超聲波加工中變幅桿的設(shè)計(jì)方法分析?

劉 垚

（山西大學(xué) 工程學(xué)院，山西 太原 030013）

0 引言

變幅桿在超聲波加工中被稱為超聲聚能器，在整個(gè)設(shè)備的振動(dòng)系統(tǒng)中有著重要的作用。機(jī)械振動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)位移或速度通過(guò)變幅桿可以得到放大，同時(shí)在較小的面積上聚集超聲能量，起到聚能作用。超聲波加工中的換能器設(shè)備在頻率20kHz范圍內(nèi)振幅只有幾微米，但在超聲焊接、超聲金屬成型和某些超聲外科設(shè)備中，需要幾十到幾百微米的輻射面振動(dòng)幅度，因此必須在換能器與工具頭之間連接超聲波變幅桿，把機(jī)械振幅放大到所需的要求。為了使超聲能量更有效地從換能器向負(fù)載傳輸，變幅桿還作為阻抗變換器進(jìn)行阻抗匹配［1］，因此變幅桿的設(shè)計(jì)顯得尤為重要。本文從常用的3種設(shè)計(jì)方法入手，分析它們的適用范圍和各自的優(yōu)缺點(diǎn)。

1 解析法

振動(dòng)能量通過(guò)變幅桿的任一截面時(shí)保持不變（傳播損耗不計(jì)），因此能量密度在截面積小的地方變大，截面面積與能量密度成反比，振幅A的平方與能量密度成正比，表示為：

其中：Ke為系數(shù)；ρe為能量密度；A為振幅。

由式（2）可知，能量密度變大振幅隨之也得到放大。通常我們要使變幅桿的外激振動(dòng)頻率和固有頻率相等，使兩者處于共振狀態(tài)，從而獲得最大的振幅。

我們從經(jīng)典理論出發(fā)，建立變幅桿動(dòng)力學(xué)微分方程，根據(jù)變幅桿的邊界條件求其確定解，從而推導(dǎo)出各設(shè)計(jì)參數(shù)公式，這種方法就是解析法。在生產(chǎn)實(shí)踐中它很有使用價(jià)值，物理意義明確。解析法適用于1／4的振動(dòng)波長(zhǎng)大于變幅桿各部位橫截面尺寸的情況，這時(shí)不需考慮橫向振動(dòng)對(duì)縱向振動(dòng)的影響。由此我們可以計(jì)算出結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的圓錐形、指數(shù)形及階梯形等變幅桿的諧振長(zhǎng)度、彈性力分布、節(jié)點(diǎn)位置和頻率方程。通過(guò)解析方法，結(jié)合機(jī)電類比原則，也可建立變幅桿機(jī)械阻抗分析模型，對(duì)其進(jìn)行超聲性能分析［2］。

但是當(dāng)1／4的振動(dòng)波長(zhǎng)小于變幅桿橫截面尺寸時(shí)，就必須考慮橫向振動(dòng)對(duì)縱向振動(dòng)的影響，若這時(shí)通過(guò)解析法計(jì)算，得出的結(jié)果將會(huì)出現(xiàn)較大的偏差。為了解決橫向振動(dòng)的影響我們采用表觀彈性法，對(duì)于圓錐形、指數(shù)形及階梯形等變幅桿的二維耦合振動(dòng)，利用表觀彈性法都可以得出其振動(dòng)參數(shù)的計(jì)算公式［3］。

對(duì)于典型結(jié)構(gòu)的變幅桿，借助于計(jì)算機(jī)并利用解析法，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)和圖表已經(jīng)能解決工程上的大部分問(wèn)題。但是隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，超聲波加工技術(shù)的應(yīng)用范圍也不斷擴(kuò)展，對(duì)于截面復(fù)雜多變的變幅桿，數(shù)學(xué)公式已經(jīng)很難準(zhǔn)確描述其結(jié)構(gòu)，在此情況下解析法就不再適用。

2 轉(zhuǎn)換矩陣法

對(duì)于非軸對(duì)稱變幅桿，利用等效四端網(wǎng)絡(luò)法，根據(jù)面積等效方式計(jì)算出其頻率方程，由此得出變幅桿的固有頻率，這種方法稱之為轉(zhuǎn)換矩陣法。轉(zhuǎn)換矩陣法適用于平面波通過(guò)變幅桿截面的情況，我們把變幅桿分解成許多小圓錐臺(tái)的組合，建立超聲系統(tǒng)激勵(lì)模型，推導(dǎo)出輸入電能與變幅桿的關(guān)系式，根據(jù)此關(guān)系式就可以設(shè)計(jì)出低阻抗非軸對(duì)稱變幅桿［4］。轉(zhuǎn)換矩陣法在工程領(lǐng)域已經(jīng)應(yīng)用了很長(zhǎng)時(shí)間，具有定性分析和預(yù)測(cè)超聲換能系統(tǒng)的特點(diǎn)。

但是對(duì)于結(jié)構(gòu)更復(fù)雜、截面尺寸變化較大或橫向尺寸大于或等于1／4波長(zhǎng)的變幅桿，轉(zhuǎn)換矩陣法就不再適用，這時(shí)較好的解決方法是有限元分析法。

3 有限元法

以變分原理為基礎(chǔ)將連續(xù)的求解域離散為一組單元的組合體，用在每個(gè)單元內(nèi)假設(shè)的近似函數(shù)來(lái)分片表示求解域上待求的未知函數(shù)，并利用計(jì)算機(jī)進(jìn)行求解計(jì)算，這就是有限元方法，在復(fù)雜的工程問(wèn)題中它是一種有效的計(jì)算工具。對(duì)于截面變化復(fù)雜的變幅桿，波動(dòng)方程求解起來(lái)比較困難，甚至是無(wú)法求解，這時(shí)可以利用有限元方法對(duì)其進(jìn)行分析計(jì)算。通過(guò)實(shí)驗(yàn)得出的變幅桿結(jié)構(gòu)利用有限元方法優(yōu)化后，其輸出端振幅比傳統(tǒng)方法計(jì)算出的變幅桿高出4倍左右，從而使變幅桿的效能得到有效的提高［5］。

在工程領(lǐng)域中復(fù)合型變幅桿通常利用ANSYS有限元分析程序進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，計(jì)算出變幅桿的最優(yōu)結(jié)構(gòu)，從而在輸出端得到較大的振幅。本文以圓柱圓錐復(fù)合型變幅桿為例，材料采用45鋼，彈性模量為200 GPa，泊松比為0.3，質(zhì)量密度為7 800kg／m3，建立的有限元模型如圖1所示。

有限元模型建立后，我們采用完全法進(jìn)行諧響應(yīng)分析。在變幅桿固定端面內(nèi)所有的節(jié)點(diǎn)上施加軸向方向?yàn)?.01mm的位移，變幅桿的固有頻率為12.758kHz，計(jì)算輸出端面產(chǎn)生的持續(xù)周期位移響應(yīng)，分析結(jié)果如圖2所示。選取端面不同徑向的節(jié)點(diǎn)，經(jīng)過(guò)時(shí)間歷程后處理器得出在變幅桿輸出端的最大平均振幅為0.085mm，由于輸入端振幅為0.01mm，所以變幅桿的放大比例為8.5倍。

有限元法從根本上解決了結(jié)構(gòu)形狀復(fù)雜的變幅桿的設(shè)計(jì)，它不僅計(jì)算精度高，而且能大幅度提高變幅桿結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的整體性。

圖1 復(fù)合型變幅桿的有限元模型

圖2 節(jié)點(diǎn)諧響應(yīng)分析結(jié)果

4 結(jié)論

本文分析了變幅桿的解析法、轉(zhuǎn)換矩陣法等傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方法，并對(duì)其適用范圍和局限性進(jìn)行了說(shuō)明。而有限元法則適用于具有復(fù)雜結(jié)構(gòu)形狀的變幅桿，能有效提高所設(shè)計(jì)變幅桿的整體性和適應(yīng)性。通過(guò)ANSYS軟件建立了圓柱圓錐復(fù)合型變幅桿的有限元模型，并進(jìn)行諧響應(yīng)分析得出變幅桿輸出端面產(chǎn)生的位移響應(yīng)。

［1］ 曾凡凡，王時(shí)英，呂明.階梯型變幅桿圓弧過(guò)渡動(dòng)力學(xué)分析［J］.機(jī)械設(shè)計(jì)與制造，2012（10）：210－212.

［2］ 賀西平，胡時(shí)岳.復(fù)合超聲縱振型變幅桿的簡(jiǎn)化設(shè)計(jì)［J］.蘭州大學(xué)學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2002（5）：24－26.

［3］ 王時(shí)英，呂明，軋剛.圓錐過(guò)渡復(fù)合變幅桿動(dòng)力學(xué)特性研究［J］.太原理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2007（2）：95－97.

［4］ 劉戰(zhàn)鋒，李培繁，王天琦.超聲復(fù)合變幅桿的設(shè)計(jì)與研究［J］.現(xiàn)代制造工程，2008（2）：102－105.

［5］ 張成光，于興芝.超聲波研磨加工機(jī)理的影響因素研究［J］.機(jī)床與液壓，2007（6）：65－67.