摘 要:本文主要通過(guò)一些典型例題從四個(gè)方面探討了高階導(dǎo)數(shù)的求法。包括:根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)定義求之、利用高階導(dǎo)數(shù)公式求之、使用萊布尼茲公式求之、用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求之等。
關(guān)鍵詞:函數(shù);高階導(dǎo)數(shù);階導(dǎo)數(shù);
中圖分類(lèi)號(hào):G420 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:A 文章編號(hào):1674-3520(2014)-07-00-02
定義:函數(shù) 的導(dǎo)數(shù) 仍是x的導(dǎo)數(shù),則稱(chēng)的導(dǎo)數(shù)為的二階導(dǎo)數(shù)。一般地,如果 的 階導(dǎo)數(shù)仍可導(dǎo),則稱(chēng) 階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 的n階導(dǎo)數(shù),記為 。二階或二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為高階導(dǎo)數(shù)。下面筆者就高階導(dǎo)數(shù)的求法做一探討。
一、根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)定義求之
根據(jù)高階導(dǎo)數(shù)定義可知,求高階導(dǎo)數(shù)只需運(yùn)用求導(dǎo)公式、求導(dǎo)法則等求導(dǎo)方法逐步求導(dǎo)即可。對(duì)于n階導(dǎo)數(shù),可先求出函數(shù)的前幾階導(dǎo)數(shù)后,分析結(jié)果的規(guī)律性,從中找出規(guī)律,歸納出階導(dǎo)數(shù)。
例1:設(shè)函數(shù) ,求 。
解:,, ,
由此,得:,。
例2:設(shè),求。
解:因
所以 。
二、利用高階導(dǎo)數(shù)公式求之
高階導(dǎo)數(shù)常用公式如下: , ,
常把求高階導(dǎo)數(shù)的函數(shù)化為適合應(yīng)用上述公式的函數(shù)或其代數(shù)和,然后利用公式求之。在求有理分式函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)時(shí),一般先把有理函數(shù)化為多項(xiàng)式與最簡(jiǎn)分式之和,然后再利用公式分項(xiàng)求其階導(dǎo)數(shù)。在求某些三角函數(shù)的階導(dǎo)數(shù)時(shí),也需要用三角函數(shù)恒等式及有關(guān)公式先把它化為
,之和或差的形式,然后再利用公式求其階導(dǎo)數(shù)。
例3:求下列函數(shù)的n階導(dǎo)數(shù)的一般表示式。
三、使用萊布尼茲公式求之
萊布尼茲公式:設(shè) 階可導(dǎo),則 當(dāng)所求導(dǎo)數(shù)的函數(shù)是兩個(gè)函數(shù)的乘積時(shí),宜用萊布尼茲公式求之。特別地,當(dāng)其中一個(gè)因子為次數(shù)較低的多項(xiàng)式函數(shù)時(shí),由于階數(shù)高于該次數(shù)的導(dǎo)數(shù)均為零,因而求導(dǎo)結(jié)果比較簡(jiǎn)單,故常用此式求以多項(xiàng)式為因子的函數(shù)乘積的高階導(dǎo)數(shù)、指定階的導(dǎo)數(shù)、指定階的導(dǎo)數(shù)在指定點(diǎn)的值。另外,當(dāng)兩個(gè)因子函數(shù)中,其中有一個(gè)函數(shù)的各階導(dǎo)數(shù)有明顯的規(guī)律性時(shí),也常用萊布尼茲公式求其高階導(dǎo)數(shù)。
四、用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求之
定理:設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)x處可導(dǎo),函數(shù) 在對(duì)應(yīng)點(diǎn) 處可導(dǎo),則復(fù)合函數(shù) 在點(diǎn)處仍可導(dǎo),且有 ,或記為
。復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則也可推廣到多次復(fù)合的情形。在求導(dǎo)時(shí),應(yīng)從外層向內(nèi)層逐層求導(dǎo),一直求到對(duì)自變量求導(dǎo)數(shù)為止。若
存在單值反函數(shù) ,常用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則,求其反函數(shù) 的高階導(dǎo)數(shù) 。
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