提高高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)有效性的探究

黃文生

解題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的中心工作，只有學(xué)生的解題效率提高了，學(xué)生的解題能力才能得到有效的提升，教學(xué)質(zhì)量才能真正得到提高.筆者根據(jù)多年的教學(xué)實踐經(jīng)驗，就如何提高高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的有效性談一些粗淺的看法.

一、拓展學(xué)生的思維

1.求過兩直線交點的直線方程

（1）歸納梳理

①求過兩條直線的交點的直線方程時，一般是先通過解方程組，得到交點坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件，求出直線方程.

②求過兩條直線的交點且與某直線平行或垂直的直線方程時，可利用直線系方程得到.

（2）典例精析

【例1】 求經(jīng)過兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點，且與直線3x+y-1=0平行的直線的方程.

4.運用解析法證明平面幾何問題

（1）歸納梳理

用解析法解決平面幾何問題時，關(guān)鍵是結(jié)合圖形的性質(zhì)、特征建立平面直角坐標(biāo)系.建立平面直角坐標(biāo)系的原則有兩個：①要盡可能多地將已知點建在坐標(biāo)軸上，這樣便于運算；②如果條件中有互相垂直的兩條直線，那么要考慮將其建為坐標(biāo)軸；如果圖形具有中心對稱性，那么可以考慮將圖形中心建為原點；如果具有軸對稱性，那么可以考慮將對稱軸建立為坐標(biāo)軸.

（2）典例精析

【例2】 如圖1所示，已知△ABC是直角三角形，斜邊BC的中點為M，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求證AM=12BC.

證明：以Rt△ABC的直角邊AB、AC所在直線為坐標(biāo)軸，建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系.

二、注重學(xué)生能力遷移

“遷移是指一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的影響.”按其效果可以分為正遷移（一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的促進作用）和負(fù)遷移（一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的干擾作用）兩種類型，我們所說的遷移一般都是指正遷移.知識遷移能力是將所學(xué)知識應(yīng)用到新的情境中，解決新問題時所體現(xiàn)出的一種素質(zhì)和能力，包含對新情境的感知和處理能力、舊知識與新情境的鏈接能力、對新問題的認(rèn)知和解決能力等層次.形成知識的廣泛遷移能力可以實現(xiàn)知識點之間的貫通理解和轉(zhuǎn)換，有利于學(xué)生認(rèn)識事件的本質(zhì)和規(guī)律，提高解決問題的靈活性和有效性.

【例3】 求過兩直線l1：x=-2與l2：2x+y+3=0的交點P，且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線l的方程.

分析：先根據(jù)題意求出交點坐標(biāo)，再進行分類討論；也可以利用直線系方程求解.

解法一：

由方程組x=-22x+y+3=0，解得x=-2y=1，

所以交點P的坐標(biāo)為（-2，1）.

根據(jù)題意知，當(dāng)截距不等于0時，設(shè)所求直線l的方程為xa+yb=1，

根據(jù)題意可得

a=b-2a+1b=1，解得a=-1b=-1.

所以所求直線l的方程為x-1+y-1=1，即x+y+1=0.

當(dāng)截距均為0時，設(shè)所求直線l的方程為y=kx（k≠0），

把P（-2，1）代入y=kx，解得k=-12.

所以所求直線l的方程為y=-12x，即x+2y=0.

綜上所述，所求直線l的方程為x+y+1=0或x+2y=0.

解法二：

設(shè)所求直線的方程為x+2+λ（2x+y+3）=0（λ≠0），

整理得（2λ+1）x+λy+3λ+2=0.

當(dāng)3λ+2=0，即λ=-23時，

所求直線l的方程為

-13x-23y=0，即x+2y=0符合題意.

當(dāng)3λ+2≠0，即λ≠-23時，

所求直線l的方程滿足3λ+22λ+1=3λ+2λ，解得λ=-1，

所以所求直線l的方程為x+y+1=0.

綜上所述，所求直線l的方程為x+2y=0或x+y+1=0.

三、加強變式訓(xùn)練

在新課程標(biāo)準(zhǔn)的指引下，數(shù)學(xué)教學(xué)方法也在不斷改進、創(chuàng)新.數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)局限于一個狹窄的課本知識領(lǐng)域里，而是讓學(xué)生對知識和技能初步理解與掌握后，進一步的深化和熟練，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會運用課本的知識舉一反三.應(yīng)用數(shù)學(xué)“變式教學(xué)”的方法是十分有效的手段.所謂“變式”，就是指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉(zhuǎn)化.即教師可不斷更換命題中的非本質(zhì)特征；變換問題中的條件或結(jié)論；轉(zhuǎn)換問題的內(nèi)容和形式；配置實際應(yīng)用的各種環(huán)境，但應(yīng)保留好對象中的本質(zhì)因素，從而使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性.

【例4】 已知點A（a，-5）與B（0，10）間的距離是17，求a的值.

變式：已知點A（1，2），B（3，4），C（5，0），求證：△ABC是等腰三角形.

分析：求出三角形的三邊長，比較三邊長的大小即可.

證明：因為

又因為A，B，C三點不共線，

所以△ABC是等腰三角形.

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們廣大數(shù)學(xué)教師必須認(rèn)真學(xué)習(xí)新課標(biāo)，深入研究新教材，并根據(jù)自己學(xué)生的特點，注意做好以上幾個方面的教學(xué)工作，就一定能夠?qū)崿F(xiàn)提高解題教學(xué)有效性的目標(biāo)，從而有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）

解題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的中心工作，只有學(xué)生的解題效率提高了，學(xué)生的解題能力才能得到有效的提升，教學(xué)質(zhì)量才能真正得到提高.筆者根據(jù)多年的教學(xué)實踐經(jīng)驗，就如何提高高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的有效性談一些粗淺的看法.

一、拓展學(xué)生的思維

1.求過兩直線交點的直線方程

（1）歸納梳理

①求過兩條直線的交點的直線方程時，一般是先通過解方程組，得到交點坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件，求出直線方程.

②求過兩條直線的交點且與某直線平行或垂直的直線方程時，可利用直線系方程得到.

（2）典例精析

【例1】 求經(jīng)過兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點，且與直線3x+y-1=0平行的直線的方程.

4.運用解析法證明平面幾何問題

（1）歸納梳理

用解析法解決平面幾何問題時，關(guān)鍵是結(jié)合圖形的性質(zhì)、特征建立平面直角坐標(biāo)系.建立平面直角坐標(biāo)系的原則有兩個：①要盡可能多地將已知點建在坐標(biāo)軸上，這樣便于運算；②如果條件中有互相垂直的兩條直線，那么要考慮將其建為坐標(biāo)軸；如果圖形具有中心對稱性，那么可以考慮將圖形中心建為原點；如果具有軸對稱性，那么可以考慮將對稱軸建立為坐標(biāo)軸.

（2）典例精析

【例2】 如圖1所示，已知△ABC是直角三角形，斜邊BC的中點為M，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求證AM=12BC.

證明：以Rt△ABC的直角邊AB、AC所在直線為坐標(biāo)軸，建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系.

二、注重學(xué)生能力遷移

“遷移是指一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的影響.”按其效果可以分為正遷移（一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的促進作用）和負(fù)遷移（一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的干擾作用）兩種類型，我們所說的遷移一般都是指正遷移.知識遷移能力是將所學(xué)知識應(yīng)用到新的情境中，解決新問題時所體現(xiàn)出的一種素質(zhì)和能力，包含對新情境的感知和處理能力、舊知識與新情境的鏈接能力、對新問題的認(rèn)知和解決能力等層次.形成知識的廣泛遷移能力可以實現(xiàn)知識點之間的貫通理解和轉(zhuǎn)換，有利于學(xué)生認(rèn)識事件的本質(zhì)和規(guī)律，提高解決問題的靈活性和有效性.

【例3】 求過兩直線l1：x=-2與l2：2x+y+3=0的交點P，且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線l的方程.

分析：先根據(jù)題意求出交點坐標(biāo)，再進行分類討論；也可以利用直線系方程求解.

解法一：

由方程組x=-22x+y+3=0，解得x=-2y=1，

所以交點P的坐標(biāo)為（-2，1）.

根據(jù)題意知，當(dāng)截距不等于0時，設(shè)所求直線l的方程為xa+yb=1，

根據(jù)題意可得

a=b-2a+1b=1，解得a=-1b=-1.

所以所求直線l的方程為x-1+y-1=1，即x+y+1=0.

當(dāng)截距均為0時，設(shè)所求直線l的方程為y=kx（k≠0），

把P（-2，1）代入y=kx，解得k=-12.

所以所求直線l的方程為y=-12x，即x+2y=0.

綜上所述，所求直線l的方程為x+y+1=0或x+2y=0.

解法二：

設(shè)所求直線的方程為x+2+λ（2x+y+3）=0（λ≠0），

整理得（2λ+1）x+λy+3λ+2=0.

當(dāng)3λ+2=0，即λ=-23時，

所求直線l的方程為

-13x-23y=0，即x+2y=0符合題意.

當(dāng)3λ+2≠0，即λ≠-23時，

所求直線l的方程滿足3λ+22λ+1=3λ+2λ，解得λ=-1，

所以所求直線l的方程為x+y+1=0.

綜上所述，所求直線l的方程為x+2y=0或x+y+1=0.

三、加強變式訓(xùn)練

在新課程標(biāo)準(zhǔn)的指引下，數(shù)學(xué)教學(xué)方法也在不斷改進、創(chuàng)新.數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)局限于一個狹窄的課本知識領(lǐng)域里，而是讓學(xué)生對知識和技能初步理解與掌握后，進一步的深化和熟練，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會運用課本的知識舉一反三.應(yīng)用數(shù)學(xué)“變式教學(xué)”的方法是十分有效的手段.所謂“變式”，就是指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉(zhuǎn)化.即教師可不斷更換命題中的非本質(zhì)特征；變換問題中的條件或結(jié)論；轉(zhuǎn)換問題的內(nèi)容和形式；配置實際應(yīng)用的各種環(huán)境，但應(yīng)保留好對象中的本質(zhì)因素，從而使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性.

【例4】 已知點A（a，-5）與B（0，10）間的距離是17，求a的值.

變式：已知點A（1，2），B（3，4），C（5，0），求證：△ABC是等腰三角形.

分析：求出三角形的三邊長，比較三邊長的大小即可.

證明：因為

又因為A，B，C三點不共線，

所以△ABC是等腰三角形.

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們廣大數(shù)學(xué)教師必須認(rèn)真學(xué)習(xí)新課標(biāo)，深入研究新教材，并根據(jù)自己學(xué)生的特點，注意做好以上幾個方面的教學(xué)工作，就一定能夠?qū)崿F(xiàn)提高解題教學(xué)有效性的目標(biāo)，從而有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）

解題教學(xué)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的中心工作，只有學(xué)生的解題效率提高了，學(xué)生的解題能力才能得到有效的提升，教學(xué)質(zhì)量才能真正得到提高.筆者根據(jù)多年的教學(xué)實踐經(jīng)驗，就如何提高高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的有效性談一些粗淺的看法.

一、拓展學(xué)生的思維

1.求過兩直線交點的直線方程

（1）歸納梳理

①求過兩條直線的交點的直線方程時，一般是先通過解方程組，得到交點坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件，求出直線方程.

②求過兩條直線的交點且與某直線平行或垂直的直線方程時，可利用直線系方程得到.

（2）典例精析

【例1】 求經(jīng)過兩直線2x-3y-3=0和x+y+2=0的交點，且與直線3x+y-1=0平行的直線的方程.

4.運用解析法證明平面幾何問題

（1）歸納梳理

用解析法解決平面幾何問題時，關(guān)鍵是結(jié)合圖形的性質(zhì)、特征建立平面直角坐標(biāo)系.建立平面直角坐標(biāo)系的原則有兩個：①要盡可能多地將已知點建在坐標(biāo)軸上，這樣便于運算；②如果條件中有互相垂直的兩條直線，那么要考慮將其建為坐標(biāo)軸；如果圖形具有中心對稱性，那么可以考慮將圖形中心建為原點；如果具有軸對稱性，那么可以考慮將對稱軸建立為坐標(biāo)軸.

（2）典例精析

【例2】 如圖1所示，已知△ABC是直角三角形，斜邊BC的中點為M，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，求證AM=12BC.

證明：以Rt△ABC的直角邊AB、AC所在直線為坐標(biāo)軸，建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系.

二、注重學(xué)生能力遷移

“遷移是指一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的影響.”按其效果可以分為正遷移（一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的促進作用）和負(fù)遷移（一種學(xué)習(xí)對另一種學(xué)習(xí)的干擾作用）兩種類型，我們所說的遷移一般都是指正遷移.知識遷移能力是將所學(xué)知識應(yīng)用到新的情境中，解決新問題時所體現(xiàn)出的一種素質(zhì)和能力，包含對新情境的感知和處理能力、舊知識與新情境的鏈接能力、對新問題的認(rèn)知和解決能力等層次.形成知識的廣泛遷移能力可以實現(xiàn)知識點之間的貫通理解和轉(zhuǎn)換，有利于學(xué)生認(rèn)識事件的本質(zhì)和規(guī)律，提高解決問題的靈活性和有效性.

【例3】 求過兩直線l1：x=-2與l2：2x+y+3=0的交點P，且在坐標(biāo)軸上截距相等的直線l的方程.

分析：先根據(jù)題意求出交點坐標(biāo)，再進行分類討論；也可以利用直線系方程求解.

解法一：

由方程組x=-22x+y+3=0，解得x=-2y=1，

所以交點P的坐標(biāo)為（-2，1）.

根據(jù)題意知，當(dāng)截距不等于0時，設(shè)所求直線l的方程為xa+yb=1，

根據(jù)題意可得

a=b-2a+1b=1，解得a=-1b=-1.

所以所求直線l的方程為x-1+y-1=1，即x+y+1=0.

當(dāng)截距均為0時，設(shè)所求直線l的方程為y=kx（k≠0），

把P（-2，1）代入y=kx，解得k=-12.

所以所求直線l的方程為y=-12x，即x+2y=0.

綜上所述，所求直線l的方程為x+y+1=0或x+2y=0.

解法二：

設(shè)所求直線的方程為x+2+λ（2x+y+3）=0（λ≠0），

整理得（2λ+1）x+λy+3λ+2=0.

當(dāng)3λ+2=0，即λ=-23時，

所求直線l的方程為

-13x-23y=0，即x+2y=0符合題意.

當(dāng)3λ+2≠0，即λ≠-23時，

所求直線l的方程滿足3λ+22λ+1=3λ+2λ，解得λ=-1，

所以所求直線l的方程為x+y+1=0.

綜上所述，所求直線l的方程為x+2y=0或x+y+1=0.

三、加強變式訓(xùn)練

在新課程標(biāo)準(zhǔn)的指引下，數(shù)學(xué)教學(xué)方法也在不斷改進、創(chuàng)新.數(shù)學(xué)教學(xué)不應(yīng)局限于一個狹窄的課本知識領(lǐng)域里，而是讓學(xué)生對知識和技能初步理解與掌握后，進一步的深化和熟練，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中學(xué)會運用課本的知識舉一反三.應(yīng)用數(shù)學(xué)“變式教學(xué)”的方法是十分有效的手段.所謂“變式”，就是指教師有目的、有計劃地對命題進行合理的轉(zhuǎn)化.即教師可不斷更換命題中的非本質(zhì)特征；變換問題中的條件或結(jié)論；轉(zhuǎn)換問題的內(nèi)容和形式；配置實際應(yīng)用的各種環(huán)境，但應(yīng)保留好對象中的本質(zhì)因素，從而使學(xué)生掌握數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)屬性.

【例4】 已知點A（a，-5）與B（0，10）間的距離是17，求a的值.

變式：已知點A（1，2），B（3，4），C（5，0），求證：△ABC是等腰三角形.

分析：求出三角形的三邊長，比較三邊長的大小即可.

證明：因為

又因為A，B，C三點不共線，

所以△ABC是等腰三角形.

總之，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們廣大數(shù)學(xué)教師必須認(rèn)真學(xué)習(xí)新課標(biāo)，深入研究新教材，并根據(jù)自己學(xué)生的特點，注意做好以上幾個方面的教學(xué)工作，就一定能夠?qū)崿F(xiàn)提高解題教學(xué)有效性的目標(biāo)，從而有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

（責(zé)任編輯 鐘偉芳）