各種粒子方程及其可能的發(fā)展和意義

張 一 方

(云南大學(xué) 物理系，云南 昆明 650091)

0 引 言

各種方程的研究在粒子物理中始終是一個(gè)重要問題.Jain 等討論了背景場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)方程、頂點(diǎn)算符Virasoro 條件下顯現(xiàn)的對(duì)頂點(diǎn)函數(shù)的波方程和彎曲空間中的弦動(dòng)力學(xué)［1］.Hayward 得到從弦理論的低能考慮呈現(xiàn)出的二維模型，及超光速快子(tachyon)等的方程和相應(yīng)的特解［2］.Niz 等討論了宇宙演化中的弦和M理論及其方程［3］.筆者基于微觀的波動(dòng)－粒子的二象對(duì)稱性，把各種波動(dòng)的物理量代入經(jīng)典力學(xué)方程，得到力學(xué)波動(dòng)論;進(jìn)而提出量子理論中的一些新算符和非線性方程［4］.在探討微觀相對(duì)論的基礎(chǔ)上，又提出極小時(shí)空的光速應(yīng)存在統(tǒng)計(jì)起伏，而且在高維柱形卷曲空間中光速是可變的和量子化的.由此討論修改、發(fā)展相對(duì)論和量子論的可能的某些方法，并提出存在勢(shì)和相互作用時(shí)幾種新的量子力學(xué)方程［5］.最近筆者探討了粒子物理中的各種統(tǒng)一.它們包括相互作用統(tǒng)一和規(guī)范場(chǎng)，場(chǎng)、粒子及其方程的統(tǒng)一，低高能時(shí)的統(tǒng)一，統(tǒng)一和非線性理論的關(guān)系等.并提出它們也許可以統(tǒng)一到統(tǒng)計(jì)性［6］.基于粒子的動(dòng)力學(xué)模型及其拉氏量和方程，進(jìn)行了某些更深入的研究和應(yīng)用.它可以聯(lián)系于袋模型;方程的解聯(lián)系于各種勢(shì);其簡(jiǎn)化的振動(dòng)－轉(zhuǎn)動(dòng)模型和諧振子模型等導(dǎo)致各種質(zhì)量公式.由此可以討論強(qiáng)子的某些質(zhì)量公式，并提出動(dòng)力學(xué)模型可能的發(fā)展方向［7］.

已知的Schrodinger 方程、Dirac 方程和Klein－Gordon(KG)方程等在粒子物理中都是非常重要和非?；镜?它們可以由拉氏密度得到［8］.在此討論由這些方程彼此結(jié)合得到的某些新方程.量子力學(xué)的基礎(chǔ)是波粒二象性［9］，對(duì)其簡(jiǎn)化的各種振動(dòng)提出相應(yīng)的方程.由對(duì)稱性破缺時(shí)的方程及其推廣，討論各種解.進(jìn)而探討粒子方程及其解，以及和混沌的關(guān)系.

1 已知的粒子方程及彼此結(jié)合得到的方程

粒子物理中各種已知的方程都可以由拉氏密度得到.拉氏密度是［10］:

由此得到有勢(shì)的標(biāo)量場(chǎng)KG 方程:

對(duì)QCD，非Abel 場(chǎng)的拉氏密度是［10］:

由此可以得到有相互作用的旋量場(chǎng)Dirac 方程和矢量場(chǎng)Proca 方程.對(duì)一維拓?fù)涔伦臃匠谭e分得U=(β/4)［φ2－(m2/β)］2，U=0，φ=是Higgs 理論.G.’tHooft SO(3)規(guī)范不變的拉氏密度是［10］:

目前的Dirac 方程，KG 方程等都是自由粒子且質(zhì)量不變的一階、二階方程.它們應(yīng)是基態(tài)粒子(e，p 及π介子)的方程.兩種方程結(jié)合就是新的方程:

相應(yīng)的Schrodinger 方程是:

推廣為四維就是

這可以結(jié)合動(dòng)力學(xué)破缺，得到［9］

或者結(jié)合Higgs 破缺，得到［9］

由此又聯(lián)系于動(dòng)力學(xué)模型，導(dǎo)致GMO 質(zhì)量公式及其修改的完全符合實(shí)驗(yàn)的更精確的質(zhì)量公式［9，11，12］:

最近筆者由一般的具有振動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)兩種運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的突現(xiàn)弦(emergence string)方程就可以得到粒子的GMO質(zhì)量公式及(6)，并導(dǎo)致對(duì)稱的強(qiáng)子壽命公式［12］.由QCD 破缺的動(dòng)力學(xué)模型可以得到質(zhì)量公式，由Weinberg－Salam 理論或其破缺應(yīng)該得到輕子質(zhì)量公式.

2 由振動(dòng)得到的粒子方程

由量子力學(xué)基礎(chǔ)的波粒二象性［9］，最簡(jiǎn)單時(shí)就聯(lián)系于振動(dòng).強(qiáng)迫非簡(jiǎn)諧振子是

這個(gè)方程有混沌解.無強(qiáng)迫項(xiàng)b=0 時(shí)，如果k=0 就是化為常微分的Higgs 方程.如果x″=0 就是化為常微分的Heisenberg 統(tǒng)一方程［13］.x″≠0 和k≠0 則類似化為常微分的非線性Dirac 方程的平方:

的第一項(xiàng).

有一般場(chǎng)(g=e 時(shí)是電磁場(chǎng))時(shí)，廣義動(dòng)量為

相應(yīng)方程為:

這是KG 場(chǎng)與一般場(chǎng)相互作用的方程.Pauli 由此導(dǎo)出自旋磁矩.

方程(5)(6)(7)(18)類似阻尼波方程.與(18)比較則

此時(shí)解為

這是減幅波動(dòng).這也許可以聯(lián)系于質(zhì)量可變，特別當(dāng)方程(5)(7)中β 修改為隨時(shí)間變化的量時(shí).進(jìn)而還可以結(jié)合非線性方程.當(dāng)阻尼很大時(shí)，振動(dòng)非周期，就無法顯示波動(dòng)性.受迫振動(dòng)、阻尼振動(dòng)在一段時(shí)間后達(dá)到穩(wěn)定就是諧振動(dòng)，質(zhì)量不變相應(yīng)于衰變后化為基態(tài)粒子.

3 對(duì)稱性破缺的方程及其推廣和各種解

由Higgs 破缺，Aμ=0，由標(biāo)量場(chǎng)方程(11)得扭子解

在動(dòng)力學(xué)模型、振動(dòng)－轉(zhuǎn)動(dòng)模型(ORM)［9，7］中描述衰變、碰撞.對(duì)這些方程，能級(jí)就是質(zhì)量公式［9，12］.假定解對(duì)應(yīng)S 矩陣，二者分別相應(yīng)于方程和Feynman 規(guī)則，二者結(jié)合，解的平方就相應(yīng)于躍遷幾率.躍遷不同，系數(shù)不同就分別是衰變寬度和碰撞截面.

方程及解中引入躍遷可以結(jié)合統(tǒng)計(jì)方程的意義，其中有幾率躍遷和衰變的動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)，或二者再結(jié)合.對(duì)后者，衰變是自由粒子方程［9］，碰撞是相互作用方程，末態(tài)由x=∑mf/∑Mi決定，又x=cosθ=pz/p，即球體是初態(tài)球，z 方向是末態(tài).p－pz=純動(dòng)量就是x－y 平面，這與Dalitz 圖有關(guān).

簡(jiǎn)單的φ－ψ 耦合場(chǎng)方程為:

它們化為常微分方程組是

二者結(jié)合得高階方程:

如果作為偏微分方程組化為高階方程則是:

這是一類新的三階非線性常微分及偏微分方程.與筆者的統(tǒng)計(jì)方程形式［14］有類似處.M=0 是中微子等，方程化為

m=0 是Goldstone 粒子，方程化為

其解是φ=Ce2ax+(M/a)和φ=ax+b.

對(duì)動(dòng)力學(xué)破缺，

作為玻色子場(chǎng)，規(guī)范場(chǎng)、矢量場(chǎng)是改變其他場(chǎng)的pμ;而標(biāo)量場(chǎng)是改變其他場(chǎng)的質(zhì)量，其相互作用都可化為等價(jià)于附加質(zhì)量.如φ－ψ 相互作用

φ－Aμ相互作用

這類似Higgs 標(biāo)量場(chǎng)導(dǎo)致其他矢量介子、輕子獲得質(zhì)量.此外，各種場(chǎng)的自相互作用都可化為附加質(zhì)量.SU(2)、SU(3)的規(guī)范理論、方程也如此.作為費(fèi)米子旋量場(chǎng)總是成對(duì)出現(xiàn)珔ψψ，并導(dǎo)致其他場(chǎng)(φ，Aμ)的流J.

這類似重整化.自由粒子的裸m0與相互作用粒子的質(zhì)量不相同.而m0不論各量如何改變都不變，這也是一種群.類似Lorentz 群中的ds2不變及重整化群.

4 各種其他的粒子方程

Weyl 的中微子方程是二分量方程［8］

它可以描述宇稱不守恒.這推廣到m≠0 的方程，根據(jù)空時(shí)對(duì)稱性，應(yīng)可以類似構(gòu)成時(shí)間反演不成立的方程，否則時(shí)空此時(shí)不對(duì)稱.m=0 及m≠0 的方程，可能也是二分量方程，僅矩陣σ 不同.由此再反之推廣到狹義、廣義相對(duì)論等.最后方程統(tǒng)一為Weyl 方程，表明此時(shí)宇稱P 不守恒，或?qū)ΨQ的時(shí)間反演(宙稱)不成立.進(jìn)一步，把GL(m，C)，SU(N)，SO(N)等各種群都推廣到時(shí)間反演不成立的群、半群等.時(shí)間反演不成立的結(jié)果可以有若干種，但最后所取的形式應(yīng)結(jié)合宙稱不成立的粒子是有演化方向(如衰變)的粒子，特別是K0L.

Langevin 方程

與Boltzmann 微積分方程

其最后一項(xiàng)是非線性項(xiàng)，形式相似.而Boltzmann 方程描述了趨向平衡的過程.達(dá)到平衡時(shí).如果結(jié)合量子力學(xué)Heisenberg－Liouville 方程

則平衡時(shí)方程化為

對(duì)應(yīng)量子力學(xué)和Maxwell－Boltzmann(MB)分布、Γ 分布.非平衡時(shí)，非線性的Dirac 方程，解為

對(duì)應(yīng)Fermi－Dirac 統(tǒng)計(jì)［9］.方程對(duì)應(yīng)有非線性項(xiàng)的Langevin 方程和Heisenberg－Liouville 方程的推廣.非線性KG 方程對(duì)應(yīng)于Bose－Einstein(BE)統(tǒng)計(jì).量子統(tǒng)計(jì)也是平衡態(tài).解f=A/(eαt+n)，則方程為

n≠0 對(duì)應(yīng)量子統(tǒng)計(jì)(n=±1)，非線性項(xiàng).此時(shí)非線性方程與非線性的量子力學(xué)方程相關(guān)，僅僅f=|ψ|2=分布.如果df/dt=［f，H］+Q=－α'f，則α'=α(1－nf/A).

由有相互作用項(xiàng)j 的場(chǎng)方程

可得費(fèi)米子iγμpμ+μ=j/ψ，玻色子=－m2+J/φ(Jμ/Aμ)，所以費(fèi)米子重整化質(zhì)量平方為μ2+(j/ψ)2－2μj/ψ，玻色子m2－J/φ 與相互作用有關(guān).如φ－ψ 場(chǎng)［8］，

非線性方程對(duì)應(yīng)于相互作用和有勢(shì)場(chǎng).而QCD，動(dòng)力學(xué)模型就聯(lián)系于很多非線性方程.如:1)Higgs 破缺標(biāo)量場(chǎng)，并發(fā)展為KdV 推廣方程;還直接導(dǎo)致立方KG、Dirac 方程等.2)QCD，無破缺時(shí)導(dǎo)致立方Schrodinger方程.3)Hirota 方程是立方Schrodinger 和KdV 方程的結(jié)合.4)Boussinesq 方程類似Sine－Gorden 方程，有相互作用.而例子1).3).4).又都對(duì)應(yīng)導(dǎo)數(shù)耦合.

QCD，ψ－Aμ方程包括立方Schrodinger 方程，其可化為

對(duì)應(yīng)KdV 推廣方程及Higgs 方程［16］.

5 粒子方程的解和混沌

由線性及非線性Dirac 方程等可以得到離散解.目前量子力學(xué)中是能級(jí)離散.對(duì)Yang－Mills 規(guī)范場(chǎng)、廣義相對(duì)論方程、GL(6，C)及各種統(tǒng)一方程都應(yīng)該如此.

非線性方程的隨機(jī)解，不斷分岔可以用于高能多重產(chǎn)生、級(jí)聯(lián)簇射、統(tǒng)計(jì)性等粒子物理領(lǐng)域［23，9］.方程解普適，對(duì)應(yīng)于多重產(chǎn)生等的普適、簡(jiǎn)并，即對(duì)各種粒子都成立，并且高能時(shí)統(tǒng)計(jì)性統(tǒng)一［11］.這可能還與重整化、發(fā)散的普適性有關(guān).此時(shí)參數(shù)λ 相當(dāng)于閾值.一定的λ 才有不動(dòng)點(diǎn)x*(對(duì)應(yīng)粒子)及其穩(wěn)定性，p 點(diǎn)周期等.λ→λ∞對(duì)應(yīng)于高能.λ＜λ∞有2n個(gè)穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)，Henon 變換的奇異吸引中心，可能對(duì)應(yīng)于衰變和級(jí)聯(lián)簇射.非線性方程組對(duì)應(yīng)Dirac 耦合方程.Dirac 方程用孤子方法化為常微分方程是

由此就可以聯(lián)系于混沌方程.以質(zhì)量m 為參數(shù)λ，m→α－1=λ0=0.3995 可能對(duì)應(yīng)u，d 夸克－部分子的質(zhì)量1.7－3.3 MeV 和4.1－5.8 MeV［24］.由此討論非線性Higgs 方程等的疊加及混沌解.或者以Higgs 場(chǎng)或其m 為參數(shù)λ.這時(shí)可能已經(jīng)不是非線性映象了.

軔致輻射、電磁簇射(與物質(zhì)相互作用，e－→e－γ，γ→e+e－)都是二分叉.光子能量εγ＜2mec2時(shí)簇射停止，這相當(dāng)于參數(shù)λ.但是一般量子方程中無這參數(shù).宇宙線超高能粒子與原子核碰撞的廣延大氣簇射，粒子數(shù)可達(dá)1012個(gè).電磁簇射都是電磁相互作用及其旋量場(chǎng)、矢量場(chǎng)的方程組.n→∞對(duì)應(yīng)于高能極限，泛函方程類似標(biāo)度律.vW2趨于常數(shù)約為1/3，近似于λ0.

聯(lián)系于重整化群方程的Callan 等的標(biāo)度性，類似Feigenbaum 泛函方程

KNO 標(biāo)度，Dao 標(biāo)度都是高能時(shí)的結(jié)果.相應(yīng)的Pearson 方程是線性的，符合泛函方程.

粒子與混沌的關(guān)系可能是，穩(wěn)定性條件1＜λ＜3，與三個(gè)夸克，分?jǐn)?shù)夸克電荷(1/3，2/3)，粒子三代等有關(guān).一個(gè)粒子可以三分岔為夸克，或四分岔為(u，d，s，c)等等.而能量特大時(shí)，多分岔為砂子(sandon)［9］.這就是非線性方程統(tǒng)計(jì)性混沌解與粒子的多層次－狀態(tài)模型(MSSM)的關(guān)系［9］.如果

是三分岔，則是非線性方程，Heisenberg 統(tǒng)一方程［13］，其與SU(3)對(duì)稱性方程一致，導(dǎo)致高能(閾λ→λ∞)或小距離(λ=1/r→1/r0)時(shí)是三夸克、砂子及統(tǒng)計(jì)性.分岔可以是衰變，級(jí)聯(lián)衰變.如1→2→3 是二體衰變(粒子或夸克對(duì))再化為三夸克等;或者1→3→2 是三夸克又衰變?yōu)槎w等等.混沌理論的普適性此時(shí)和粒子種類無關(guān)，即與方程無關(guān).這與重整化，標(biāo)度性等對(duì)應(yīng)，特別是標(biāo)度因子.它也說明超高能時(shí)統(tǒng)計(jì)混沌的很多性質(zhì)都是獨(dú)立的，這正好對(duì)應(yīng)于統(tǒng)計(jì)性.0＜λ＜1 時(shí)=0 是穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)真空基態(tài);=1－(1/λ)是不穩(wěn)定的不動(dòng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)不穩(wěn)定粒子，如μ，π 等;1＜λ＜3 時(shí)是不穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)真空自發(fā)破缺是穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)，對(duì)應(yīng)p，n 等;而λ ≧1 時(shí)真空開始自發(fā)破缺.

非線性方程由混沌達(dá)到定態(tài).在變化的時(shí)間內(nèi)很復(fù)雜，由統(tǒng)計(jì)性決定.這相應(yīng)于粒子和奇點(diǎn)的關(guān)系:穩(wěn)定奇點(diǎn)(或焦點(diǎn))對(duì)應(yīng)穩(wěn)定粒子(如v.e，p).不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)對(duì)應(yīng)亞穩(wěn)定粒子.

按照一般的非線性理論，各種非線性量子理論中都應(yīng)該有孤子和混沌.QCD、超對(duì)稱性等都是非線性的，其中應(yīng)該有混沌.高能時(shí)一方面是統(tǒng)一［11］，另一方面是混沌，而混沌也是一種統(tǒng)一［9］.筆者提出某些非線性方程具有孤子和混沌雙解，二者成立的條件不同，某些參數(shù)是某個(gè)常數(shù)時(shí)得到孤子，而這些參數(shù)在一定區(qū)域變化時(shí)出現(xiàn)分岔－混沌.這種雙解可能對(duì)應(yīng)于量子理論中的波－粒二象性，并探討了其在數(shù)學(xué)、物理、粒子理論及神經(jīng)系統(tǒng)中可能存在的新的意義［25，26］.

量子混沌必須非線性量子理論［9，27，28］.這可能應(yīng)該推廣混沌概念本身.量子混沌主要是n＞58，59 的高激發(fā)態(tài).此時(shí)的混沌應(yīng)聯(lián)系于Pauli 不相容的可能破缺［29］.混沌就是軌道隨機(jī)不分明，出現(xiàn)混沌也就開始相容.但軌道電子原來已是統(tǒng)計(jì)性的電子云，這與混沌應(yīng)該存在關(guān)系.更一般，研究量子論中的與混沌不相容的各個(gè)方面.這樣如果發(fā)現(xiàn)混沌則它們就不成立.如果高激發(fā)態(tài)原子混沌則相容［9，30］，這樣粒子內(nèi)部混沌也應(yīng)相容.結(jié)合超對(duì)稱性，還可以引入超混沌(hyperchaos).

總之，基于已知理論和方法，探討新的方程及其解，并用于粒子物理，必然是有意義的.

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