新課標(biāo)背景下高中數(shù)學(xué)概念教學(xué)的實(shí)踐與研究

【摘 要】概念是數(shù)學(xué)知識體系的重要組成部分，要學(xué)好數(shù)學(xué)必須先融會貫通數(shù)學(xué)概念。改建數(shù)學(xué)概念教學(xué)方式，提升數(shù)學(xué)概念教學(xué)水平，強(qiáng)化學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，是使學(xué)生融會貫通地掌握數(shù)學(xué)知識、增強(qiáng)思維能力的前提條件。目前，在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，還存在著對基本概念重視不夠，或雖重視但方法又欠科學(xué)的現(xiàn)象。要想糾正之，轉(zhuǎn)變觀念是關(guān)鍵，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)新穎情境，增強(qiáng)學(xué)生的好奇心和學(xué)習(xí)興趣，從而激活學(xué)生思維，提高學(xué)習(xí)效率。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 概念教學(xué) 教學(xué)策略

【中圖分類號】G632 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）10-0134-05

概念是數(shù)學(xué)知識體系的重要組成部分，要學(xué)好數(shù)學(xué)必須先融會貫通數(shù)學(xué)概念。數(shù)學(xué)家華羅庚曾說過：數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程就是不斷建立各種數(shù)學(xué)概念的過程。中學(xué)數(shù)學(xué)的顯著特點(diǎn)就是概念增多了，邏輯性增強(qiáng)了。僅在立體幾何這部分中就前后出現(xiàn)了平行、垂直、圓、異面直線等十幾個重要概念。在新課標(biāo)背景的高中數(shù)學(xué)新教材里共出現(xiàn)了340多個概念。數(shù)學(xué)的內(nèi)容展開，都建立在這些數(shù)學(xué)概念的基礎(chǔ)之上。如果理解掌握不了這些概念，后面的學(xué)習(xí)將不可能進(jìn)行。所以，改建數(shù)學(xué)概念教學(xué)方式，提升數(shù)學(xué)概念教學(xué)水平，強(qiáng)化學(xué)生對數(shù)學(xué)概念的理解，是使學(xué)生融會貫通地掌握數(shù)學(xué)知識、增強(qiáng)思維能力的前提條件。

一 當(dāng)前概念教學(xué)中存在的主要問題

在重視開放性教育的今天，中學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)更加靈活多樣，要改變“教師注入式”為“激勵學(xué)生主動參與式”，那么，調(diào)動學(xué)生的主體意識，讓學(xué)生親身參與到獲得概念的智力體驗(yàn)過程尤為重要。

目前，在數(shù)學(xué)概念的教學(xué)中，還存在著對基本概念重視不夠，或雖重視但方法又欠科學(xué)的現(xiàn)象，習(xí)慣于照本宣科，再讓學(xué)生反復(fù)抄寫背誦，教學(xué)缺乏創(chuàng)新精神，結(jié)果學(xué)生把概念背得滾瓜爛熟，但理解得不夠深透，掌握得模棱兩可，往往造成解題時(shí)漏洞百出。糾正之，轉(zhuǎn)變觀念是關(guān)鍵，教師應(yīng)創(chuàng)設(shè)新穎情境，增強(qiáng)學(xué)生的好奇心和學(xué)習(xí)興趣，從而激活學(xué)生思維，提高學(xué)習(xí)效率。

要提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，必須加強(qiáng)基礎(chǔ)知識和基本技能的教學(xué)，而概念教學(xué)又是“雙基”教學(xué)的核心，必須在教學(xué)中引起足夠的重視。長期以來，由于受應(yīng)試教育的影響，不少教師重解題、輕概念，造成數(shù)學(xué)概念與解題脫節(jié)的現(xiàn)象。有些教師僅僅把數(shù)學(xué)概念看作一個名詞而已，概念教學(xué)就是對概念作解釋，要求學(xué)生記憶。而沒有看到像函數(shù)、向量這樣的概念，本質(zhì)是一種數(shù)學(xué)觀念，是一種處理問題的數(shù)學(xué)方法。一節(jié)“概念課”教完了，也就完成了它的使命，剩下的是趕緊解題，造成學(xué)生對概念含糊不清，一知半解，不能很好地理解和運(yùn)用概念，嚴(yán)重影響了學(xué)生的解題質(zhì)量。

一般來講，在當(dāng)前概念教學(xué)中存在的主要問題是：

1.對數(shù)學(xué)概念教學(xué)的重要性和必要性理解不夠深刻

有教師認(rèn)為，概念教學(xué)無非是把一些數(shù)學(xué)名詞、術(shù)語交代明白，解釋清楚，因而在教學(xué)上習(xí)慣于采用注入式方法，硬灌給學(xué)生，不關(guān)注教學(xué)效果；還有些教師，雖然也講要重視概念，但由于不太了解概念形成的過程，很少去研究概念教學(xué)的規(guī)律，實(shí)際上并不清楚概念在數(shù)學(xué)中的地位和作用， 因而在教學(xué)時(shí)常常表現(xiàn)出心中無數(shù)，不能從理論的高度引導(dǎo)學(xué)生重視對概念的學(xué)習(xí)，更無法闡明概念在解題中的作用。

2.在概念教學(xué)中存在著缺乏計(jì)劃性和彼此割裂的現(xiàn)象

近年來，由于種種原因，不少教師特別是年輕教師對整個中學(xué)數(shù)學(xué)教材不熟悉，更缺乏研究，因此教概念常常是照本宣科、顧此失彼的。

例如，絕對值的概念，這是中學(xué)數(shù)學(xué)中的難點(diǎn)之一，由學(xué)習(xí)有理數(shù)運(yùn)算法則的需要而引入；在學(xué)習(xí)二次根式時(shí)，又由于 |a|與算術(shù)根聯(lián)系起來；到方程與不等式中又再次出現(xiàn)；在直角坐標(biāo)系中，因?yàn)閨x| ，它又是兩點(diǎn)間距離公式的特例；到高中，學(xué)習(xí)了函數(shù)知識后，還可以把實(shí)數(shù)的絕對值規(guī)定為|a|=max{-a，a}；在復(fù)數(shù)里，復(fù)數(shù)的模又可以理解為實(shí)數(shù)的絕對值概念的推廣。不難設(shè)想，一位對這些知識不太了解的教師，很難將這一概念的教學(xué)任務(wù)和要求分階段有計(jì)劃的完成得恰到好處。因而，為了進(jìn)一步搞好概念教學(xué)，必須有計(jì)劃的逐步提高我們掌握教材的水平，努力做到熟悉中學(xué)數(shù)學(xué)教材的全部內(nèi)容。

3.在概念教學(xué)中，不能自覺地運(yùn)用邏輯知識而影響概念教學(xué)的質(zhì)量

目前，許多年輕老師的邏輯知識功底較差，對概念的內(nèi)涵、外延，定義的結(jié)構(gòu)和法則，分類法則，以及對概念的限制和擴(kuò)大等不甚了解，因而概念教學(xué)質(zhì)量不高。有的教師甚至不太了解“凡是定義都是一種特殊的命題”，不清楚命題中的條件與結(jié)論互為充要條件，即原命題是正確的，逆命題也是對的。

二 數(shù)學(xué)概念教學(xué)的基本策略

對于數(shù)學(xué)概念，即使是最簡單的原始概念，也不能望文生義，只從表面上理解其意義。在現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師既要準(zhǔn)確地把握它的本質(zhì)（這是掌握概念的基礎(chǔ)），又要充分了解和掌握它的外延（這樣才有利于概念的理解和擴(kuò)展）。同時(shí)，要對概念中的各種條件、各項(xiàng)規(guī)定、各個關(guān)鍵詞都要逐一分析、深度挖掘、綜合理解，使學(xué)生對之印象清晰，掌握牢固。

一般地講，圍繞一個數(shù)學(xué)概念，應(yīng)力求明了下列各個方面的問題：（1）這個概念討論的對象是什么？有何背景？（2）概念中有哪些規(guī)定和條件？它們與過去的知識有什么聯(lián)系？這些規(guī)定和條件的確切含義又是什么？（3）概念的名稱、術(shù)語有什么特點(diǎn)？與日常用語比較，與其他概念、術(shù)語比較，有沒有容易混淆的地方？應(yīng)當(dāng)如何強(qiáng)調(diào)這些區(qū)別？（4）這些概念有沒有重要的等價(jià)說法？為什么等價(jià)？（5）根據(jù)概念中的條件和規(guī)定，能夠歸納出哪些基本性質(zhì)？各個性質(zhì)又分別由概念中哪些因素（或條件）所決定？這些性質(zhì)在應(yīng)用中有什么作用？能否派生出一些重要的數(shù)學(xué)思想方法？等。

例如，函數(shù)概念，它最早出現(xiàn)于初中數(shù)學(xué)。事實(shí)上，在此之前，教材中對于函數(shù)的觀點(diǎn)已多有滲透。到了高中，這個概念又進(jìn)一步深化，成為貫穿整個高中數(shù)學(xué)知識的一條主線。在高中數(shù)學(xué)引進(jìn)“映射”概念之后，首先復(fù)述了初中學(xué)過的函數(shù)定義：“如果在某變化過程中有兩個變量x，y，并且對于x在某個范圍內(nèi)的每一個確定的值按照某個對應(yīng)法則，變量y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，那么y就是x的函數(shù)，x叫做自變量，x的取值范圍叫做函數(shù)的定義域，和x的值對應(yīng)的y值叫函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域?！苯又?，從映射的觀點(diǎn)出發(fā)，又作了如下的陳述：“映射f∶A→B包括三個部分：原象集合A、象所在的集合B以及從A到B的對應(yīng)法則f。當(dāng)集合A、B都是非空的數(shù)的集合，且B的每一個元素都有原象時(shí)，這樣的映射f∶A→B都是定義域A到值域B上的函數(shù)。”最后指出，“數(shù)是由定義域、值域以及定義域到值域上的對應(yīng)法則三部分組成的一類特殊的映射?！?/p>

教材中，關(guān)于函數(shù)概念的表述就只有這么多文字。但是“函數(shù)”這個詞，以及形形色色的具體函數(shù)和抽象函數(shù)的研究和討論，教材中卻幾乎處處可見。因而，對于函數(shù)這個基本和重要的概念，絕不是簡單地僅僅根據(jù)這段文字向?qū)W生作些詮釋和強(qiáng)調(diào)就能奏效的，必須按上述的方方面面逐步深入地引導(dǎo)學(xué)生去理解和掌握。也就是說：

第一，根據(jù)教材對“函數(shù)”這個概念所給出的定義，作為初步認(rèn)識，要讓學(xué)生知道：函數(shù)研究的對象是兩個有著主從依賴相互制約的確定關(guān)系的變量。在客觀世界中，廣泛存在著這樣的變量。如：正方形的面積隨邊長的大小而變化，邊長給定，面積也隨之確定；物體做勻速直線運(yùn)動時(shí)，如果速度不變，運(yùn)動時(shí)間給定后，則路程的長短也隨之確定等。

第二，變量y要成為變量x的函數(shù)，除通常理解的主從依賴關(guān)系外，還必須滿足下列條件：（1）變量x和y分別在一定的取值范圍內(nèi)變化，取值范圍可用數(shù)的集合A和B表示；（2）y隨x而變，有確切的規(guī)則可循，即存在著一個對應(yīng)法則，根據(jù)這個法則，對于數(shù)集A中的每一個x的值，數(shù)集B中都有唯一確定的y值與它對應(yīng)。至于A 中不同的兩個x的取值，它們所分別對應(yīng)的y值是否相同，卻是無關(guān)緊要的。

不難看出，從變量之間的變化關(guān)系著眼建立函數(shù)概念的關(guān)鍵不是研究變量自身或者自身變化的特點(diǎn)，而是注重兩個變量的取值范圍（即數(shù)集A和B）之間的一種特殊的對應(yīng)關(guān)系。因而，函數(shù)的實(shí)質(zhì)是“由定義域、值域和一種滿足特定條件的對應(yīng)法則等三部分組成”。

最后，滿足一般函數(shù)定義的各種具體函數(shù)，按其自身特點(diǎn)還會派生出各自的性質(zhì)和研究方法。然而，萬變不離其宗，它們?nèi)詫⑦m合函數(shù)的一般概念和性質(zhì)。因而，函數(shù)的一般概念和性質(zhì)應(yīng)是教學(xué)中貫穿始終的脈絡(luò)。

三 數(shù)學(xué)概念教學(xué)過程的三個階段及教學(xué)措施

1.概念的引入——拋磚引玉，引人入勝

縱觀數(shù)學(xué)的發(fā)展史，數(shù)學(xué)概念的形成都是在歷史和現(xiàn)實(shí)的千呼萬喚中產(chǎn)生的，都有其自然和深刻的背景。即使有些概念是由單純的數(shù)學(xué)的發(fā)展而引入，但人們總會努力尋找這個概念與其他學(xué)科的聯(lián)系，使人們感到數(shù)學(xué)概念不是強(qiáng)加在他們頭上的遠(yuǎn)離生活的抽象物。所以，教師應(yīng)該首先設(shè)法消除學(xué)生心理上的神秘感和恐懼感，讓他們知道面對的內(nèi)容是什么，解決什么問題。好的概念引入不僅使學(xué)生順利地進(jìn)入新的教學(xué)情境，幫助他們從本質(zhì)上認(rèn)識和把握概念，而且因勢利導(dǎo)，激發(fā)他們濃厚的學(xué)習(xí)興趣和執(zhí)著求索的強(qiáng)烈熱情。所以人們說：“良好的開端是成功的一半?！痹谝脒^程中，需要做好以下幾點(diǎn)：

第一，順應(yīng)認(rèn)知規(guī)律。人們對客觀事物的認(rèn)識總是在感覺、知覺和表象的基礎(chǔ)上，從低級到高級，從現(xiàn)象到本質(zhì)，通過對感性材料的分析、比較、去偽去粗，舍棄非本質(zhì)的細(xì)節(jié)，從中概括出本質(zhì)屬性，才形成正確的概念。所以，在引入時(shí)，教師應(yīng)著眼于增強(qiáng)學(xué)生的感性認(rèn)識，給學(xué)生提供盡量豐富的背景材料和典型的基本事實(shí)，盡可能從他們身邊熟悉的事物或已有的生活經(jīng)驗(yàn)入手，使內(nèi)容直觀、生動、鮮活，以喚起他們強(qiáng)烈的求知欲望。

如在講“一一映射”的概念時(shí)，為了形象具體地感知“一一映射”的概念，教師可以舉身邊的實(shí)例。如設(shè)A={本班的學(xué)生}，B={學(xué)生坐著的椅子}，并規(guī)定（1）一個學(xué)生只能坐一把椅子，這就是從A到B的映射。（2）不同的學(xué)生坐不同的椅子，這就是A中的不同元素在B中的象也不同。（3）每把椅子上都坐著學(xué)生，這就是B中的每一個象在A中都有原象。由此例引入“一一映射”的概念，學(xué)生較易感知和理解。

第二，掌握學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)家認(rèn)為： 學(xué)生的學(xué)習(xí)是以一切現(xiàn)有的認(rèn)知發(fā)展水平為出發(fā)點(diǎn)，所以概念教學(xué)只有與學(xué)生的認(rèn)知水平相適應(yīng)，才能促進(jìn)學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展。而概念教學(xué)得以展開的根本原動力正是學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新概念之間的矛盾。當(dāng)碰到新概念時(shí)，用已有的知識不能解決，這樣就產(chǎn)生了矛盾。如果學(xué)生意識到這種矛盾，教師根據(jù)新概念與學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)間的差異去制造一種適當(dāng)?shù)拿芮榫?，使這種矛盾在學(xué)生的內(nèi)部產(chǎn)生激化，就能促進(jìn)學(xué)生展開全面分析、綜合活動、消除矛盾、掌握概念。所以，教師把握好學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)狀況是極其重要的。

例如：在函數(shù)的零點(diǎn)這一數(shù)學(xué)概念教學(xué)中，在學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)上，一般認(rèn)為零點(diǎn)是點(diǎn)，應(yīng)該既有橫坐標(biāo)，又有縱坐標(biāo)。顯然這種理解是錯誤的，這就需要老師幫助學(xué)生強(qiáng)化：函數(shù)f（x）的零點(diǎn) 方程f（x）=0的根 函數(shù)f（x）圖像與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

又如在立體幾何中，二面角的概念是“平面內(nèi)的一條直線把平面分為兩部分，其中的每一部分都叫做半平面，從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角”，這與通常所講的角的概念“從一點(diǎn)引出的兩條射線所組成的圖形叫角”是有本質(zhì)區(qū)別的。

第三，注意語言的表述。語言要準(zhǔn)確、清晰、簡明、通俗，富有啟發(fā)性和感染力，讓學(xué)生聽得清楚、容易理解、產(chǎn)生樂趣。精彩的語言不僅使學(xué)生的注意力集中，逐步把他們的思維引向深處，而且讓他們深切地感受到，數(shù)學(xué)不是一門枯燥無味、令人窒息的學(xué)科，而是充滿激情、富有哲理、情理相容的生氣勃勃的學(xué)科，從而大大激發(fā)他們學(xué)習(xí)的潛能，積極主動地探求知識。

2.概念的形成——循序漸進(jìn)，潛移默化

概念的形成是一個對某類事物共有本質(zhì)不斷辨別、抽象、概括的思維過程，是概念教學(xué)最重要的過程。在此過程中，如何調(diào)動學(xué)生的積極性、主動性和創(chuàng)造性是關(guān)鍵，所以應(yīng)做好以下幾點(diǎn)：

第一，發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用，充分體現(xiàn)學(xué)生的主體地位。在教學(xué)過程中，教師發(fā)揮引導(dǎo)、示范、組織、點(diǎn)撥、激勵的主導(dǎo)作用，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體和決定因素。實(shí)踐告訴我們，學(xué)生的學(xué)習(xí)是一個復(fù)雜的過程。很多時(shí)候，教師講得清楚、透徹，學(xué)生不一定就學(xué)會了；教師講得生動，也不等于學(xué)生一定有收獲。學(xué)生掌握知識提高能力的最有效途徑是持續(xù)、主動地自我學(xué)習(xí)，自己親自實(shí)踐、親自體驗(yàn)。所以，一切教學(xué)活動只有通過學(xué)生的自身活動才容易被接受。那么如何讓學(xué)生通過自己的活動，積極主動地參與課堂教學(xué)的學(xué)習(xí)呢？蘇聯(lián)教育家蘇霍姆林斯基說：“在人的心靈深處都有一種根深蒂固的需要，那就是希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者和探索者?！币虼私處煈?yīng)想方設(shè)法為學(xué)生制造一種探索的氛圍，激發(fā)他們“發(fā)現(xiàn)”的樂趣和愿望，讓他們具有一個“發(fā)現(xiàn)者”的心理狀態(tài)，在比較中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從變化中尋求本質(zhì)。他們通過自己的猜測、思考、探索，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的結(jié)論，體味數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的艱辛和樂趣，嘗試探索的甘甜和成功的喜悅。

所以有人說：“數(shù)學(xué)不是靠教師教會的，而是在教師的指導(dǎo)下，靠學(xué)生自己學(xué)會的?！?/p>

第二，及時(shí)準(zhǔn)確地捕捉學(xué)生思維的興奮點(diǎn)，把握啟發(fā)的時(shí)機(jī)。如果一堂數(shù)學(xué)課設(shè)計(jì)合理，非常生動，讓學(xué)生感覺娓娓道來，教師就會把學(xué)生的思維牢牢吸引住，就會引導(dǎo)學(xué)生積極思維，緊跟教師的步伐，共同合作探究。比如，遇到疑難之處，如果教師能夠引導(dǎo)學(xué)生自己分析問題、發(fā)現(xiàn)問題，學(xué)生就會思考，這里該怎么辦，是怎么回事？如果教師沒有充分備課、備學(xué)生，沒有考慮到這一點(diǎn)，只顧自己講下去，而大多數(shù)學(xué)生的思維仍然停留在前面那個問題上，根本聽不進(jìn)下面教師講的內(nèi)容，其效果肯定很差。但如果教師能及時(shí)地暗示學(xué)生這里有內(nèi)容問題，怎么辦，學(xué)生就有“豁然開朗”、“正中下懷”、“順其自然”的感覺，聽得津津有味。

例如，在定積分概念的形成中，我們以計(jì)算曲邊梯形的面積為例。學(xué)生開始對“曲邊”而非“直邊”無從下手，可以先舉兩個簡單的例子：地球近似于橢圓，但在我們腳下的部分是平的；拱橋是弧形的，但砌成的磚是直的，為什么？學(xué)生的思維頓時(shí)活躍起來，原來只要把整體劃分為一個個細(xì)小的局部，這些細(xì)小的曲邊梯形就近似于矩形，而且劃分越細(xì)越接近。這樣“以曲化直”“以直代曲”問題不就解決了嗎？

第三，適當(dāng)加強(qiáng)對概念的物理應(yīng)用的講解。物理科學(xué)不僅給了我們數(shù)學(xué)求解問題的機(jī)會，而且還幫助我們發(fā)現(xiàn)解決問題的方法。微積分的起源與物理問題密切相關(guān)，許多數(shù)學(xué)問題從物理學(xué)中產(chǎn)生，不少數(shù)學(xué)理論正是為處理深刻的物理問題而得以發(fā)展。所以，在教學(xué)中，教師不僅要重視講解幾何意義，而且應(yīng)當(dāng)適當(dāng)加強(qiáng)對物理方面應(yīng)用的講解. 這樣更有利于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解和開闊視野，增強(qiáng)解決實(shí)際問題的能力。

例如，在講授向量的加法時(shí)，作為高中數(shù)學(xué)中這一全新的領(lǐng)域，教師授課時(shí)最好聯(lián)系學(xué)生學(xué)過的相關(guān)物理知識。向量加法的平行四邊形法則應(yīng)連系物理中力的合成，三角形法則應(yīng)連系物理中物體的位移，這樣講解學(xué)生更容易接受向量的相關(guān)知識。

第四，抓住概念間的內(nèi)在聯(lián)系，通過新舊概念的對比，形成正確的概念。數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)的科學(xué)，數(shù)學(xué)知識則是由概念和原理組成的體系，每一個概念總要與其他概念發(fā)生聯(lián)系，每一個概念都包含于一定的體系中。當(dāng)學(xué)生領(lǐng)會了所學(xué)概念在整個體系中的地位和作用之后，才能深刻地理解、牢固地記憶、靈活地應(yīng)用。

3.概念的鞏固——對癥下藥，觸類旁通

一種思想、一種觀念的形成絕非一蹴而就，人們對客觀事物的認(rèn)識不能一次完成。數(shù)學(xué)概念的學(xué)也必須經(jīng)過從生動的直觀到抽象的思維，再從抽象的思維到實(shí)踐，這樣多次反復(fù)，逐步精確，才能完成。所以概念形成之后的深化和鞏固顯得尤為重要，為此，應(yīng)做好以下幾點(diǎn)：

第一，拓寬概念的外延，建立系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)。內(nèi)涵是概念的質(zhì)的方面，它說明所反映的事物的本質(zhì)；外延是概念的量的方面，它說明所反映事物范圍。研究表明，學(xué)生在未達(dá)到認(rèn)知完善化和缺乏積累的經(jīng)驗(yàn)背景時(shí)，所學(xué)到的概念肯定是一定的變化范圍的。隨著所學(xué)概念的增多，概念間的聯(lián)系也變得越來越復(fù)雜，零散的知識不僅會讓學(xué)生的思維混亂、模糊不清，而且容易產(chǎn)生厭學(xué)心理，失去學(xué)習(xí)的信心。所以，重視概念間的內(nèi)在聯(lián)系，注意把個概念放到概念的相互聯(lián)系中，有助于學(xué)生從一個新的高度上來明確概念的內(nèi)涵和外延，減少張冠李戴、丟三落四的錯誤發(fā)生。

例如，三角函數(shù)的定義，經(jīng)歷了以下三個循序漸進(jìn)、不斷深化的過程：（1）用直角三角形邊長的比刻畫的銳角三角函數(shù)的定義。（2）用點(diǎn)的坐標(biāo)表示銳角三角函數(shù)的定義。（3）任意角的三角函數(shù)的定義。（4）復(fù)數(shù)的三角函數(shù)的定義。

由此概念衍生出：（1）三角函數(shù)值在各個象限的符號；（2）三角函數(shù)線；（3）同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；（4）三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)；（5）三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式等。

可見，三角函數(shù)的定義在三角函數(shù)教學(xué)中可謂重中之重，是整個三角部分的奠基石，它貫穿于與三角有關(guān)的各部分內(nèi)容并起著關(guān)鍵作用。“磨刀不誤砍柴工”，重視概念教學(xué)，挖掘概念的內(nèi)涵與外延，有利于學(xué)生理解概念。

第二，及時(shí)反饋，增進(jìn)了解。教師有針對性、有計(jì)劃地從概念內(nèi)涵的幾個方面精選習(xí)題給學(xué)生練習(xí)。一方面通過練習(xí)，教師可以對學(xué)生掌握的情況有較全面的了解，同時(shí)也是對自身教學(xué)內(nèi)容的自我檢測和教學(xué)方法上的自我反?。?教法是否得當(dāng)？闡述得是否準(zhǔn)確而深入淺出？教學(xué)安排是否合理？是否有利于學(xué)生主動性的發(fā)揮？提問是否確切？是否具有啟發(fā)性？是否有利于學(xué)生能力的培養(yǎng)？教學(xué)目的是否達(dá)到？等。從而及時(shí)調(diào)整和改進(jìn)教學(xué)方法和過程，啟發(fā)和引導(dǎo)學(xué)生對概念正確理解。另一方面，學(xué)生通過自己在習(xí)題中所犯錯誤的反復(fù)思考，以及尋找導(dǎo)致錯誤的緣由，及時(shí)糾正錯誤和偏差，消除概念理解的不準(zhǔn)確性。這不是通過記住別人所給的答案能實(shí)現(xiàn)的，它是學(xué)生通過自己的體驗(yàn)而建構(gòu)的，是知識完善化的結(jié)果。

第三，加強(qiáng)概念的綜合應(yīng)用。緊扣數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，配備具有引導(dǎo)功能的例題組織教學(xué)，有助于強(qiáng)化概念間的聯(lián)系，鞏固概念網(wǎng)絡(luò)，加深理解概念。

例如，下面是兩個用概念來解題的例子：問題1：在ΔABC中，AB=6，AC+BC=10，求頂點(diǎn)C軌跡方程。問題2：AB為過拋物線y2=2px焦點(diǎn)F的弦，求證：以AB為直徑的圓必與準(zhǔn)線相切。

又如，當(dāng)學(xué)習(xí)完“向量的坐標(biāo)”這一概念之后，在進(jìn)行向量的坐標(biāo)運(yùn)算時(shí)，教師可提出問題：已知平行四邊形ABCD的三個頂點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)分別是（0，0）、（2，3）、（5，7），試求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)。對于此問題，學(xué)生展開了充分的討論，不少學(xué)生運(yùn)用平面解析幾何中學(xué)過的知識（如兩點(diǎn)間的距離公式、斜率、直線方程等），結(jié)合平行四邊形的性質(zhì)，提出了多種不同的解法：有的學(xué)生應(yīng)用共線向量的概念給出了解法，有的學(xué)生運(yùn)用所學(xué)向量坐標(biāo)的概念，將點(diǎn)D的坐標(biāo)和向量AC的坐標(biāo)聯(lián)系起來，巧妙地解答了這一問題?？梢?，學(xué)生通過對問題的思考，不僅復(fù)習(xí)、鞏固了舊的概念，而且很快就投入到對新概念的探索中去。

應(yīng)用的廣泛性是數(shù)學(xué)的特征之一，正是數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用推動了其他學(xué)科和自身的發(fā)展。數(shù)學(xué)教育的目的不僅是教給學(xué)生數(shù)學(xué)知識，而且更重要的是培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識。從知識的掌握到知識的應(yīng)用不是一件簡單、自然就能實(shí)現(xiàn)的事情，沒有充分的有意識的訓(xùn)練，學(xué)生的應(yīng)用意識不會形成。所以，在日常教學(xué)中，結(jié)合教學(xué)的內(nèi)容向?qū)W生介紹大量的、范圍廣闊的應(yīng)用實(shí)例，讓學(xué)生經(jīng)歷再發(fā)現(xiàn)和再創(chuàng)造的過程，從而真正理解而不是形式上的記住。

在數(shù)學(xué)知識實(shí)踐化，實(shí)際問題數(shù)學(xué)化面前，他們深刻體會到，數(shù)學(xué)來源于生活，生活離不開數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)有用，用數(shù)學(xué)有樂，真正實(shí)現(xiàn)了有意義的學(xué)習(xí)。當(dāng)然，概念教學(xué)并非每個概念都要求追溯其源，探求其本，但對重要的概念務(wù)必竭力使學(xué)生了解它的發(fā)生過程和思維過程，才能收到良好的教學(xué)效果。

總之，研究數(shù)學(xué)概念教學(xué)方式，創(chuàng)新數(shù)學(xué)概念教學(xué)方法，使學(xué)生透徹地牢固地理解掌握數(shù)學(xué)概念是提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量的癥結(jié)所在，一個數(shù)學(xué)教師首先應(yīng)該認(rèn)識到數(shù)學(xué)概念教學(xué)可以加強(qiáng)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識教學(xué)，幫助學(xué)生發(fā)展和強(qiáng)化數(shù)學(xué)的創(chuàng)新意識和應(yīng)用意識，幫助學(xué)生培養(yǎng)空間想象能力和邏輯思維。因此，在概念教學(xué)中，要根據(jù)“課標(biāo)”對概念教學(xué)的具體要求，創(chuàng)造性地使用教材，優(yōu)化概念教學(xué)設(shè)計(jì)，把握概念教學(xué)過程，真正使學(xué)生在參與的過程中產(chǎn)生內(nèi)心的體驗(yàn)和創(chuàng)造，達(dá)到認(rèn)識數(shù)學(xué)思想和本質(zhì)的目的，從而收到良好的教學(xué)效果。

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