應(yīng)用實(shí)例在高等數(shù)學(xué)中的運(yùn)用

【摘 要】高等數(shù)學(xué)是高職院校的基礎(chǔ)課程之一，本文以案例教學(xué)為載體，通過若干具體應(yīng)用實(shí)例闡述了如何培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力和實(shí)踐能力，從而更好地適應(yīng)當(dāng)前高等職業(yè)教育的發(fā)展，同時(shí)也指出了案例實(shí)施過程中一些需要注意的問題。

【關(guān)鍵詞】案例教學(xué)法 高等數(shù)學(xué) 高等職業(yè)教育 應(yīng)用能力

【中圖分類號】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號】1674-4810（2014）30-0038-02

中國的高等職業(yè)教育于20世紀(jì)80年代正式納入國民教育體系，成為中國高等教育事業(yè)的重要組成部分。經(jīng)過若干年不斷探索和總結(jié)，高職教育確立了培養(yǎng)生產(chǎn)、建設(shè)、管理、服務(wù)第一線的高素質(zhì)、高級技能型專門人才的培養(yǎng)目標(biāo)，確立了工學(xué)結(jié)合為其重要人才培養(yǎng)模式，并對課程體系進(jìn)行了一系列各具特色的改革，取得了一些有價(jià)值的成果。

高等數(shù)學(xué)是一門重要基礎(chǔ)課程，在信息時(shí)代大背景下，其數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)思維方法越來越受到各行各業(yè)的重視。在高職教育中，數(shù)學(xué)課程首先是為專業(yè)課程提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，并在此基礎(chǔ)上培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用高等數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力和素養(yǎng)，概括來講，就是“理解概念，聯(lián)系實(shí)際，深化應(yīng)用，提高能力”。然而，在高職教育從無到有，到遍地開花、蓬勃發(fā)展的這些年，高等數(shù)學(xué)的課程改革卻是舉步維艱，特別是在“如何培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)、實(shí)踐數(shù)學(xué)的能力和素養(yǎng)”這一點(diǎn)上，探索顯得尤為艱難。有相當(dāng)一部分學(xué)生覺得數(shù)學(xué)“學(xué)了不知道有什么用”“學(xué)完就忘”等，因此，如果要切實(shí)提高學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣和用數(shù)學(xué)的能力，就必須想辦法讓學(xué)生“動(dòng)”起來，而案例教學(xué)就是動(dòng)態(tài)學(xué)習(xí)過程的一個(gè)良好載體。

案例教學(xué)法起源于20世紀(jì)初美國哈佛大學(xué)，即圍繞一定的培訓(xùn)目的把實(shí)際中真實(shí)的情境加以典型化處理，形成供學(xué)生思考分析和決斷的案例，通過獨(dú)立研究和相互討論的方式，來提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力的一種方法，在當(dāng)今世界的教育和培訓(xùn)中受到重視和廣泛的應(yīng)用。本文主要討論若干應(yīng)用實(shí)例在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用實(shí)踐，旨在對如何提高學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用能力做一些探索。

實(shí)例一：割圓術(shù)

案例介紹：公元263年，中國古代數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中給出了一種求圓面積的方法——“割圓術(shù)”，先作圓的內(nèi)接正三角形，記其面積為S1，再作圓的內(nèi)接正四邊形，記其面積為S2…，一直下去，記圓的內(nèi)接正n邊形的面積為Sn，于是得到一個(gè)數(shù)列S1，S2…Sn…。當(dāng)n無限增大時(shí)，Sn無限接近于圓的面積S。

案例實(shí)施：解決這個(gè)案例，學(xué)生大概需要分三步實(shí)現(xiàn)，流程如下：

案例應(yīng)用：極限是微積分的基石，該案例的實(shí)施過程是極限應(yīng)用的典型范例，后續(xù)無論是切線斜率問題（導(dǎo)數(shù)）還是曲邊梯形面積問題（定積分），其推導(dǎo)過程都遵循了上述“建立函數(shù)表達(dá)式”——“將所求量表示為函數(shù)（數(shù)列）的極限”——“計(jì)算極限”這樣的分析過程。

實(shí)例二：蜂巢結(jié)構(gòu)

案例介紹：觀察蜂巢的一個(gè)儲(chǔ)藏室，它是中空的正六角形柱，而底部是由三個(gè)菱形面組成，交會(huì)于底部中心頂點(diǎn)G。著名天文學(xué)家馬拉爾第觀察到了作為蜂房底的3個(gè)菱形的鈍角等于109°28′，銳角等于70°32′。

馬拉爾第的結(jié)果引起法國著名的博物

學(xué)家雷奧姆的興趣，他猜測蜜蜂選擇

這兩個(gè)角度一定是有原因的，可能就

是要在固定容積下，使表面積為最小，

即以最少的蜂蠟做出最大容積的儲(chǔ)藏

室。這個(gè)猜測被瑞士數(shù)學(xué)家柯尼格從

理論上做了證明（他的計(jì)算結(jié)果與實(shí)測值僅差兩分）。

案例實(shí)施：設(shè)正六邊形的邊長為2a，G到平面B1D1F1的距離為x，GC1=2y，實(shí)施流程如下：

案例應(yīng)用：該案例是一個(gè)高等數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)建模相結(jié)合的最優(yōu)化問題，主要通過“提煉模型”——“模型分析”——“模型求解”這樣三個(gè)步驟實(shí)現(xiàn)，學(xué)生通過該案例的學(xué)習(xí)，可以體驗(yàn)將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)模型進(jìn)而求解的一般過程，高等數(shù)學(xué)應(yīng)用中很多實(shí)際問題，如“最優(yōu)廣告策略”“最省用料方案”等，都有類似的分析求解過程。

實(shí)例三：溶液混合問題

案例介紹：容器內(nèi)盛有50升的鹽水溶液，其中含有10克鹽?，F(xiàn)將每升含鹽2克溶液以每分鐘5升的速度注入容器，并不斷攪拌，使混合液迅速達(dá)到均勻，同時(shí)混合液以每分鐘3升的速度流出容器，請問任一時(shí)刻t容器中溶液的含鹽量是多少？

案例實(shí)施：在案例中，鹽水流入的同時(shí)也在流出，這是個(gè)動(dòng)態(tài)問題，用初等數(shù)學(xué)的知識(shí)無法解決，可以通過建立微分方程來實(shí)現(xiàn)。

案例應(yīng)用：這類溶液混合問題與著名的牛吃草問題（也稱消長問題或牛頓牧場問題）具有同一動(dòng)態(tài)屬性，其某個(gè)特定量的動(dòng)態(tài)變化速度是“消”“長”因素共同作用的結(jié)果。其他一些工程問題，如“抽水機(jī)抽水問題”等，也可以采用這樣的思路求解。

英國數(shù)學(xué)家牛頓曾說：“在學(xué)習(xí)科學(xué)的時(shí)候，題目比規(guī)則還有用些?！卑咐虒W(xué)通過為學(xué)生提供合理的數(shù)學(xué)教學(xué)情境，經(jīng)過學(xué)生主觀自覺的對比、歸納、思考、領(lǐng)悟、分析與決策，讓學(xué)生在動(dòng)手操作過程中綜合運(yùn)用課程知識(shí)，從而提高分析、解決問題的能力，是常規(guī)教學(xué)的一種有效補(bǔ)充。當(dāng)然，案例教學(xué)也有局限性，如適合教學(xué)的案例較少、花費(fèi)的時(shí)間較多、對教師的要求較高、效率有時(shí)較低等。特別是在案例的選取上，教師一定要注意把握尺度，案例太復(fù)雜，超出學(xué)生的能力范圍，會(huì)打擊學(xué)生的積極性；案例太簡單，不能調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣，其理解、思維和分析能力也得不到很好的鍛煉。此外，還要注意案例的生動(dòng)性與數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)相結(jié)合。單調(diào)呆板的案例對學(xué)生來說與純粹的數(shù)學(xué)知識(shí)無異，只有生動(dòng)的、貼近生活的案例才可能調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣，但如果一味地追求案例的生動(dòng)性而忽視了與數(shù)學(xué)內(nèi)容的結(jié)合，那么通過案例教學(xué)提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力也就成了一句空話。

參考文獻(xiàn)

[1]張家軍、靳玉樂.論案例教學(xué)的本質(zhì)與特點(diǎn)[J].中國教育學(xué)刊，2004（1）：62～65

[2]郭德紅.案例教學(xué)：歷史、本質(zhì)和發(fā)展趨勢[J].高等理科教育，2008（1）：22～24

[3]孫軍業(yè).案例教學(xué)[M].天津：天津教育出版社，2004

[4]陳衛(wèi)忠、楊曉華主編.高等數(shù)學(xué)[M].蘇州：蘇州大學(xué)出版社，2012

[5]李心燦主編.高等數(shù)學(xué)應(yīng)用205例[M].北京：高等教育出版社，1997

〔責(zé)任編輯：林勁〕