一類分?jǐn)?shù)階微分方程的解及其應(yīng)用

張　靜，雍丹丹，眭方微（成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院，四川成都610059）

一類分?jǐn)?shù)階微分方程的解及其應(yīng)用

張靜，雍丹丹，眭方微
（成都理工大學(xué)管理科學(xué)學(xué)院，四川成都610059）

通過(guò)應(yīng)用分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的拉普拉斯變換和二項(xiàng)式展開(kāi)系數(shù)，得出一類常系數(shù)齊次分?jǐn)?shù)階微分方程的精確解，實(shí)例展示了這一結(jié)果的有效性.

分?jǐn)?shù)階微分方程；Laplace變換；解析解

Zhang J,Yong DD,SuiFW.The Solution ofa Classof FractionalDifferential Equationsand its Applications[J].Journal of Yibin University,2015,15（6）：113-116.

分?jǐn)?shù)階微分方程具有深刻的物理學(xué)背景和豐富的理論內(nèi)涵，顧名思義分?jǐn)?shù)階微分方程就是指含有非整數(shù)階導(dǎo)數(shù)的方程.目前，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和分?jǐn)?shù)階積分在物理、機(jī)械工程和控制理論等領(lǐng)域發(fā)揮越來(lái)越重要的作用，如有混沌動(dòng)力行為的動(dòng)力系統(tǒng)、擬混沌動(dòng)力系統(tǒng)、復(fù)雜物質(zhì)或者多孔介質(zhì)的動(dòng)力學(xué)、具有記憶的隨機(jī)游走等.與整數(shù)階微分方程相比，分?jǐn)?shù)階微分方程能更好地描述某些自然物理現(xiàn)象和動(dòng)態(tài)系統(tǒng)過(guò)程.隨著分?jǐn)?shù)階微積分的廣泛應(yīng)用，越來(lái)越多的學(xué)者對(duì)其有著極大的關(guān)注.

1　基本定義

定義函數(shù) f（x）的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為[1-2]：

函數(shù) f（x）（0＜x＜∞）的Laplace變換：

由此不難得出[3]：

二項(xiàng)式系數(shù)定義為[4]：

其中n,k都是整數(shù).0!=1

Mittag-Leffler函數(shù)的定義為[5]：

2　分?jǐn)?shù)階微分方程的解

通過(guò)應(yīng)用Laplace變換研究：

的解析解，其中α∈（1,2）,β∈（1,2）,a,b∈?.

定理1若α∈[1,2],β∈[1,2],a,b∈?，當(dāng)α、β不同時(shí)為整數(shù)則定解問(wèn)題（1）、（2）、（3）的解為：

證明：由定義2對(duì)方程（1）進(jìn)行Laplace變換：

注記：①當(dāng)α、β同時(shí)為整數(shù)時(shí)，則方程（1）就是通常意義下的常系數(shù)常微分方程.

②方程（1）中，當(dāng)a=0時(shí)有：

定解問(wèn)題（2）、（3）、（5）的解為：

定理2若α∈[0,1],β∈[0,1],a,b∈?,當(dāng)α、β不同時(shí)為整數(shù),則下列定解問(wèn)題

的解為：

證明：對(duì)（7）進(jìn)行Laplace變換得：

注記：③當(dāng)α、β同時(shí)為整數(shù)時(shí)，則方程（7）就是通常意義下的常系數(shù)常微分方程.

④方程（7）中，當(dāng)a=0時(shí)有：

定解問(wèn)題（8）、（10）的解為：

3　計(jì)算實(shí)例

例1：廣義的粘性自由阻尼振蕩分?jǐn)?shù)階微分方程[6]

例2：解下列分?jǐn)?shù)階微分方程：

例3：求解下列簡(jiǎn)諧波方程[7].

解：①當(dāng)α∈（1,2]時(shí)，由注記2可得問(wèn)題（16）、（17）、（18）的解為y（x）=C0Eα,1（-bxα）+C1xEα,2（-bxα）.

②當(dāng)α∈（0,1]時(shí)，由注記4可得問(wèn)題（16）、（17）、（18）的解為y（x）=C0Eα,1（-bxα）.

4　結(jié)論

本文通過(guò)應(yīng)用Laplace變換討論得出了兩類常系數(shù)分?jǐn)?shù)階微分方程的解析解，通過(guò)實(shí)例對(duì)文章結(jié)果的應(yīng)用說(shuō)明了要求解該類分?jǐn)?shù)階微分方程的精確解，可以直接采用定理1和定理2的結(jié)論.

[1]KilbasAA,Srivastava HM,Trujillo JJ.Theory and applicationsof fractionaldifferentialequations[J].Elsevier,Amsterdam（2006）：236-240.

[2]MainardiF.The fundamentalsolutions for the fractionaldiffusion-waveequation[J].ApplMath Lett,1996：23-28.

[3]郭柏靈,蒲學(xué)科,黃鳳輝.分?jǐn)?shù)階偏微分方程及其數(shù)值解[M].北京：科學(xué)出版社,2011.

[4]陳紀(jì)修,於崇華,金路.數(shù)學(xué)分析[M].北京：高等教育出版社,2009.

[5]Vladimir V.Uchaikin.FractionalDerivatives for Physicistsand Engineers[M].Beingjing：Higher Education Press,2013.

[6]Gorenflo,R,Mainardi,F,Srivastava,HM.Special functions in fractional relaxation-oscillation and fractionaldiffusion-wave phenomena[C]//ainov D.Proceedingsof the Eighth InternationalColloquium on DifferentialEquations,Utrecht：VSPPublishers,1998：217-234.

[7]Lin SD,Lu C H.Laplace transform for solving some families of fractional differential equations and its applications[J].Advances in Difference Equations,2013：108-113.

（編校：許潔）

The Solution of a Class of Fractional Differential Equations and its App lications

ZHANG Jing,YONGDandan,SUIFangwei
（College ofAdministrative Science,Chengdu University ofTechnology,Chengdu,Sichuan 610059,China）

By using the fractional derivative of the Laplace transform and binomial expansion coefficient,the homoge?neous fractionaldifferentialequationswith constantcoefficientsofa classofexactsolutionswasobtained.Example shows the validity of the results.

fractionaldifferentialequation；Laplace transform；exactsolution

O177.91

A

1671-5365（2015）06-00113-04

2014-12-12修回：2014-12-30

張靜（1989-），女，碩士研究生，研究方向?yàn)閼?yīng)用泛函分析

網(wǎng)絡(luò)出版時(shí)間：2015-01-07 13：24網(wǎng)絡(luò)出版地址：http：//www.cnki.net/kcms/detail/51.1630.Z.20150107.1324.001.html

引用格式：張靜，雍丹丹，眭方微.一類分?jǐn)?shù)階微分方程的解及其應(yīng)用[J].宜賓學(xué)院學(xué)報(bào),2015,15（6）：113-116.