最優(yōu)松弛因子

此時(shí)，整理式(6)，有

迭代終止條件:

式中，ε 為精調(diào)允差，mm.

為使迭代計(jì)算的截?cái)嗾`差不致顯著影響軌道的平順狀態(tài)，ε 應(yīng)不大于作業(yè)驗(yàn)收標(biāo)準(zhǔn)的1/3.令為式(10)的精確解，則第i 點(diǎn)的調(diào)整量

2.3 迭代收斂速度及無砟軌道初始不平順

式(10)對(duì)任意初始向量F(0)均收斂，然而其應(yīng)用于工程計(jì)算需滿足一定收斂速度的要求.收斂速度可用式(10)第k 次迭代的殘差表示［11］:

對(duì)于正定對(duì)稱的三對(duì)角矩陣，當(dāng)ωopt=2(n +1)/(n+1 +π)時(shí)，有［13］

4.效力上，強(qiáng)調(diào)審前程序的約束性。由于目前的審前程序僅僅是一種程序性的準(zhǔn)備，所有的內(nèi)容都是在形式意義上存在的，因?qū)徢俺绦蛭赐瓿啥绊懲彽那闆r非常少見，反之，因?yàn)橥彸绦蚨髮徢俺绦虻闹匦麻_始卻是普遍現(xiàn)象，這就導(dǎo)致審前程序毫無約束力可言。因此，民事審前程序的二元性價(jià)值改造需要對(duì)審前程序的效力進(jìn)行特別的強(qiáng)調(diào)，在審前程序的目的沒有實(shí)現(xiàn)的情況下，庭審程序不能任意開始。這樣，既消除了訴訟程序的反復(fù)性和非約束性，強(qiáng)化了訴訟程序的安定性和可預(yù)測(cè)性，也提高了訴訟程序的有序性和效率性。

隨矩陣規(guī)模增大，式(10)的迭代收斂速度降低，但保持收斂.當(dāng)n =100 時(shí)，經(jīng)過37 次迭代，誤差約為初始值的10%.

另外，由式(13)，初始輸入向量F(0)越接近期望輸入向量F*，收斂速度越快. 對(duì)于軌道平面整正而言，即意味著當(dāng)軌道初始平順性較好時(shí)，上述算法可迅速逼近精確值，從而得到相應(yīng)的調(diào)整量.

考察無砟軌道的初始平順性，在鋼軌定尺為100 m 的條件下，無砟軌道的初始不平順主要源自軌道板的制造、安裝及扣件系統(tǒng)誤差. 綜合《高速鐵路工程測(cè)量規(guī)范》、《客運(yùn)專線無砟軌道鐵路工程施工技術(shù)指南》以及《福斯羅300-1 扣件系統(tǒng)零部件制造驗(yàn)收技術(shù)條件》等標(biāo)準(zhǔn)要求，并假定公差符合均勻分布，其他誤差符合正態(tài)分布，在各項(xiàng)誤差相互獨(dú)立的條件下，標(biāo)準(zhǔn)不確定度［14］

式中，u(xi)為誤差xi的標(biāo)準(zhǔn)不確定度，i =1，2，…，n.

軌道的初始不平順見表1.

表1 軌道初始不平順Tab.1 Initial irregularities of ballastless track

從表1 可見，無砟軌道經(jīng)過調(diào)板、鎖定及軌道清理后，軌道的初始平順性較好，僅需局部調(diào)整.這不僅有利于保證軌道的穩(wěn)定性，也有利于整正量計(jì)算的快速收斂.

3 精調(diào)算法的現(xiàn)場(chǎng)試用

為驗(yàn)證基于平順性的軌道精調(diào)算法在軌道精調(diào)中的效果，于2010 年12 月在某高速鐵路土建三標(biāo)5 工區(qū)進(jìn)行了現(xiàn)場(chǎng)規(guī)模試用［15］. 試用線路長5.25 km，全線為CRTSⅡ型軌道板、跨區(qū)間無縫線路，平面線形選擇包括直線、緩和曲線和圓曲線.

作為對(duì)照，另有30.75 km 線路采用基于全站儀的絕對(duì)測(cè)量技術(shù)進(jìn)行精調(diào).精調(diào)效果通過動(dòng)態(tài)檢查評(píng)價(jià)，動(dòng)態(tài)質(zhì)量評(píng)定執(zhí)行350 km/h 標(biāo)準(zhǔn).表2 為線路不平順動(dòng)態(tài)質(zhì)量的比較. 從表2 可見，2 種精調(diào)方法的整道效果相當(dāng)，均滿足無砟軌道精調(diào)的要求.

圖2 右軌平面調(diào)整效果(局部)Fig.2 Adjustment effect of right alignment (enlarged view)

表2 線路不平順動(dòng)態(tài)質(zhì)量比較Tab.2 Dynamic quality comparison of ballastless track

4 結(jié) 論

本文建立了軌道不平順向量模型，提出了基于中點(diǎn)弦測(cè)模型的無砟軌道精調(diào)量計(jì)算方法和以恢復(fù)平順性為目標(biāo)的無砟軌道精調(diào)量逐次超松弛迭代算法，并且在某高速鐵路進(jìn)行了現(xiàn)場(chǎng)規(guī)模試用，獲得以下結(jié)論:

(1)提出的算法具有收斂性，計(jì)算結(jié)果可以保證高速鐵路無砟軌道的高平順性，采用該算法不會(huì)顯著改變軌道的外部幾何尺寸.

(2)與已有的漸開線方法相比，由于無砟軌道精調(diào)量迭代算法是以軌道平順性為期望輸出對(duì)測(cè)量數(shù)據(jù)進(jìn)行多次迭代，不存在累和問題和首尾控制條件，故可保證測(cè)量范圍內(nèi)的整體平順;與基于絕對(duì)測(cè)量的坐標(biāo)法相比，由于其輸入輸出均為軌道內(nèi)部幾何尺寸，故測(cè)量效率、解算效率及與既有養(yǎng)修規(guī)范的銜接等均優(yōu)于坐標(biāo)法.

(3)與絕對(duì)測(cè)量精調(diào)技術(shù)相比，提出的精調(diào)技術(shù)具有無需外部標(biāo)志、測(cè)量環(huán)境適應(yīng)性好、精調(diào)工作效率高等優(yōu)點(diǎn)，作業(yè)效果與絕對(duì)測(cè)量精調(diào)技術(shù)相當(dāng)，滿足高速鐵路無砟軌道養(yǎng)修的要求.

迭代算法的收斂性分析是在無干擾情況下進(jìn)行的.但在長波條件下，測(cè)量數(shù)據(jù)存在各類擾動(dòng)，需對(duì)算法的魯棒性進(jìn)行研究. 此外，當(dāng)矩陣規(guī)模較大時(shí)，算法的復(fù)雜度將增加，需進(jìn)一步研究迭代的加速算法，如進(jìn)行分塊迭代等.

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