居民消費價格指數(shù)兩種預(yù)測模型的比較

邢 珺，張 婷

（對外經(jīng)濟貿(mào)易大學(xué) 國際經(jīng)濟貿(mào)易學(xué)院，北京 100029）

0 引言

CPI是反映一定時期內(nèi)居民購買生活消費品及服務(wù)支出費用價格變動的相對指標(biāo)。通過CPI可以觀測居民生活消費品及服務(wù)項目價格的變化規(guī)律，為政府制定經(jīng)濟政策，穩(wěn)定物價水平、實現(xiàn)經(jīng)濟增長、促進社會可持續(xù)發(fā)展提供科學(xué)的依據(jù)。

目前，我國的消費價格指數(shù)按對比基期不同，可以分為：以2000年價格為基期的指數(shù)（定基比），以上月價格為基期的指數(shù)（月環(huán)比），以上年同月價格為基期的指數(shù)（同期比），本年一月至報告期以上年同期價格為基期的指數(shù)（累計比）和以上年12月價格為基期的指數(shù)共五種。

謝佳利，楊善朝，梁鑫（2008）運用時間序列的幾個不同模型，對我國居民消費價格指數(shù)（CPI）的變化規(guī)律進行了比較研究，通過對我國2001年1月到2007年8月的CPI值建立帶有季節(jié)趨勢的ARIMA模型，并將該模型的相對誤差控制在1%以內(nèi)。郭海(2011)在考慮傳統(tǒng)假期因素的基礎(chǔ)上,對用同期環(huán)比數(shù)據(jù)進行預(yù)測的結(jié)果進行修正。董梅(2011)通過建立VAR模型,從影響CPI的因素著手，對未來36個月的CPI走勢進行定量預(yù)測，其結(jié)論為不會發(fā)生大規(guī)模通貨膨脹。肖曼君等(2008)通過建立ARIMA模型分析，分析了1990～2007年的通貨膨脹同期比數(shù)據(jù)，結(jié)果表明居民消費價格指數(shù)數(shù)據(jù)具有較長的滯后性。

之前學(xué)者對于CPI居民價格指數(shù)建立的ARIMA模型，由于其使用數(shù)據(jù)期限較短，所以避免了ARIMA模型在預(yù)測期限較長數(shù)據(jù)時的偏理性。然而，CPI左右衡量經(jīng)濟社會的重要指標(biāo)，其隨時間、季節(jié)等的變化而變化，故對CPI的趨勢分析，應(yīng)采取適宜較長期限結(jié)構(gòu)的模型。基于此，本文將采用目前國家統(tǒng)計局公布的我國1990年1月至2014年的6月同期比月度數(shù)據(jù)，綜合考慮數(shù)據(jù)的趨勢性與季節(jié)性，建立具有季節(jié)調(diào)整的SARIMA模型與X-12-ARIMA模型進行預(yù)測分析，并驗證相對于SARIMA模型，X-12-ARIMA調(diào)整模型在短期內(nèi)具有較高的預(yù)測精度。

1 模型介紹

1.1 SARIMA模型

SARIMA模型（Seasonal Auto-regressive Integrated Mov ing Average，季節(jié)性差分自回歸移動平均模型）是一種時間序列預(yù)測分析方法，它來源于自回歸單整移動平均模型（ARIMA），能夠采用Box-Jenkins的模型識別，估計和預(yù)測程序，能保障模型的預(yù)測精度而且很容易應(yīng)用于實時預(yù)測。SARIMA模型的一般形式為:

Φ(B)Φ(BS)(1-B)d(1-BS)Dyt=c+θ(B)Θ(BS)εT

其中，S和D分別表示階級周期的長度和季節(jié)差分的階數(shù)；BS表示季節(jié)后移算子；Φ(BS)=1-Φ1BS)-...-ΦPBSP；Θ(BS)=1-Θ1BS)-...-ΘPBSP，P和Q的含義分別與ARIMA模型中的p與q的含義相同。上式所表示的SARIMA模型被記為SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)S模型。

運用ARMA模型的前提條件是時間序列為零均值的平穩(wěn)隨機過程。對于包含趨勢性或季節(jié)性的非平穩(wěn)時間序列，需要經(jīng)過適當(dāng)?shù)闹鹌诓罘旨凹竟?jié)差分消除趨勢影響，再對形成的新的平穩(wěn)序列建立ARMA(p，q)模型進行分析。對于只包含趨勢性的原序列，可表示為ARIMA(p,d,q)模型(求和自回歸移動平均模型)，如果原序列同時包含趨勢性和季節(jié)性，則可表示為SARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s模型(乘積季節(jié)ARIMA模型)，d、D分別為逐期差分和季節(jié)差分的階數(shù)，p、q分別為自回歸和移動平均的階數(shù),P、Q分別為季節(jié)自回歸和季節(jié)移動平均的階數(shù)。

1.2 X-12-ARIMA季節(jié)調(diào)整模型

季節(jié)調(diào)整問題最初是在1919年由美國的經(jīng)濟學(xué)家提出的。1931年Macauley提出用移動平均比率法進行季節(jié)調(diào)整，成為了季節(jié)調(diào)整方法的基礎(chǔ)。1954年，Shiskin在美國普查局首先開發(fā)出在可計算機上運行的程序，對時間序列進行季節(jié)調(diào)整，被稱為X-1。此后，季節(jié)調(diào)整的方法每改進一次都以X加序號表示。

季節(jié)調(diào)整方法基于構(gòu)成因素分解剔除原始數(shù)據(jù)中季節(jié)性因素，美國的X-11程序以及它的升級版本X-12-ARIMA程序使用最為廣泛。在這些季節(jié)調(diào)整程序中，經(jīng)濟時間序列常常被分解為幾個相互正交的構(gòu)成因素：趨勢--循環(huán)因素、季節(jié)因素和不規(guī)則因素。常用的主要有乘法模型、加法模型、對數(shù)加法模型以及擬加法模型等四種模型。

X-12方法的基本思路是假設(shè)時間序列Yt有趨勢Tt—Trend、循環(huán)Ct-Cycle、季節(jié)St-Seasonal和不規(guī)則項It-Irregular等四部分的組成元素。為從Yt中消除季節(jié)因素St的影響，X-12采用了移動平均的方法。為改善序列Yt兩端的不對稱情況，加拿大統(tǒng)計局對X-12方法進行了改進，提出了X-12-ARIMA方法，也就是在采用X-12方法前，先使用ARIMA模型對序列Yt的兩端進行了延伸。

由于X-12方法具有上述強大的季節(jié)調(diào)整功能，我們將嘗試使用X-12季節(jié)調(diào)整方法對我國的消費價格指數(shù)作季節(jié)調(diào)整，并對居民消費價格指數(shù)進行預(yù)測。

2 實證分析

2.1 數(shù)據(jù)及變量說明

本文采取國家統(tǒng)計局公布的我國1990年1月至2014年6月的同期比月度數(shù)據(jù)，以1990年1月至2013年12月的數(shù)據(jù)為樣本建立SARIMA模型與X-12季節(jié)調(diào)整模型，用2014年1月至2014年6月這6個月的數(shù)據(jù)為參照數(shù)據(jù)，用SARIMA模型與X-12季節(jié)調(diào)整模型進行預(yù)測，與真實數(shù)據(jù)比較，分析對比兩種模型的預(yù)測精確度。

2.2 模型對比分析

2.2.1 SARIMA模型的擬合

（1）對原始數(shù)據(jù)進行平穩(wěn)性檢驗

采用Eviews6.0軟件，對同期比數(shù)據(jù)進行平穩(wěn)性檢驗。主要采用兩種方法檢驗該數(shù)據(jù)平穩(wěn)性。一是直接觀察序列的時序圖（如圖1，圖2），可以看出該數(shù)據(jù)有一定的趨勢，并且伴有季節(jié)波動；二是進行單位根檢驗，即ADF統(tǒng)計量檢驗，ADF統(tǒng)計量為-0.83，大于10%顯著性水平下的臨界值水平-1.61，即接受原單位根假設(shè)，原始數(shù)據(jù)CPI不平穩(wěn)。依據(jù)以上兩種方法檢驗均可判斷該序列是非平穩(wěn)的。

從圖1可以看出，CPI在1994年下半年到1995年之間，發(fā)生了較快增長，隨后從1995年下半年開始，CPI逐步下降，直到1998年開始，CPI微幅增長，到2004年至2005年，CPI遭遇小高峰，至2007年達到近些年來的最高點，隨后下降，2013年又有上升趨勢。

圖1 同期比居民消費價格指數(shù)時序圖

圖2 序列CPI的相關(guān)圖

（2）數(shù)據(jù)平穩(wěn)化處理

從圖中可以看到數(shù)據(jù)有一定下降的趨勢，并伴隨季節(jié)趨勢，所以對數(shù)據(jù)先進行一階普通差分，再進行十二步季節(jié)差分（即作d(CPI,1,12)變換），從而消除序列的長期趨勢和季節(jié)波動，最終使數(shù)據(jù)平穩(wěn)。經(jīng)過這樣的處理，數(shù)據(jù)的單位根檢驗結(jié)果如下：ADF單位根-6.69，小于1%顯著性水平下的臨界值-3.46，則拒絕原單位根假設(shè)，即處理后的數(shù)據(jù)不存在單位根，該數(shù)據(jù)平穩(wěn)。

（3）模型的識別，定階與參數(shù)估計

對于模型的識別，方法是觀察平穩(wěn)后的序列的相關(guān)圖，如圖2所示，該序列一，二階偏自相關(guān)較高及相關(guān)系數(shù)較高，并且數(shù)據(jù)仍然具有一定的季節(jié)相關(guān)，因為滯后十二階、滯后二十四階與滯后三十六階的AC值與PAC值明顯增大。

可以判斷該序列可能適應(yīng)以下幾種模型，分別對可能的模型進行估計，并做適應(yīng)性檢驗，即觀察殘差序列是否為白噪聲。通過檢驗分析，下列四種模型既可以通過參數(shù)顯著性檢驗，又可以通過適應(yīng)性檢驗，結(jié)果指標(biāo)對比見表1。

圖3 序列d(CPI,1,12)的相關(guān)圖

表1 不同階數(shù)模型的比較

上述模型對比得出，模型四AIC值最小，故模型四優(yōu)于其他三個模型此時，AIC值最小，調(diào)整后的R2值最大，DW值接近2。得出的參數(shù)估計結(jié)果如下：

(1+0.93B)(1-0.719B12-0.367B24)(1-B)(1-B12)CPIt=-0.014+(1-0.394B-0.203B2)(1-0.886B12)Ut t=(25.61)(-13.62)(-7.85)(-0.75)(-5.56)(-3.23)(-9639.56)

（4）模型的擬合性檢驗及預(yù)測

為更進一步確定模型選擇是否最優(yōu)，需要進行擬合檢驗，方法是選擇1990年1月到2013年12月的樣本數(shù)據(jù)回歸上述確定的模型，SARIMA(1,1,2)(2,1,1)12。然后利用模型預(yù)測2014年1月到2014年6月（共6個月）的數(shù)值并與已有的真值比較，觀察預(yù)測值與真實值的偏離程度，從而確定模型的擬合效果。通過計算可得這6個月預(yù)測誤差在10%以內(nèi)，該模型的擬合效果一般好。預(yù)測結(jié)果見表2。

表2 2014年1～6月預(yù)測值

通過表2的預(yù)測結(jié)果，可以看到SARIMA模型預(yù)測結(jié)果存在一定的系統(tǒng)性偏差，預(yù)測結(jié)果低于實際值，可能因為模型選擇主觀性較強，且SARIMA適用于短期預(yù)測，對于稍長數(shù)據(jù)期限則導(dǎo)致預(yù)測精度下降。對于樣本量的變化模型選擇比較敏感。

2.2.2 X-12季節(jié)調(diào)整分析

時間序列數(shù)據(jù)是隨時間變化記錄的，它的變動是綜合因素影響的結(jié)果，尤其是特殊時間段的影響，比如星期因素、節(jié)假日因素、季節(jié)因素等。X-12就是分解時間序列季節(jié)趨勢，長期趨勢以及不規(guī)則變動的一種重要方法，對居民消費價格指數(shù)的研究，也可以采用X-12分析，并在分析的基礎(chǔ)上進行預(yù)測。對于影響時間序列的各因素綜合作用的形式，通常有乘法模型、加法模型以及混合模型三種，其中乘法模型是最常用的。本文采用乘法模型，即CPI=T*S*I，其中T為長期趨勢，S為季節(jié)因素，I為不規(guī)則變動。

通過軟件內(nèi)置運算程序可以對數(shù)據(jù)進行分解，關(guān)鍵是如何預(yù)測。預(yù)測總的思想是：通過軟件將原始序列分解為CPI_SA（季節(jié)調(diào)整后的序列，也即長期趨勢），CPI_SF（季節(jié)因子，也即季節(jié)因素），CPI_IR（不規(guī)則變動），然后分別對這三個被拆分的序列進行預(yù)測得SAF，SFF，IRF，最終CPI的預(yù)測值CPI=SAF*SFF*IRF。由于季節(jié)因子相對穩(wěn)定，故SFF選擇上年同期的季節(jié)因子值，下面著重預(yù)測SAF與IRF。

（1）長期趨勢SAF的預(yù)測。

從長期趨勢CPI_SA的時間序列圖中可以看出曲線近似于一條拋物線，所以對數(shù)據(jù)進行拋物線擬合，得出結(jié)果如下：

可以看出雖然系數(shù)通過了檢驗，R2值較低，DW值接近于0，該模型明顯存在自相關(guān)。故在模型中引入AR(1)，重新估計，得到的結(jié)果中T2的系數(shù)不顯著，將T2去除后估計結(jié)果如下：可以看出擬合效果很好，模型的自相關(guān)得到了消除，并且對殘差做ADF檢驗知殘差是平穩(wěn)的，證明CPI_SA與時間T之間的相關(guān)關(guān)系是協(xié)整的：

最終確定模型為：

根據(jù)此模型對2014年1月到2014年6月的數(shù)據(jù)進行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果見表3：

表3 CPI_SA的預(yù)測值

（2）不規(guī)則變動的預(yù)測.

通過觀察不規(guī)則變動序列CPI_IR的相關(guān)圖，可以看出其非白噪聲。

從相關(guān)圖還可以看出，該序列與其自身滯后十二階的自相關(guān)系數(shù)和偏相關(guān)系數(shù)均比較大，且其滯后一階和二階自相關(guān)和偏自相關(guān)系數(shù)較大，經(jīng)過模型試算，最終采取模型如下：

CPIt=1.00+(1-0.2655B2)(1-0.5193B12)et

圖4 序列CPI_IR的相關(guān)圖

t=（14463）（-4.191）（-8.956）

DW=2.1 F=45.51 R2=0.29

根據(jù)選擇的模型對2014年1月到2014年6月的數(shù)據(jù)進行預(yù)測，預(yù)測結(jié)果見表4：

表4 不規(guī)則變動的預(yù)測值

（3）對CPI的預(yù)測

季節(jié)調(diào)整因子假設(shè)不變，故采取2013年的季節(jié)調(diào)整因子如表5所示：

表5 季節(jié)調(diào)整因子的預(yù)測值

根據(jù)以上的預(yù)測值對最終的CPI預(yù)測CPIF=SAF*SFF*IRF，得如下：

表6 X-12方法最終預(yù)測值

2.3 模型評價

兩種方法對于原始序列的擬合效果都不錯，都是可選的。從理論上來講，SARIMA模型對于數(shù)據(jù)的擬合采取方式為提取樣本數(shù)據(jù)包含時間信息，而X-12可以更好的刻畫建立數(shù)據(jù)長期趨勢模型，提取季節(jié)因子，對于不規(guī)則變動部分采取ARIMA模型的方式來估測數(shù)據(jù)，對數(shù)據(jù)的處理更完善，且更加穩(wěn)定，從本例的預(yù)測值來看，SARIMA模型的預(yù)測誤差在8%-9%之間，而X-12季節(jié)調(diào)整模型的預(yù)測誤差在2.0%以內(nèi)，其預(yù)測精度更高。下圖為兩種方法預(yù)測值的比較，從下圖可以看出，SARIMA模型對于居民消費價格指數(shù)的估計，容易存在系統(tǒng)性偏差，如在本文中，SARIMA模型的估算結(jié)果，穩(wěn)定的小于真實值，而X-12季節(jié)調(diào)整模型的估算結(jié)果，則與真實值服從相同的波動，故對于時間期限較長的數(shù)據(jù)，采用X-12季節(jié)調(diào)整模型容易得到更精確的估計結(jié)果。

圖5 兩種模型預(yù)測準(zhǔn)確度比較

3 結(jié)論

價格指數(shù)時間序列通常不僅受到趨勢性的影響，更主要的是受季節(jié)性成分的影響，目前主要采用ARIMA或者考慮季節(jié)調(diào)整的SARIMA模型進行預(yù)測。雖然SARIMA模型短期預(yù)測精度很高，預(yù)測值的相對誤差可以控制在1%以內(nèi)，但是隨著時間序列數(shù)據(jù)的跨期增多，其長期預(yù)測效果一般，相對誤差范圍在10%以內(nèi)。故可以采用X-12季節(jié)調(diào)整方法直接對價格指數(shù)類時間序列數(shù)據(jù)進行預(yù)測，該方法盡管一直以來被用來處理時間序列的原始數(shù)據(jù)，真正應(yīng)用于預(yù)測的并不多，但通過本文的分析可以看到，直接采用X-12季節(jié)調(diào)整模型對于中長期數(shù)據(jù)的預(yù)測效果較好，其相對誤差控制在2%以內(nèi)。2014年，預(yù)計我國短期內(nèi)將不會出現(xiàn)CPI的大幅波動，且CPI將高于同期比數(shù)據(jù)，短期內(nèi)我國消費價格指數(shù)也不會出現(xiàn)大幅回落的情況，高于去年同期比的物價水平將持續(xù)一段時間。

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