對聲學(xué)中振動的理想模型的討論

王 偉 楊慧琦

（遼寧工程技術(shù)大學(xué)，遼寧 阜新123000）

隨著時代的進(jìn)步，科技的發(fā)展，不僅聲學(xué)原有的分支不斷發(fā)展、拓延，而且新的分支也在不斷的滋生，它已經(jīng)滲透到我國國民經(jīng)濟(jì)與社會文化的各個領(lǐng)域，并也融入于當(dāng)代科學(xué)技術(shù)的前沿之中。正值新世紀(jì)的聲學(xué)正面臨新的機(jī)遇和挑戰(zhàn)，鑒于這種情形，準(zhǔn)確深刻的認(rèn)識聲學(xué)現(xiàn)象成為必然。而研究“聲學(xué)”的基礎(chǔ)是振動學(xué)。其原因有兩點(diǎn)：

（1）聲學(xué)現(xiàn)象的本質(zhì)就是傳聲媒質(zhì)（氣體、液體、固體等）質(zhì)點(diǎn)所產(chǎn)生的一系列力學(xué)振動傳遞過程的表現(xiàn)。

（2）聲波的發(fā)生（無論是自然產(chǎn)生或人工獲得）基本也來源于物體的振動。例如風(fēng)吹過時，由于樹葉振動而發(fā)出的“沙沙”的響聲；交響樂隊(duì)演奏時，各種樂器組合發(fā)出的優(yōu)美音樂。

由于聲是從物體振動而來，因而從物體的振動規(guī)律入手便可預(yù)知聲的一些規(guī)律。下面從質(zhì)點(diǎn)振動和簡單形狀彈性體的力學(xué)振動為例。

1 質(zhì)點(diǎn)振動

對于實(shí)際有一定的幾何大小的物體，其各部分振動狀態(tài)往往是不可能處處相等的。以一有限大小彈性體為例，對其一端進(jìn)行敲擊，那么該端的表面先發(fā)生形變，之后才能逐漸傳播開來，將其振動形式傳到端末。也就是說在某一瞬間，物體上各個位置的振動狀態(tài)是各不相同的，如果綜合考慮的話，研究最基礎(chǔ)的振動都會特別繁瑣。但是如果當(dāng)形變從物體的始端到末端的傳播所需時間，與物體中形變或振動振動周期相比短，或物體的線度比物體中振動波長小得多，我們就可以認(rèn)為這一物體的各部分振動狀態(tài)是均勻的，將這一振動系統(tǒng)看作質(zhì)點(diǎn)振動系統(tǒng)。在此基礎(chǔ)上，我們就對可將質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為Mm的堅(jiān)硬物體，系于彈性系數(shù)或勁度系數(shù)為Km的彈簧上，構(gòu)成一個簡單的振動系統(tǒng)。如圖，對于這個振動系統(tǒng)，在沒有外力擾動的情況下，物體的重力與彈力相平衡，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，取其靜止位置為坐標(biāo)原點(diǎn)。若在此初始時刻外力對物塊進(jìn)行力的作用（x方向拉動或推動質(zhì)量塊），此質(zhì)點(diǎn)就會在坐標(biāo)原點(diǎn)附近做往復(fù)振動，這種振動就稱為自由振動。在質(zhì)點(diǎn)這樣的理想化模型的前提下，就可以對單振子進(jìn)行合理化分析。假設(shè)質(zhì)點(diǎn)的振動為微小振動，沒有超過彈性限度范圍，則根據(jù)虎克定律便可以表示為

有時也常用其倒數(shù)Cm來表示，稱為順性性系數(shù)，或稱力順。負(fù)號表示質(zhì)點(diǎn)位移的方向與彈力的方向相反。分析該質(zhì)點(diǎn)的受力，按照牛頓第二定律可得

由函數(shù)畫出的波形圖，如圖1。

圖1

正是由于質(zhì)點(diǎn)這個物理理想模型的建立，才使得自由振動形式及規(guī)律更加簡明。在此基礎(chǔ)上，人們又相繼研究了振動速度，自由振動的能量，振動固有頻率，以及現(xiàn)實(shí)生活中當(dāng)考慮到彈簧質(zhì)量時的振動系統(tǒng)。為實(shí)際生活中強(qiáng)迫振動的研究提供了理論依據(jù)，從而更好的服務(wù)了人們的生活。

2 簡單形狀彈性體

現(xiàn)實(shí)問題中物體的線度同其振動的傳播波長常常是可以比擬的，例如振動質(zhì)量在空間連續(xù)分布，而且空間中一部分的質(zhì)量本身還包含著彈性和阻尼性質(zhì)，這樣的系統(tǒng)被稱為分布參數(shù)系統(tǒng)對于弦，自身的勁度與張力相比很小，在研究時，我們就可以忽略它，認(rèn)為此理想的弦是以張力作為彈性恢復(fù)力的振動彈性體。對長為l，兩端固定并被張緊的細(xì)繩，它的橫載面積與密度都均勻。靜止時，弦處于水平平衡位置，維持其平衡的是張力。某瞬間突然有一外力對它作用，之后撤掉外力，弦的各部分就會在張力作用下開始進(jìn)行與弦長垂直方向的往返振動。因?yàn)橄沂且粋€整體，其各部分的運(yùn)動還要向其他部分施加影響，即振動要進(jìn)行傳播，最后在弦上形成一定的振動形狀，即產(chǎn)生橫振動。

圖2

取弦的一個元段，如圖，以x和x+dx表示這一元段弦的兩個端點(diǎn)水平位置。設(shè)靜止時，弦處于水平位置，垂直位移η=0當(dāng)弦振動時，在x位置的弦離開平衡的垂直位移為η。對于微小振動，假設(shè)各元段的垂直位移η很小，此時張力T為一常數(shù)，單位為N。因?yàn)樽饔迷趚點(diǎn)的張力垂直分量為Fx=(T sinθ)x,方向向下，θ為弦在x點(diǎn)的切線方向與水平方向的夾角，它是x的函數(shù)；在x+dx點(diǎn)的垂直分量即是Fx+dx=(T sinθ)x+dx方向向上。于是作用在該元段上的垂直方向的合力就等于dFx=(T sinθ)x+dx-(T sinθ)x,整理可得設(shè)弦的密度為ρ，橫截面積為S，于是根據(jù)牛頓第二定律得該元段弦的運(yùn)動方程

因?yàn)樵芜x擇的任意性，所以此方程便可以用來描述弦上任意位置的運(yùn)動規(guī)律。在弦的振動方程基礎(chǔ)上，人們輕易得出自由振動的一般規(guī)律——弦振動的駐波解以及弦振動的能量。運(yùn)用這種物理理想化模型建立的思路，人們又將弦振動模型拓展到二維的棒振動以及三維的膜振動。對物體的振動的認(rèn)識更加全面化，具體化。

綜上分析，為了便于抓住本質(zhì)，突出事物與問題的主要矛盾，合理構(gòu)建理想化物理模型是很有必要的。這種物理學(xué)研究方法在聲學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用極大的促進(jìn)聲學(xué)事業(yè)的發(fā)展。所以，在物理學(xué)習(xí)的過程中，我們要特別注重對理想模型的理解、掌握，把握好這一概念的思維,讓問題迎刃而解。

［1］杜功煥,朱哲民,龔秀芳.聲學(xué)基礎(chǔ)[M].南京大學(xué)出版社,2012,5.