斜坡面路燈安裝間距的優(yōu)化算法研究及其應(yīng)用

黃靜萊，唐文婷，李 勇，閆興睿，張 濤

（1. 內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川 內(nèi)江 641110；2. 內(nèi)江師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，四川 內(nèi)江 641110）

斜坡面路燈安裝間距的優(yōu)化算法研究及其應(yīng)用

黃靜萊1，唐文婷1，李 勇2，閆興睿2，張 濤1

（1. 內(nèi)江師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院，四川 內(nèi)江 641110；2. 內(nèi)江師范學(xué)院 計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，四川 內(nèi)江 641110）

針對(duì)斜坡面路燈安裝間距選取問(wèn)題，根據(jù)路燈照明原理以及影響路燈安裝間距因素之間的關(guān)系，分別設(shè)計(jì)了一盞燈和兩盞燈優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，重點(diǎn)討論了兩盞燈之間的最大安裝間距問(wèn)題，并將模型應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題，提出了合理的安裝改進(jìn)方案，減少了路燈安裝成本，提高了路燈的使用效率，并節(jié)省了電能資源。

斜坡面；路燈安裝間距；照明原理

路燈作為城市生活的重要組成部分，不僅肩負(fù)著城市夜晚照明和交通安全，也扮演著美化城市的重要角色。我國(guó)是一個(gè)人口大國(guó)，隨著電器化時(shí)代的發(fā)展，我國(guó)對(duì)電力資源的需求量相當(dāng)大，目前國(guó)家正大力提倡環(huán)保和節(jié)約能源。不少研究者發(fā)現(xiàn)路燈過(guò)分強(qiáng)調(diào)美化功能，既降低了路燈的照明效率也造成了資源的嚴(yán)重浪費(fèi)，因此對(duì)路燈的優(yōu)化設(shè)計(jì)及其安裝間距的優(yōu)化成為研究的熱點(diǎn)。

高尚[1]研究了兩盞路燈優(yōu)化問(wèn)題，解決了一排路燈以及街道兩邊路燈的優(yōu)化模型；韓蘊(yùn)等[2]研究了路燈的優(yōu)化排列方式；王巍等[3]分析了照度均勻度和高度均勻度的問(wèn)題；文獻(xiàn)[4-5]探討了大學(xué)校園內(nèi)路燈的合理布設(shè)及優(yōu)化算法；文獻(xiàn)[6]討論了基于數(shù)學(xué)建模的城市路燈優(yōu)化與節(jié)能問(wèn)題。上述研究工作都是基于地面為水平面情況的，但當(dāng)實(shí)際中遇到斜坡面的情況，若同樣按照水平面情況來(lái)處理則顯然不合理。

本文針對(duì)斜坡面路燈安裝間距選取問(wèn)題，分析了水平面和斜坡面的區(qū)別，根據(jù)路燈照明原理以及影響路燈安裝間距因素之間的關(guān)系，分別設(shè)計(jì)了路燈安裝最大間距的一盞燈和兩盞燈優(yōu)化數(shù)學(xué)模型，并將模型應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題，提出了合理的安裝改進(jìn)方案。

假設(shè)以下模型討論的路燈高度為h，路功率為p。

1 水平面上一盞路燈的優(yōu)化模型

根據(jù)物理學(xué)知識(shí)，被光線照射的物體的亮度依賴于它與光源之間的距離平方的倒數(shù)和光線的投射角度[1]。如圖1所示，路燈到A點(diǎn)的光線強(qiáng)度Ⅰ為

其中r為O點(diǎn)到A點(diǎn)的距離。

圖1 水平面上的一盞路燈

照明強(qiáng)度直接影響可見(jiàn)度，只有照明強(qiáng)度不低于c0（c0通常取2

40w/ m），才能認(rèn)為物體可見(jiàn)。因此，圖1中A點(diǎn)的照明強(qiáng)度cA為

其中α為路燈與A點(diǎn)所在的直線與直線OA的夾角。那么地面上照明強(qiáng)度不低于c0的區(qū)域?yàn)?/p>

時(shí)，(5)式無(wú)解，地面的物體不可見(jiàn)；當(dāng)

的區(qū)域的物體可見(jiàn)。

2 斜坡面上一盞燈的優(yōu)化模型

仿照水平面上一盞路燈的可見(jiàn)區(qū)域的討論處理斜坡面上的一盞路燈的可見(jiàn)區(qū)域。由于斜坡面使得路燈的照明光線到達(dá)地面不能像水平面一樣具有對(duì)稱性（如圖2所示），因此，圖2中的A點(diǎn)和B點(diǎn)不可能會(huì)在同一個(gè)照明圓周上，只能分別討論A點(diǎn)和B點(diǎn)的照明強(qiáng)度。根據(jù)物理學(xué)知識(shí)和式(2)知，要求出這兩點(diǎn)的照明強(qiáng)度，需要求出由于斜坡角度而導(dǎo)致的虛擬路燈高度和光照?qǐng)A周半徑。

圖2 斜坡面上的一盞路燈

設(shè)斜坡面的斜度為θ(0≤θ<90°)。如圖2所示建立直角坐標(biāo)系。路燈照射到斜坡面的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為A( χ1,0)，B( χ2,0)。

構(gòu)造以A點(diǎn)和B點(diǎn)所在的照明圓周，根據(jù)式(2)，A點(diǎn)和B點(diǎn)的照明強(qiáng)度cA和cB分別為

照明強(qiáng)度直接影響可見(jiàn)度，只有照明強(qiáng)度不低于c0（c0通常取40w/ m2），才能認(rèn)為物體可見(jiàn)。因此，取c=min｛cA,cB}且滿足c≥c0，即可保證路燈的照明效果。例如，根據(jù)經(jīng)驗(yàn)認(rèn)為cA≤cB，那么為了能夠保證路燈的照明效果，必須要求cA≥c0，對(duì)(6)式進(jìn)行放縮有

通過(guò)對(duì)(8)式進(jìn)行放縮、合并和化解得到，當(dāng)

時(shí)，能夠保證A點(diǎn)的照明效果。

3 斜坡面上兩盞路燈的優(yōu)化模型

路燈通常是以列的方式應(yīng)用在城市中，兩兩路燈之間是相互影響的，路燈的間距太長(zhǎng)，地面的照明效果不好，路燈的間距太短，造成電能資源的浪費(fèi)和成本的增加。為了簡(jiǎn)化問(wèn)題，盡考慮兩盞路燈間距（l）的優(yōu)化問(wèn)題，斜坡面的斜度為θ(0≤θ<90°)。設(shè)兩盞路燈照射到斜面的交點(diǎn)為A，建立直角坐標(biāo)系如圖3所示。B, C兩點(diǎn)的坐標(biāo)為B( χ1,0)，C( χ2,0)。

圖3 斜坡面上的兩盞路燈

根據(jù)光強(qiáng)原理，路面上某點(diǎn)的總光線強(qiáng)度等于可以照到該點(diǎn)的所有路燈在該點(diǎn)的光線強(qiáng)度之和，即

其中Ⅰi為第i個(gè)路燈照到該點(diǎn)的光線強(qiáng)度。

考慮A點(diǎn)的光線強(qiáng)度，根據(jù)(9)式，A點(diǎn)的光線強(qiáng)度等于相鄰兩盞路燈照到A點(diǎn)的光線強(qiáng)度之和，再根據(jù)(6)式和(7)式分別計(jì)算兩盞路燈照到B點(diǎn)的光線強(qiáng)度cA為

同樣，為了保證照明效果，cA必須滿足

那么問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在A點(diǎn)的光線強(qiáng)度不低于c0的前提下，使路燈之間的間距盡可能的大，因此，其優(yōu)化模型為

上述規(guī)劃問(wèn)題由于其約束條件(10)式的復(fù)雜性使得求解非常困難，在求解中結(jié)合了光滑牛頓法[7]和遺傳算法的思想[8]，利用MATLAB[9]軟件得到最優(yōu)解為

4 實(shí)例分析

某高校校內(nèi)有兩段斜面路段，路的兩邊非均勻地安裝著路燈（如圖4和圖5所示）。路燈選用的是八叉九火玉蘭燈（圖6所示），為了應(yīng)用本文路燈間距優(yōu)化模型檢驗(yàn)路燈的安裝間距是否合理，假設(shè)每盞路燈上燈泡的排列方式不影響光線強(qiáng)度的改變，將每盞路燈的多燈泡功率之和視為一個(gè)燈泡的功率。

圖4 某高校斜坡面1上路燈

圖5 某高校斜坡面2上路燈

圖6 某高校八叉九火玉蘭燈特寫

利用全站儀、棱鏡、鋼卷尺和經(jīng)緯儀測(cè)得優(yōu)化模型中所涉及到的參數(shù)見(jiàn)表1，其中實(shí)測(cè)路燈安裝距離為路燈的平均間距（路燈之間的間距并不完全相等），所測(cè)的數(shù)據(jù)都只保留小數(shù)點(diǎn)后兩位有效數(shù)字。

表1 斜坡面參數(shù)值及結(jié)果值

將所測(cè)參數(shù)代入(13)、(14)式所得結(jié)果也列于表1。

從表1可以得到兩斜面的最優(yōu)間距分別為

與實(shí)測(cè)安裝間距比較

(17)和(18)式表明，該高校的兩段斜面路燈安裝間距過(guò)小，沒(méi)有充分利用此功率路燈的效率，可以適當(dāng)增加這兩段斜面路燈安裝間距。

5 結(jié)論

研究針對(duì)路燈安裝間距選取問(wèn)題，將水平面上路燈安裝問(wèn)題推廣到了斜坡面上路燈的安裝問(wèn)題，探究了兩者之間的聯(lián)系和區(qū)別，提出了一盞路燈和兩盞路燈最優(yōu)間距的優(yōu)化模型，并將模型應(yīng)用于實(shí)際問(wèn)題，并提出了合理的安裝改進(jìn)方案。

[1] 高尚.路燈安置優(yōu)化問(wèn)題研究[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2004, 34(1):1-6.

[2] 韓蘊(yùn),張兵.一種城市路燈合理排布的優(yōu)化設(shè)計(jì)方法[J].物理學(xué)與社會(huì),2007,36(4):331-333.

[3] 王巍,葛愛(ài)明,邱鵬,王俊偉,等.基于路面亮度系數(shù)表的路燈配光優(yōu)化及透鏡設(shè)計(jì)[J].照明工程學(xué)報(bào),2013,24(2):75-77.

[4] 梁棟,高清平,沈婷婷.大學(xué)校園路燈合理布設(shè)及優(yōu)化方法研究[J].中文信息,2013(2):87-88.

[5] 祝洪波.大學(xué)校園路燈照明系統(tǒng)的設(shè)計(jì)探討[J].現(xiàn)代物業(yè), 2011,10(3):87-88.

[6] 張家昕,仇海全,盧中其.基于數(shù)學(xué)建模的城市路燈優(yōu)化與節(jié)能研究[J].安徽科技學(xué)院學(xué)報(bào),2011,25(1):53-55.

[7] 謝亞君,馬昌鳳.求解非線性規(guī)劃問(wèn)題的光滑牛頓法[J].福建師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2011,27(5):17-22.

[8] 劉道建,黃天民.序列無(wú)約束極小化技術(shù)和遺傳算法在非線性規(guī)劃中的應(yīng)用[J].內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2002, 17(2):3-6.

[9] 張志涌.精通MATLABR2011a[M].北京:北京航空航天大學(xué)出版社,2013.

（責(zé)任編輯、校對(duì)：趙光峰）

The Research of Streetlights Installation Spacing Optimization Algorithms in the Slope Surface and Its Application

HUANG Jing-lai1, TANG Wen-ting1, LI Yong2, YAN Xing-rui2, ZHANG Tao1

(1. College of Mathematics and Information Science, Neijiang Teachers College, Neijiang 641110, China; 2. College of Computer Science, Neijiang Teachers College, Neijiang 641110, China)

For the streetlights installation spacing in the slope surface selection problem, according to the principle of streetlights and the relationship between the factors influencing the streetlights installation spacing, one streetlight and two streetlights optimization mathematical model are designed respectively. The biggest installation spacing between the two streetlights is discussed, and it is applied to practical problems. The reasonable installation improvement scheme, which reduces the streetlights installation cost, improve the efficiency of the use of streetlights and save the energy resources, is put forward.

slope surface; streetlights installation spacing; lighting principle

O221.2

A

1009-9115(2015)02-0013-03

10.3969/j.issn.1009-9115.2015.02.004

四川省教育廳一般科研項(xiàng)目（12ZB266），數(shù)值仿真與數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)示范中心大學(xué)生實(shí)驗(yàn)項(xiàng)目（0001247）

2014-09-16

黃靜萊（1994-），女，新疆烏魯木齊人，內(nèi)江師范學(xué)院學(xué)生。

張濤（1982-），男，四川雅安人，講師，研究方向?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué)。