淺談隨機(jī)試驗(yàn)和條件概率

基金項(xiàng)目：西北農(nóng)林科技大學(xué)2013年校級(jí)教學(xué)改革研究項(xiàng)目“高等數(shù)學(xué)建模教學(xué)法研究——農(nóng)林類高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)的繼續(xù)改革與實(shí)踐”[項(xiàng)目編號(hào)：JY1302096]。

作者簡(jiǎn)介：周建軍（1983—），男，山東濟(jì)寧人，西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院理學(xué)博士，講師，研究方向：隨機(jī)最優(yōu)控制。

摘 要：隨機(jī)試驗(yàn)在隨機(jī)事件的概率計(jì)算中有著非常重要的作用，只有給出正確的隨機(jī)試驗(yàn)才能確定樣本空間和隨機(jī)事件的樣本點(diǎn)，同時(shí)條件概率在概率論中占有非常重要的地位，在乘法公式、全概率公式和逆概率公式中都需要用到條件概率的概念。因此，對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)和條件概率概念的精確把握尤為重要。本文將通過(guò)實(shí)例對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)和條件概率的概念進(jìn)行解讀。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)試驗(yàn);條件概率;概率

首先我們給出條件概率的定義。

設(shè)A，B為同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的任意兩個(gè)隨機(jī)事件，且滿足條件P（B）>0，則稱：

P（A|B）=P（AB）P（B）……①

①

為在事件B發(fā)生條件下，事件A發(fā)生的條件概率。

對(duì)于具有等可能性的古典概型，根據(jù)條件概率的定義我們很容易得到條件概率的一個(gè)簡(jiǎn)單計(jì)算公式：

P（A|B）=AB包含的樣本點(diǎn)數(shù)B中包含的樣本點(diǎn)數(shù)……②

由公式②和古典概率的定義，我們可以這樣解讀條件概率的定義：我們將B看作全集，即增加隨機(jī)試驗(yàn)的條件使得在此條件下隨機(jī)試驗(yàn)的所有樣本點(diǎn)組成的集合為B。在此試驗(yàn)條件下B為全集，所以AB在此試驗(yàn)條件下所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是A所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)。因此條件概率P（A|B）就是增加試驗(yàn)條件使得B為全集，然后重新進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)，A在此試驗(yàn)中發(fā)生的概率。

根據(jù)我們對(duì)條件概率的解讀，下面來(lái)看一個(gè)生活中的具體例子：

在電視競(jìng)猜游戲節(jié)目，你被要求在三扇門（其中一扇后面有一輛車，另兩扇后面各有一只山羊）中選擇一扇，被選的這扇門后面的東西就歸你了。你選了一扇門，然后知道門后面是什么的主持人，打開(kāi)了另外兩扇中后面有山羊的那扇門。然后問(wèn)你現(xiàn)在是否改變決定，放棄剛才的選擇而選擇剩下的一扇門？

我們對(duì)這三扇門編號(hào)為1、2、3，不妨假設(shè)編號(hào)為1的這扇門后面是汽車，另外兩扇門后面為山羊。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題一部分人認(rèn)為改不改變選擇，選中汽車的概率都是1/3，也有人認(rèn)為改不改變選擇，選擇汽車的概率都是1/2，還有一部分人認(rèn)為不改變選擇選中汽車的概率為1/3，而改變選擇選中汽車的概率為2/3。但是都沒(méi)有給出一個(gè)完整的計(jì)算和證明過(guò)程。究其原因就是針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，大家都認(rèn)為這是一個(gè)求條件概率的題目。然而根據(jù)我們前面對(duì)條件概率的解讀，條件概率最重要的一點(diǎn)是在增加試驗(yàn)的條件下，要重新進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)。但是在我們的這個(gè)題目中，主持人打開(kāi)有山羊的那扇門之后，沒(méi)有重新進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)。即：把剩下的兩扇門重新打亂，然后讓你選。因此，我們這個(gè)題目不是求條件概率。

解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵就是要正確找到這個(gè)問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)試驗(yàn)是什么。大部分人認(rèn)為這個(gè)題目的隨機(jī)試驗(yàn)是：你從三扇門中任選一扇門。但是這是不正確的，因?yàn)樗鼪](méi)有包含下一步主持人打開(kāi)有山羊的那扇門。

那么這個(gè)題目的隨機(jī)試驗(yàn)是什么呢？本題目的隨機(jī)試驗(yàn)就是：你任選一扇門，然后主持人打開(kāi)剩下的有山羊的一扇門。

我們令A(yù)表示你選擇1號(hào)門;B表示你選擇2號(hào)門;C表示你選擇3號(hào)門;D表示主持人打開(kāi)1號(hào)門;E表示主持人打開(kāi)2號(hào)門;F表示主持人打開(kāi)3號(hào)門。顯然我們有P（A）=P（B）=P（C）=1/3。

然后，我們給出這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間Ω：Ω={AD，AE，AF，BD，BE，BF，CD，CE，CF}。

根據(jù)隨機(jī)試驗(yàn)的條件，容易得到：P（AD）=P（BE）=P（CF）=

P（BD）=P（CD）=0;

P（AE）=P（A）P（E|A）=1/3×1/2=1/6;

P（AF）=P（A）P（F|A）=1/3×1/2=

1/6;

P（BF）=P（B）P（F|B）=1/3×1=1/3;

P（CE）=P（C）P（E|C）=1/3×1=1/3。

最后，我們令G表示你沒(méi)有改變選擇而選中了汽車;令H表示你改變選擇而選中汽車。

顯然，G表示你選擇編號(hào)為1的這扇門，H表示你選擇編號(hào)為2或3的這扇門。即我們有A=G，H=B+C。所以，我們有P（G）=P（A）=1/3，P（H）=P（B+C）=P（B）+P（C）=2/3。

通過(guò)上面這個(gè)例子，我們看出來(lái)在解決比較復(fù)雜的概率問(wèn)題時(shí)，準(zhǔn)確給出我們所需要的隨機(jī)試驗(yàn)和正確理解條件概率的概念是非常重要的。endprint

基金項(xiàng)目：西北農(nóng)林科技大學(xué)2013年校級(jí)教學(xué)改革研究項(xiàng)目“高等數(shù)學(xué)建模教學(xué)法研究——農(nóng)林類高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)的繼續(xù)改革與實(shí)踐”[項(xiàng)目編號(hào)：JY1302096]。

作者簡(jiǎn)介：周建軍（1983—），男，山東濟(jì)寧人，西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院理學(xué)博士，講師，研究方向：隨機(jī)最優(yōu)控制。

摘 要：隨機(jī)試驗(yàn)在隨機(jī)事件的概率計(jì)算中有著非常重要的作用，只有給出正確的隨機(jī)試驗(yàn)才能確定樣本空間和隨機(jī)事件的樣本點(diǎn)，同時(shí)條件概率在概率論中占有非常重要的地位，在乘法公式、全概率公式和逆概率公式中都需要用到條件概率的概念。因此，對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)和條件概率概念的精確把握尤為重要。本文將通過(guò)實(shí)例對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)和條件概率的概念進(jìn)行解讀。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)試驗(yàn);條件概率;概率

首先我們給出條件概率的定義。

設(shè)A，B為同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的任意兩個(gè)隨機(jī)事件，且滿足條件P（B）>0，則稱：

P（A|B）=P（AB）P（B）……①

①

為在事件B發(fā)生條件下，事件A發(fā)生的條件概率。

對(duì)于具有等可能性的古典概型，根據(jù)條件概率的定義我們很容易得到條件概率的一個(gè)簡(jiǎn)單計(jì)算公式：

P（A|B）=AB包含的樣本點(diǎn)數(shù)B中包含的樣本點(diǎn)數(shù)……②

由公式②和古典概率的定義，我們可以這樣解讀條件概率的定義：我們將B看作全集，即增加隨機(jī)試驗(yàn)的條件使得在此條件下隨機(jī)試驗(yàn)的所有樣本點(diǎn)組成的集合為B。在此試驗(yàn)條件下B為全集，所以AB在此試驗(yàn)條件下所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是A所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)。因此條件概率P（A|B）就是增加試驗(yàn)條件使得B為全集，然后重新進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)，A在此試驗(yàn)中發(fā)生的概率。

根據(jù)我們對(duì)條件概率的解讀，下面來(lái)看一個(gè)生活中的具體例子：

在電視競(jìng)猜游戲節(jié)目，你被要求在三扇門（其中一扇后面有一輛車，另兩扇后面各有一只山羊）中選擇一扇，被選的這扇門后面的東西就歸你了。你選了一扇門，然后知道門后面是什么的主持人，打開(kāi)了另外兩扇中后面有山羊的那扇門。然后問(wèn)你現(xiàn)在是否改變決定，放棄剛才的選擇而選擇剩下的一扇門？

我們對(duì)這三扇門編號(hào)為1、2、3，不妨假設(shè)編號(hào)為1的這扇門后面是汽車，另外兩扇門后面為山羊。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題一部分人認(rèn)為改不改變選擇，選中汽車的概率都是1/3，也有人認(rèn)為改不改變選擇，選擇汽車的概率都是1/2，還有一部分人認(rèn)為不改變選擇選中汽車的概率為1/3，而改變選擇選中汽車的概率為2/3。但是都沒(méi)有給出一個(gè)完整的計(jì)算和證明過(guò)程。究其原因就是針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，大家都認(rèn)為這是一個(gè)求條件概率的題目。然而根據(jù)我們前面對(duì)條件概率的解讀，條件概率最重要的一點(diǎn)是在增加試驗(yàn)的條件下，要重新進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)。但是在我們的這個(gè)題目中，主持人打開(kāi)有山羊的那扇門之后，沒(méi)有重新進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)。即：把剩下的兩扇門重新打亂，然后讓你選。因此，我們這個(gè)題目不是求條件概率。

解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵就是要正確找到這個(gè)問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)試驗(yàn)是什么。大部分人認(rèn)為這個(gè)題目的隨機(jī)試驗(yàn)是：你從三扇門中任選一扇門。但是這是不正確的，因?yàn)樗鼪](méi)有包含下一步主持人打開(kāi)有山羊的那扇門。

那么這個(gè)題目的隨機(jī)試驗(yàn)是什么呢？本題目的隨機(jī)試驗(yàn)就是：你任選一扇門，然后主持人打開(kāi)剩下的有山羊的一扇門。

我們令A(yù)表示你選擇1號(hào)門;B表示你選擇2號(hào)門;C表示你選擇3號(hào)門;D表示主持人打開(kāi)1號(hào)門;E表示主持人打開(kāi)2號(hào)門;F表示主持人打開(kāi)3號(hào)門。顯然我們有P（A）=P（B）=P（C）=1/3。

然后，我們給出這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間Ω：Ω={AD，AE，AF，BD，BE，BF，CD，CE，CF}。

根據(jù)隨機(jī)試驗(yàn)的條件，容易得到：P（AD）=P（BE）=P（CF）=

P（BD）=P（CD）=0;

P（AE）=P（A）P（E|A）=1/3×1/2=1/6;

P（AF）=P（A）P（F|A）=1/3×1/2=

1/6;

P（BF）=P（B）P（F|B）=1/3×1=1/3;

P（CE）=P（C）P（E|C）=1/3×1=1/3。

最后，我們令G表示你沒(méi)有改變選擇而選中了汽車;令H表示你改變選擇而選中汽車。

顯然，G表示你選擇編號(hào)為1的這扇門，H表示你選擇編號(hào)為2或3的這扇門。即我們有A=G，H=B+C。所以，我們有P（G）=P（A）=1/3，P（H）=P（B+C）=P（B）+P（C）=2/3。

通過(guò)上面這個(gè)例子，我們看出來(lái)在解決比較復(fù)雜的概率問(wèn)題時(shí)，準(zhǔn)確給出我們所需要的隨機(jī)試驗(yàn)和正確理解條件概率的概念是非常重要的。endprint

基金項(xiàng)目：西北農(nóng)林科技大學(xué)2013年校級(jí)教學(xué)改革研究項(xiàng)目“高等數(shù)學(xué)建模教學(xué)法研究——農(nóng)林類高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)的繼續(xù)改革與實(shí)踐”[項(xiàng)目編號(hào)：JY1302096]。

作者簡(jiǎn)介：周建軍（1983—），男，山東濟(jì)寧人，西北農(nóng)林科技大學(xué)理學(xué)院理學(xué)博士，講師，研究方向：隨機(jī)最優(yōu)控制。

摘 要：隨機(jī)試驗(yàn)在隨機(jī)事件的概率計(jì)算中有著非常重要的作用，只有給出正確的隨機(jī)試驗(yàn)才能確定樣本空間和隨機(jī)事件的樣本點(diǎn)，同時(shí)條件概率在概率論中占有非常重要的地位，在乘法公式、全概率公式和逆概率公式中都需要用到條件概率的概念。因此，對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)和條件概率概念的精確把握尤為重要。本文將通過(guò)實(shí)例對(duì)隨機(jī)試驗(yàn)和條件概率的概念進(jìn)行解讀。

關(guān)鍵詞：隨機(jī)試驗(yàn);條件概率;概率

首先我們給出條件概率的定義。

設(shè)A，B為同一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的任意兩個(gè)隨機(jī)事件，且滿足條件P（B）>0，則稱：

P（A|B）=P（AB）P（B）……①

①

為在事件B發(fā)生條件下，事件A發(fā)生的條件概率。

對(duì)于具有等可能性的古典概型，根據(jù)條件概率的定義我們很容易得到條件概率的一個(gè)簡(jiǎn)單計(jì)算公式：

P（A|B）=AB包含的樣本點(diǎn)數(shù)B中包含的樣本點(diǎn)數(shù)……②

由公式②和古典概率的定義，我們可以這樣解讀條件概率的定義：我們將B看作全集，即增加隨機(jī)試驗(yàn)的條件使得在此條件下隨機(jī)試驗(yàn)的所有樣本點(diǎn)組成的集合為B。在此試驗(yàn)條件下B為全集，所以AB在此試驗(yàn)條件下所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)就是A所包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)。因此條件概率P（A|B）就是增加試驗(yàn)條件使得B為全集，然后重新進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)，A在此試驗(yàn)中發(fā)生的概率。

根據(jù)我們對(duì)條件概率的解讀，下面來(lái)看一個(gè)生活中的具體例子：

在電視競(jìng)猜游戲節(jié)目，你被要求在三扇門（其中一扇后面有一輛車，另兩扇后面各有一只山羊）中選擇一扇，被選的這扇門后面的東西就歸你了。你選了一扇門，然后知道門后面是什么的主持人，打開(kāi)了另外兩扇中后面有山羊的那扇門。然后問(wèn)你現(xiàn)在是否改變決定，放棄剛才的選擇而選擇剩下的一扇門？

我們對(duì)這三扇門編號(hào)為1、2、3，不妨假設(shè)編號(hào)為1的這扇門后面是汽車，另外兩扇門后面為山羊。對(duì)于這個(gè)問(wèn)題一部分人認(rèn)為改不改變選擇，選中汽車的概率都是1/3，也有人認(rèn)為改不改變選擇，選擇汽車的概率都是1/2，還有一部分人認(rèn)為不改變選擇選中汽車的概率為1/3，而改變選擇選中汽車的概率為2/3。但是都沒(méi)有給出一個(gè)完整的計(jì)算和證明過(guò)程。究其原因就是針對(duì)這個(gè)問(wèn)題，大家都認(rèn)為這是一個(gè)求條件概率的題目。然而根據(jù)我們前面對(duì)條件概率的解讀，條件概率最重要的一點(diǎn)是在增加試驗(yàn)的條件下，要重新進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)。但是在我們的這個(gè)題目中，主持人打開(kāi)有山羊的那扇門之后，沒(méi)有重新進(jìn)行隨機(jī)試驗(yàn)。即：把剩下的兩扇門重新打亂，然后讓你選。因此，我們這個(gè)題目不是求條件概率。

解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵就是要正確找到這個(gè)問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)試驗(yàn)是什么。大部分人認(rèn)為這個(gè)題目的隨機(jī)試驗(yàn)是：你從三扇門中任選一扇門。但是這是不正確的，因?yàn)樗鼪](méi)有包含下一步主持人打開(kāi)有山羊的那扇門。

那么這個(gè)題目的隨機(jī)試驗(yàn)是什么呢？本題目的隨機(jī)試驗(yàn)就是：你任選一扇門，然后主持人打開(kāi)剩下的有山羊的一扇門。

我們令A(yù)表示你選擇1號(hào)門;B表示你選擇2號(hào)門;C表示你選擇3號(hào)門;D表示主持人打開(kāi)1號(hào)門;E表示主持人打開(kāi)2號(hào)門;F表示主持人打開(kāi)3號(hào)門。顯然我們有P（A）=P（B）=P（C）=1/3。

然后，我們給出這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間Ω：Ω={AD，AE，AF，BD，BE，BF，CD，CE，CF}。

根據(jù)隨機(jī)試驗(yàn)的條件，容易得到：P（AD）=P（BE）=P（CF）=

P（BD）=P（CD）=0;

P（AE）=P（A）P（E|A）=1/3×1/2=1/6;

P（AF）=P（A）P（F|A）=1/3×1/2=

1/6;

P（BF）=P（B）P（F|B）=1/3×1=1/3;

P（CE）=P（C）P（E|C）=1/3×1=1/3。

最后，我們令G表示你沒(méi)有改變選擇而選中了汽車;令H表示你改變選擇而選中汽車。

顯然，G表示你選擇編號(hào)為1的這扇門，H表示你選擇編號(hào)為2或3的這扇門。即我們有A=G，H=B+C。所以，我們有P（G）=P（A）=1/3，P（H）=P（B+C）=P（B）+P（C）=2/3。

通過(guò)上面這個(gè)例子，我們看出來(lái)在解決比較復(fù)雜的概率問(wèn)題時(shí)，準(zhǔn)確給出我們所需要的隨機(jī)試驗(yàn)和正確理解條件概率的概念是非常重要的。endprint