“1”出現(xiàn)的次數(shù)

◎江蘇 林 豐

【題目】一本《趣味數(shù)學(xué)》有500頁(yè)，分別編上1、2、3……的頁(yè)碼。數(shù)字“1”共出現(xiàn)了幾次？

【思路點(diǎn)撥】也許有同學(xué)會(huì)想到一個(gè)很直接的辦法——找一本超過(guò)或正好是500頁(yè)的書(shū)，翻開(kāi)頁(yè)碼數(shù)一數(shù)就行了；或者干脆從1寫(xiě)到500，然后再數(shù)有多少個(gè)“1”。這兩種方法雖然可行，但是費(fèi)時(shí)費(fèi)力，更為重要的是不能好好研究這其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，是不是一個(gè)損失??？

此題可以把1至500的數(shù)分段考慮，最后再累加。

第一段：1～99，可以分為1～9，10～19，20～29……90～99，共十組，除了10～19這一組中“1”出現(xiàn)了11次之外（11中“1”出現(xiàn)了兩次），其余九組中“1”都只出現(xiàn)了一次。所以“1”一共出現(xiàn)了11＋9＝20（次）。

第二段：100～199，共100個(gè)數(shù)，與上一段比較，百位多出現(xiàn)了100次的“1”，而個(gè)位和十位出現(xiàn)“1”的情況與上一段相同。所以“1”一共出現(xiàn)了100＋20＝120（次）。

第三段：200～299，300～399，400～499，百位均未出現(xiàn)“1”，而個(gè)位和十位出現(xiàn)“1”的情況與1～99相同，各為20次。所以“1”一共出現(xiàn)了 20×3＝60（次），500中未出現(xiàn)“1”。

現(xiàn)在就可以算出在這本書(shū)的頁(yè)碼中，“1”總共出現(xiàn)了20＋120＋ 60＝200（次）。