基于稀疏測(cè)度PSF估計(jì)的天文圖像復(fù)原改進(jìn)算法

邵云龍

(桂林電子科技大學(xué)信息與通信學(xué)院,廣西桂林 541004)

基于稀疏測(cè)度PSF估計(jì)的天文圖像復(fù)原改進(jìn)算法

邵云龍

(桂林電子科技大學(xué)信息與通信學(xué)院,廣西桂林 541004)

為了解決地基天文觀測(cè)中由大氣湍流造成的圖像模糊問(wèn)題,利用基于稀疏測(cè)度的PSF估計(jì)算法實(shí)現(xiàn)PSF準(zhǔn)確信息的重構(gòu),提出一種變正則化參數(shù)的改進(jìn)的稀疏測(cè)度PSF估計(jì)算法,通過(guò)選擇合理的參數(shù),提高了PSF估計(jì)精度。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明,改進(jìn)后的算法能更準(zhǔn)確地估計(jì)PSF,提高圖像復(fù)原的效果。

地基天文;大氣湍流;稀疏測(cè)度

在地基天文中,通過(guò)光學(xué)望遠(yuǎn)鏡觀測(cè)天文目標(biāo)時(shí)必須穿過(guò)厚厚的大氣層這一非均勻介質(zhì),使得觀測(cè)圖像因受到大氣湍流的影響出現(xiàn)嚴(yán)重的模糊[1]。觀測(cè)圖像中目標(biāo)變得模糊不清、天體相對(duì)位置發(fā)生偏移等,使得對(duì)觀測(cè)圖像的分析識(shí)別變得困難重重,因此,需要對(duì)天文觀測(cè)圖像進(jìn)行復(fù)原。受到噪聲的干擾,圖像復(fù)原本身具有病態(tài)性,而點(diǎn)擴(kuò)散函數(shù)(point spread function,簡(jiǎn)稱PSF)準(zhǔn)確信息的缺失使得問(wèn)題的病態(tài)性加重。

模糊圖像的PSF估計(jì)是當(dāng)前圖像復(fù)原領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)?，F(xiàn)已有很多模糊圖像PSF的估計(jì)方法,總體上分為2類:

1)利用圖像的邊緣估計(jì)PSF[2-4],這類算法估計(jì)圖像的邊緣,并用模擬的塊替換模糊圖像的邊緣,由此估計(jì)出PSF。由于現(xiàn)實(shí)模糊圖像中需要被替換的復(fù)雜紋理信息往往遭到嚴(yán)重的破壞,此類算法不穩(wěn)定,甚至產(chǎn)生錯(cuò)誤的PSF。

2)充分利用自然圖像統(tǒng)計(jì)信息的先驗(yàn)知識(shí),即它們的分布導(dǎo)數(shù)和PSF是稀疏的、連續(xù)的。利用這些信息,此類算法通過(guò)最大后驗(yàn)概率方法[5-6]或者簡(jiǎn)單的代價(jià)函數(shù)[7-8]來(lái)估計(jì)PSF。

與一般圖像相比,大多數(shù)天文觀測(cè)圖像沒(méi)有明顯的邊緣,因此,基于邊緣信息估計(jì)PSF的算法往往達(dá)不到理想的效果,且天文圖像本身具有稀疏的特性,更易于稀疏表達(dá)。文獻(xiàn)[7]提出一種基于稀疏測(cè)度的圖像PSF估計(jì)算法,經(jīng)天文背景下仿真分析對(duì)比,該算法能較為精確地重構(gòu)天文圖像PSF準(zhǔn)確信息,適用于天文圖像的PSF估計(jì)。

為此,基于稀疏測(cè)度的PSF估計(jì)算法[7],結(jié)合反映圖像噪聲水平的指數(shù)度量,通過(guò)在天文背景下大量仿真,提出一種變正則化參數(shù)改進(jìn)的PSF估計(jì)算法,其基本思路是根據(jù)觀測(cè)圖像的噪聲水平自適應(yīng)調(diào)整正則化參數(shù),提高PSF估計(jì)精度。

1 稀疏測(cè)度正則項(xiàng)l1/l2

圖像復(fù)原問(wèn)題本身具有病態(tài)性,使得圖像復(fù)原的解不唯一或PSF信息的少許變化就會(huì)使解出現(xiàn)極大的波動(dòng)。通過(guò)對(duì)解進(jìn)行正則化約束是解決圖像復(fù)原病態(tài)問(wèn)題的常用方法[9-10]。

首先考慮l1范數(shù)。l1范數(shù)能很好地表達(dá)信號(hào)的稀疏性,l0范數(shù)在這一方面更加優(yōu)秀,但是l0范數(shù)在實(shí)際求解時(shí)缺乏有效的數(shù)學(xué)工具。而l1范數(shù)可逼近l0范數(shù)的系數(shù)表達(dá)的效果,且通過(guò)數(shù)學(xué)工具易于求解,因此廣泛應(yīng)用于圖像或信號(hào)的稀疏表達(dá)。但單純的l1范數(shù)具有尺度可變性,對(duì)一幅圖像來(lái)說(shuō),簡(jiǎn)單減小圖像維度就可使其變小。圖像處理中,l1范數(shù)通常用于圖像的高頻帶。但噪聲也通常位于圖像的高頻處,當(dāng)噪聲污染嚴(yán)重時(shí),該區(qū)域的l1范數(shù)值隨之增大,此時(shí)若最小化l1范數(shù)值,可達(dá)到抑制圖像中噪聲的效果。在圖像模糊時(shí),情況恰恰相反,最小化l1范數(shù)值在抑制圖像高頻噪聲的同時(shí)也使得圖像高頻分量逐漸丟失,導(dǎo)致圖像的模糊,這對(duì)圖像去模糊顯然是不利的。

l1/l2函數(shù)是l1范數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)化,使l1范數(shù)具有尺度不變性。當(dāng)圖像模糊時(shí),由于高頻分量的衰減使得l1范數(shù)和l2范數(shù)的值同時(shí)減小,但是后者減小更快,總體上兩者的比值增大,如圖1所示。從圖1可看出,尺度不變的正則項(xiàng)l1/l2能正確反映圖像模糊的變化,最小化圖像中高頻部分的l1/l2值是一種有效的去模糊的方式。

對(duì)于一幅圖像I,用不同大小(1～10)的高斯模糊算子b對(duì)其進(jìn)行模糊處理,并計(jì)算成本

其中:?x、?y為相應(yīng)的關(guān)于x、y的偏導(dǎo)數(shù);α為范數(shù)類型,取0.5、1、2。縱坐標(biāo)軸為不同模糊程度下成本值與原始成本值的比。

圖1 不同正則項(xiàng)對(duì)比示意圖Fig.1 The comparison of different image regularizers

2 基于變正則化參數(shù)的改進(jìn)PSF估計(jì)算法

圖像的中低頻帶包含了圖像中的絕大部分能量,由于模糊導(dǎo)致圖像中的高頻分量減小,對(duì)圖像的中低頻不敏感。在模糊過(guò)程中,圖像的高頻分量衰減比較嚴(yán)重,此時(shí),對(duì)應(yīng)的l1/l2范數(shù)變化比較大,因此, l1/l2范數(shù)必須作用于圖像的高頻部分。

對(duì)于一幅含有噪聲的模糊圖像g,通過(guò)與濾波器?x=[1,―1]和?y=[1,―1]T卷積得到圖像的高頻部分y=[?xg,?yg]。其代價(jià)函數(shù)[14]為:

其中:x為未知的清晰圖像的高頻部分;k為未知的模糊核;?為二維卷積操作符。式(1)包含3項(xiàng):第1項(xiàng)為保真項(xiàng);第2項(xiàng)為關(guān)于x的正則化項(xiàng);第3項(xiàng)為關(guān)于PSF的正則化,目的是減小PSF中的噪聲。

在基于正則化方法的圖像復(fù)原算法中,正則化參數(shù)的選擇需要同時(shí)考慮復(fù)原結(jié)果的穩(wěn)定性和與真實(shí)解的逼近性,并在這兩者之間做出很好的平衡。若正則化參數(shù)取得過(guò)大,算法的解會(huì)過(guò)度地向正則化項(xiàng)傾斜,偏離真實(shí)解;若正則化參數(shù)選取過(guò)小,算法的解傾向于逼近真實(shí)解,但由于正則化項(xiàng)作用過(guò)小,使得無(wú)法有效解決問(wèn)題的病態(tài)性,降低了解的穩(wěn)定性。因此,當(dāng)觀測(cè)圖像中噪聲水平高時(shí),問(wèn)題的病態(tài)性比較嚴(yán)重,需要增大正則項(xiàng)參數(shù),以穩(wěn)定解減小k中噪聲;當(dāng)噪聲水平低時(shí),則需要減小正則項(xiàng)參數(shù),加強(qiáng)保真項(xiàng)的逼近作用。

文獻(xiàn)[14]中給出的λ取值為20,對(duì)不同的觀測(cè)圖像,這顯然不是最優(yōu)的參數(shù)。在式(1)中,由于λ作用在保真項(xiàng)上,因此,λ參數(shù)值的選擇應(yīng)與圖像中的噪聲水平成反比。

圖像的局部結(jié)構(gòu)信息可通過(guò)其梯度反映。對(duì)于圖像中的點(diǎn)f( x,y),其梯度為g=?f(x,y)。在f(x,y)的N×N鄰域w,圖像中點(diǎn)的局部梯度向量為:

那么點(diǎn)f(x,y)的局部梯度協(xié)方差矩陣可表示為:

協(xié)方差矩陣SVD分解得到:

其中:U和V為正交矩陣;v1和v2分別為局部結(jié)構(gòu)張量的主方向和次方向;特征值s1、s2分別為對(duì)應(yīng)主方向和次方向上局部結(jié)構(gòu)張量的能量大小,s1≥s2≥0。在圖像平坦區(qū)域,s1≈s2≈0;在噪聲污染區(qū)域, s1＞s2＞0。利用局部結(jié)構(gòu)張量的特征值,局部結(jié)構(gòu)的特征值指數(shù)度量[11]為:

圖2為不同噪聲方差下的度量c的值。從圖2可看出,隨著噪聲水平的不斷增加,c不斷減小,因此,度量c能有效地表征圖像的噪聲水平。

圖2 度量c隨噪聲方差變化Fig.2 Trend of measure c with noise variance

綜合上述分析和大量仿真驗(yàn)證,最終代價(jià)函數(shù)可表示為:

其中,λ取值為38+100c。當(dāng)圖像噪聲水平低時(shí),λ取較大值,側(cè)重于逼近效果;當(dāng)圖像噪聲水平高時(shí),λ取較小值,側(cè)重于解的穩(wěn)定。

x更新的子問(wèn)題可表示為:

式(7)具有高度非凸性。解決方法是先給定x和k的初始值,然后交替更新x和k。

由于正則項(xiàng)‖x‖1/‖x‖2的存在,導(dǎo)致子問(wèn)題的非凸性,若利用前一次迭代的‖x‖2的值,那么問(wèn)題就變成了l1正則化的凸問(wèn)題,可通過(guò)迭代閾值收縮算法快速解決[12]。

k更新的子問(wèn)題可表示為:

該問(wèn)題可通過(guò)迭代加權(quán)最小二乘算法[13]解決,其中k到約束集的投影即設(shè)定非零元素為0,并重新歸一化。

從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知,上述算法結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、效率高,且能精確地估計(jì)出PSF。而獲得PSF的準(zhǔn)確信息之后,利用經(jīng)典的圖像反卷積算法就可迅速地復(fù)原清晰圖像,本研究采用Lucy-Richardson算法[14-15]。

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

本次實(shí)驗(yàn)中,采用模糊的星云和衛(wèi)星觀測(cè)圖像進(jìn)行測(cè)試,PSF均為13×13的高斯型,模糊后分別在圖像中加入均值為0的高斯白噪聲。為定量驗(yàn)證算法的復(fù)原效果,采用峰值信噪比(peak signal to noise ratio,簡(jiǎn)稱PSNR)對(duì)復(fù)原結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià),其定義為:

PSNR從統(tǒng)計(jì)意義上對(duì)圖像進(jìn)行衡量,忽視了圖像本身像素之間的聯(lián)系,評(píng)價(jià)結(jié)果與人的主觀評(píng)價(jià)不完全吻合。結(jié)構(gòu)相似法SSIM通過(guò)提取圖像中的結(jié)構(gòu)信息來(lái)衡量圖像之間的相似程度,與PSNR相比,更接近人的主觀評(píng)價(jià)。SSIM取值范圍為0～1,越接近1說(shuō)明與原始清晰圖像越接近,即復(fù)原效果越好。

圖3、4為2組圖像經(jīng)不同算法處理的結(jié)果對(duì)比,相應(yīng)的復(fù)原指標(biāo)見表1、2。

圖3 衛(wèi)星退化圖像盲復(fù)原Fig.3 Blind restoration of degraded satellite image

圖4 星云退化圖像盲復(fù)原Fig.4 Blind restoration of degraded nebula image

表1 衛(wèi)星退化圖像復(fù)原指標(biāo)Tab.1 Restoration index of degraded satellite image

表2 星云退化圖像復(fù)原指標(biāo)Tab.2 Restoration index of degraded nebula image

從以上仿真結(jié)果和相應(yīng)的復(fù)原指標(biāo)可看出,與文獻(xiàn)[3]算法相比,文獻(xiàn)[7]基于稀疏測(cè)度的PSF估計(jì)算法能更為精確地估計(jì)出天文退化圖像PSF,提高復(fù)原圖像質(zhì)量。而本算法通過(guò)自適應(yīng)選擇更加合理的參數(shù),PSF估計(jì)精度進(jìn)一步提高,恢復(fù)了更多的圖像細(xì)節(jié)。

4 結(jié)束語(yǔ)

針對(duì)地基天文觀測(cè)圖像復(fù)原過(guò)程中,由于PSF準(zhǔn)確信息的缺失引起的病態(tài)性和天文圖像的特點(diǎn),采用基于稀疏測(cè)度PSF估計(jì)算法,實(shí)現(xiàn)了天文圖像PSF高精度估計(jì)。在此基礎(chǔ)之上,結(jié)合反映圖像噪聲水平的指數(shù)度量,提出變正則化參數(shù)的改進(jìn)PSF估計(jì)算法,并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了改進(jìn)的算法能更好地估計(jì)PSF的準(zhǔn)確信息,恢復(fù)圖像細(xì)節(jié)。

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編輯:梁王歡

An improved astronomical image restoration algorithm based on sparsity measure PSF estimation

Shao Yunlong
(School of Information and Communication Engineering,Guilin University of Electronic Technology,Guilin 541004,China)

In order to overcome the blurring effect caused by atmosphere turbulence in ground-based astronomy,the PSF estimation algorithm based on sparsity measure is used to restore the accurate PSF information.An improved sparsity measure PSF estimation algorithm based on variational regularization parameters is proposed,which can adaptively correct the regularization parameter and improve the estimation precision of PSF.Experimental results show that the proposed algorithm can estimate PSF more accurately and the image restoration is improved.

ground-based astronomy;atmosphere turbulence;sparsity measure

TP391.41

:A

:1673-808X(2015)04-0310-05

2015-03-26

國(guó)家自然科學(xué)基金(61371107)

邵云龍(1988―),男,山東濱州人,碩士研究生,研究方向?yàn)樘煳膱D像復(fù)原。E-mail:shall_job@sina.com

邵云龍.基于稀疏測(cè)度PSF估計(jì)的天文圖像復(fù)原改進(jìn)算法[J].桂林電子科技大學(xué)學(xué)報(bào),2015,35(4):310-314.