基于有限元邊界元法的艦船開域空間靜磁計(jì)算研究

左 超，耿 攀，夏建超，徐正喜

（武漢第二船舶設(shè)計(jì)研究所，武漢 430064）

0 引言

艦船磁場特征分析是艦船消磁的關(guān)鍵技術(shù)之一，隨著艦船消磁技術(shù)的戰(zhàn)術(shù)需求從單純的水下防御向著立體化三維防御發(fā)展，艦船的遠(yuǎn)區(qū)磁場計(jì)算越來越受到科研人員的重視[1,2]。國外消磁工作者通過磁特征的基礎(chǔ)理論研究并結(jié)合磁場模型的仿真技術(shù)，使得磁場建模尤其是遠(yuǎn)區(qū)磁場建模技術(shù)得到了重大突破[3]。國內(nèi)艦船磁場計(jì)算方法也逐步從傳統(tǒng)的磁偶極子、磁偶極子陣列、旋轉(zhuǎn)橢球體陣列等算法向著基于現(xiàn)代計(jì)算機(jī)技術(shù)的微粒群、邊界元、有限元等算法發(fā)展[4]。

有限元算法適合處理非線性、多介質(zhì)問題，但隨著求解域的增大，其計(jì)算量成倍增加，對于開域無限空間的求解并不適用。邊界元法由于具有降維、高精度，又能良好適應(yīng)無限域、半無限域和奇異場的要求，所以可以有效適用于開域問題[5]。本文采用有限元－邊界元混合方法，將整個(gè)無限區(qū)域劃分為有限元區(qū)域和邊界元區(qū)域，通過艦船空間靜態(tài)磁場的計(jì)算仿真，驗(yàn)證了該方法的正確性、高精度及高效性。

1 艦船無限空間磁場計(jì)算方法

1.1 有限元算法

艦船在地磁場作用下會(huì)造成空間磁場畸變，可以看作是靜態(tài)弱磁場對鐵磁物質(zhì)的靜態(tài)可逆磁化過程。對艦船外部空間磁場分布的研究可以歸結(jié)為一個(gè)開域空間的靜態(tài)磁場問題。

在靜態(tài)磁場問題的求解中可以引入標(biāo)量磁位φ，磁場強(qiáng)度表示為

其中：-gradφ是的無旋分量（ 即rot(-gradφ)＝0），而為有旋分量或?yàn)榱?。有限元法靜磁場標(biāo)量模型的通用求解方程如下

有限元法就是將求解區(qū)域細(xì)分為大量的有限單元區(qū)域（如三角形），在每個(gè)單元區(qū)域中建立（2）式中方程。可以通過加勒金法或直接由目標(biāo)能量尋找法獲得定義域內(nèi)場的分布函數(shù)，此函數(shù)根據(jù)單元的節(jié)點(diǎn)取極值，然后將所有同節(jié)點(diǎn)有關(guān)的單元積分，給出一個(gè)設(shè)定節(jié)點(diǎn)磁勢（法線方向）多項(xiàng)式變分。這樣，每個(gè)節(jié)點(diǎn)產(chǎn)生一個(gè)等式，從而得到大量的聯(lián)立方程。解出這些方程，就可以確定每個(gè)節(jié)點(diǎn)的磁勢。對于磁特征的求解問題不可避免地要采用三維場的方法，但是采用標(biāo)量磁勢方程可以大大地減少未知參數(shù)的數(shù)量，因?yàn)槊總€(gè)節(jié)點(diǎn)只需一個(gè)變量，而不是像矢量磁勢方程那樣需要三個(gè)變量[6]。由于艦船幾何模型能很全面的反映艦船實(shí)際構(gòu)成，因此采用有限元法可較準(zhǔn)確地計(jì)算艦船近區(qū)磁場。

艦船近區(qū)磁場有限元計(jì)算流程依次是物理模型的選取，建立艦船的幾何模型、網(wǎng)格剖分、設(shè)置物理屬性，其中包括材料屬性、機(jī)械屬性、外部電路、再對求解進(jìn)行相應(yīng)的算法選取和參數(shù)設(shè)置，求解完后就進(jìn)行相應(yīng)的后處理。

1.2 邊界元算法

邊界元法的基本原理是根據(jù)場源周圍閉合曲面的外法線方向的方向?qū)?shù)求得閉曲面上的標(biāo)量磁位，進(jìn)而推算出閉曲面外周圍空間各點(diǎn)的標(biāo)量磁位分布，進(jìn)而可以推算出空間各點(diǎn)的三分量磁場值。假設(shè)有一閉合面S將磁場之“源”完全包于其內(nèi)，如下圖1所示艦船包絡(luò)面示意圖，稱S為邊界面，S之外的空間為場域V。

圖1 艦船包絡(luò)面示意圖

為研究有限場域內(nèi)的磁場分布，設(shè)u為標(biāo)量磁位，如果在邊界面S上，u或（u的法向?qū)?shù)）是已知的，則場域中任意一點(diǎn)的u都是唯一存在的。由邊界上u或的分布求場域中u的問題稱為磁場邊值問題。設(shè)艦船包絡(luò)面外的區(qū)域V(即遠(yuǎn)區(qū)換算點(diǎn))為待換算的區(qū)域，艦船包絡(luò)面S為V的邊界面，設(shè)V中任一點(diǎn)為M，包絡(luò)面上任一點(diǎn)為M0，則由格林第二公式，可推導(dǎo)出M0處的磁位值為：

式中r為M0至變點(diǎn)M的距離，為沿邊界面外法線方向的方向?qū)?shù)。

2 仿真算例

本文以電磁場仿真軟件FLUX為基本的仿真平臺(tái)進(jìn)行艦船開域空間磁場計(jì)算，法國CEDRAT公司的FLUX軟件被廣泛應(yīng)用于艦船磁場的計(jì)算及消磁繞組布置的設(shè)計(jì)[8,9]。FLUX封閉域求解基于有限元算法，可進(jìn)行艦船的復(fù)雜結(jié)構(gòu)、薄殼超大縱橫比、多介質(zhì)界面耦合仿真計(jì)算，同時(shí)還可以在無限區(qū)域耦合多類型的邊界條件，以求解艦船遠(yuǎn)區(qū)磁場。

第一步，根據(jù)計(jì)算需求，選擇FLUX軟件的靜態(tài)磁場三維求解器Magneto Static 3D進(jìn)行艦船靜態(tài)磁場仿真計(jì)算。

第二步，通過造型系統(tǒng)對艦船的主要?dú)んw部件進(jìn)行幾何模型建模，由于曲面造型難以進(jìn)行網(wǎng)格剖分，該模型對艦船曲面進(jìn)行了大量簡化，肋骨、設(shè)備、上層建筑也進(jìn)行了簡化處理，F(xiàn)LUX建模最大的特點(diǎn)是對于艦船殼體部分的簡化處理可以采取蒙皮模型，而非實(shí)體模型，該方法的好處是可以減少剖分網(wǎng)格量，也方便求解薄殼模型。如圖2所示，簡化艦船模型長100米，寬20米，高10米?？梢钥吹脚灤挥陔p層空氣包以內(nèi)，空氣包外壁邊界用于模擬開域問題來求解無窮遠(yuǎn)處的磁場問題。

圖2 簡化艦船幾何模型

第三步，模型的網(wǎng)格剖分。艦船形狀特殊，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，因此在剖分的過程中盡量使用只有四面體單元的剖分器，但不宜采用自動(dòng)剖分模式，手動(dòng)設(shè)定合適的網(wǎng)格大小，是保證求解精度的關(guān)鍵。如圖3所示，針對本文模型大小，剖分網(wǎng)格邊長設(shè)定為空氣包層 5000 mm，船模部分 1000 mm。為了滿足計(jì)算精度要求，剖分的過程中要保證雙層空氣包之間達(dá)到有效的網(wǎng)格量（大于 3層剖分單元）[10]。

圖3 艦船網(wǎng)格剖分圖

第四步，設(shè)置物理屬性。簡化艦船模型中的船體材料設(shè)置為兩種磁導(dǎo)率，殼體部分相對磁導(dǎo)率設(shè)定為100；甲板部分相對磁導(dǎo)率設(shè)定為300，厚度均為50 mm；其余部分全部設(shè)定為真空區(qū)域。為了方便分析磁場結(jié)果，外加磁場激勵(lì)設(shè)定為地磁單一分量，即武漢地區(qū)水平磁場強(qiáng)度34000 nT，空間均勻分布，艦船航向?yàn)楸焙较颉?/p>

第五步，求解及后處理。經(jīng)過計(jì)算求解完成之后，即可進(jìn)行后處理，如圖4所示，可查看艦船表面的磁場分布云圖。此外還可以在遠(yuǎn)區(qū)空間增加后處理測試線/面，查看開域空間靜磁分布。

圖4 艦船表面磁場分布云圖

3 結(jié)果分析

為了驗(yàn)證有限元邊界元混合方法在求解艦船開域空間磁場過程中的高效性，我們使用同樣的仿真模型，比較單純使用有限元和有限元邊界元混合方法求解過程中的計(jì)算資源消耗，如表1所示，有限元邊界元混合方法可將整個(gè)求解時(shí)間降低81%，極大提高艦船遠(yuǎn)區(qū)靜態(tài)磁場的求解效率。

表1 兩種算法求解效率對比表

同時(shí)，為了驗(yàn)證有限元邊界元混合方法在求解艦船開域空間磁場過程中的精度，我們建立了磁偶極子模型，將上述艦船模型等效為11個(gè)縱向均勻分布的磁偶極子陣列，通過100 m高度數(shù)據(jù)求解偶極子磁矩，然后推算其他高度磁場強(qiáng)度。求解結(jié)果對比如下圖5～圖8所示。

圖5 FLUX仿真與磁偶極子結(jié)果對比（上方50m）

從圖5結(jié)果可以看出，有限元邊界元混合方法能夠在近場區(qū)域保證更為豐富的艦船磁性特征，相比磁偶極子算法精度更高。從圖6-圖8結(jié)果可以看出，有限元邊界元混合方法同樣能夠在遠(yuǎn)區(qū)保證可靠的求解精度，與磁偶極子陣列模型相比，誤差控制在2%以內(nèi)。

圖6 FLUX仿真與磁偶極子結(jié)果對比（上方100m）

圖7 FLUX仿真與磁偶極子結(jié)果對比（上方500m）

圖8 FLUX仿真與磁偶極子結(jié)果對比（上方1000m）

4 結(jié)束語

本文分析了有限元邊界元混合法在艦船開域空間靜態(tài)磁場求解問題中的適用性，并以電磁場分析軟件FLUX作為仿真計(jì)算平臺(tái)，通過有限元邊界元混合法對艦船開域空間靜態(tài)磁場進(jìn)行了仿真計(jì)算，建立了艦船幾何模型，進(jìn)行了網(wǎng)格剖分，并深入探討了參數(shù)設(shè)置方法，得到了仿真計(jì)算結(jié)果。在艦船開域空間靜態(tài)磁場求解問題上，該方法具備高效、高精度等優(yōu)點(diǎn)，可應(yīng)用于工程實(shí)踐。

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