數(shù)學(xué)解題中的猜想方法探索

摘 要：本文結(jié)合數(shù)學(xué)解題中由猜想得到的一些數(shù)學(xué)結(jié)論出發(fā)，給出了引入猜想的幾種渠道，分析了在數(shù)學(xué)課堂進(jìn)行合理猜想的方法，結(jié)合數(shù)學(xué)課堂的實(shí)際教學(xué)情況，闡述了猜想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)；猜想；解題；

中圖分類(lèi)號(hào)：O1-0 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-3520（2014）-07-00-02

猜想在數(shù)學(xué)發(fā)展中有著不可忽視的作用，“先猜后證”不僅是研究數(shù)學(xué)的基本方法，同時(shí)也是學(xué)好數(shù)學(xué)、培養(yǎng)創(chuàng)造性才能的重要途徑。在數(shù)學(xué)課堂上適當(dāng)?shù)膽?yīng)用數(shù)學(xué)猜想，能夠縮短解決問(wèn)題的時(shí)間，開(kāi)發(fā)學(xué)生的智力，鍛煉學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，提高學(xué)生的邏輯思維能力，而且還可以培養(yǎng)學(xué)生克服困難的堅(jiān)強(qiáng)意志，自始至終地主動(dòng)參與、體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)探索的過(guò)程。

本文結(jié)合數(shù)學(xué)解題中由猜想得到的一些數(shù)學(xué)結(jié)論出發(fā)，給出了引入猜想的幾種方法（渠道）。

一、猜數(shù)字規(guī)律

很多數(shù)學(xué)題在解答之前學(xué)生不知道如何來(lái)求解。所以，可借助于數(shù)學(xué)猜想進(jìn)行探索。雖然猜想僅是根據(jù)直覺(jué)做出判斷，并不完全可靠，但很多時(shí)候猜想可能使我們?cè)竭^(guò)常規(guī)思維的步驟，而直接去感受那些未曾出現(xiàn)過(guò)的東西，從而找到解題思路。

有些數(shù)學(xué)題的內(nèi)部規(guī)律很不明顯，學(xué)生一時(shí)理不出頭緒來(lái)，感覺(jué)很難解出來(lái)。這時(shí)，老師可以引導(dǎo)學(xué)生放棄常規(guī)思想，大膽猜想問(wèn)題中隱含的規(guī)律，一旦猜想出其中的規(guī)律，問(wèn)題就迎刃而解了。

例10 計(jì)算： 。

分析 這道題直接求和太麻煩了，應(yīng)先讓學(xué)生仔細(xì)觀察上式，他們會(huì)發(fā)現(xiàn)式子 與 中等號(hào)左邊的式子類(lèi)似，于是想到把題中的每個(gè)加數(shù)分別分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之差，并且前一個(gè)數(shù)分解出的減數(shù)與后一個(gè)數(shù)分解出的減數(shù)相同，這樣就可以逐一消去了。

因?yàn)?/p>

，

，

……

所以

=

=

=

=

。

通過(guò)猜想找到規(guī)律很容易就解出了這道題，而且也縮短了解題的時(shí)間。

二、猜解題方法

解題方法是根據(jù)問(wèn)題所提供的信息來(lái)確定的，如果問(wèn)題所提供的信息很隱蔽，不容易發(fā)現(xiàn)其內(nèi)在聯(lián)系，那么，最好是憑借直覺(jué)思維，先猜猜解題方法。

例11 如鐘表上，分針、時(shí)針的重疊問(wèn)題是學(xué)生很頭痛的問(wèn)題，教學(xué)時(shí)，教師可以投影一個(gè)鐘表，讓學(xué)生發(fā)表自己的意見(jiàn)，可以提示學(xué)生：這么難的問(wèn)題，如果有規(guī)律，有公式可套那該有多好！然后教師可以引導(dǎo)學(xué)生：鐘表一圈可以分為60格，分針每走60格，時(shí)針走5格，所以時(shí)針是分針?biāo)俣鹊?，那么當(dāng)分針走了x格（即分鐘）時(shí)，時(shí)針走了 格

當(dāng)時(shí)間為1時(shí)：可得方程

當(dāng)時(shí)間為2時(shí)：可得方程

當(dāng)時(shí)間為3時(shí)：可得方程

………………………………………………………

由此可以猜出：當(dāng)時(shí)間 為時(shí)可得方程 。

在這個(gè)公式中，只要給出具體的值，就可以求出，這樣什么時(shí)間分針和時(shí)針相遇就會(huì)很容易求出，然后讓學(xué)生取值驗(yàn)證，正確。那么難的問(wèn)題用這樣一個(gè)公式就可以解決。接著教師可以“乘勝追擊”，時(shí)針和分針成角時(shí)有沒(méi)有規(guī)律？幾個(gè)學(xué)生討論后也會(huì)給出一個(gè)公式： （其中， 表示分鐘， 表示時(shí)間， 表示時(shí)針和分針?biāo)傻慕嵌龋?，雖然公式有一定的局限性，但出自學(xué)生之手，卻也來(lái)之不易。

三、猜問(wèn)題的結(jié)果

有些開(kāi)放性問(wèn)題，沒(méi)有具體的結(jié)論，由于不知道目標(biāo)是什么，也就無(wú)法制定解題方法。所以，應(yīng)該像波利亞所說(shuō)那樣：“可以在學(xué)生做題之前猜測(cè)該題結(jié)果或者部分‘結(jié)果’，這對(duì)尋找解題方向，制定解題策略是非常有用的?！?/p>

分析 如果結(jié)論成立，即平面SC 平面BDE則SC就垂直于平面上的所有直線，至少要垂直于其上的兩條相交線。SC DE為已知，則SC還要垂直于另一條直線BE或DB。由于E是SC的中點(diǎn)，BS必須BC與相等，這點(diǎn)容易由題設(shè)得到，所以此猜想成立。

要求二面角的平面角，最好在原圖中存在。其棱為BD這里有兩個(gè)角： 先看 ，若是，這就說(shuō)明CD BD，ED BD。而由于SC垂直平面BDF，得SC BD。再由三垂線定理的逆定理可得CD BD。繼續(xù)看DE與BD、DE 關(guān)系，因?yàn)?所以BD垂直平面ASC，DE在平面ASC上，所以BD DE，這樣就證出了角EDC為二面角E-DB-C的平面角，再進(jìn)一步求就可以了。

通過(guò)猜想結(jié)果，就可以把求解轉(zhuǎn)化為一個(gè)求證題，從而明確了解題方向。而且根據(jù)猜出的結(jié)果，我們就更容易找到解題方法。

四、猜特殊性質(zhì)

有些問(wèn)題具有特殊性質(zhì)，而這些性質(zhì)往往就是解題的關(guān)鍵，如果可以根據(jù)題中所提供的信息，大膽的去猜想，往往可使他們沖破常規(guī)思維的束縛，找到解題的關(guān)鍵。

例13 如圖：已知為等邊三角形，D、E、F分別在邊BC、CA、AB上，且三角形DEF也是等邊三角形。那么除已知相等的邊以外，還有哪些相等的線段？

分析AE=BF=CD， AF=BD=CE。題中給出的兩個(gè)三角形都是等邊三角形，因此可以根據(jù)等邊三角形的特殊性質(zhì)猜測(cè)一下還有相等的線段是：，。然后再證明就可以了。

這道題就是根據(jù)特定圖形的特殊性質(zhì)猜測(cè)可能的結(jié)果，然后再進(jìn)行證明就簡(jiǎn)單多了。

總之，我們要經(jīng)常提醒學(xué)生，在解題之前，要尋找感覺(jué)，要進(jìn)行猜想。只有敢于探索、敢于創(chuàng)新才會(huì)有所發(fā)現(xiàn)，因此教師要鼓勵(lì)學(xué)生敢于大膽的猜想，勇于開(kāi)拓；同時(shí)又要培養(yǎng)學(xué)生具有科學(xué)家們頑強(qiáng)奮斗、不怕失敗，勇于拼搏的精神，這也正是《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中的情感態(tài)度與價(jià)值觀的具體體現(xiàn)。

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