遞推數(shù)列的“魂”

陳定昌

數(shù)列問題一直是高考的重點(diǎn)，近些年來遞推數(shù)列成為高考命題的熱點(diǎn)，掌握遞推數(shù)列問題的求解方法是復(fù)習(xí)備考的一個(gè)重要任務(wù).

“遞推公式千姿百態(tài)，數(shù)列問題‘稀奇古怪”， 遞推數(shù)列的原創(chuàng)題會(huì)隨著遞推公式的變化層出不窮，同學(xué)們在高考復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)做好這樣的心理準(zhǔn)備.然而，不論問題情境如何變化，遞推數(shù)列的“魂”是始終不變的——那就是以遞推公式為中心，對其進(jìn)行適時(shí)變通運(yùn)用！

例1 已知數(shù)列{an}中，a1=1，an=2an-1+1（n∈N*）.求證：a1+a2+…+an<2n+1-n.

解析： 例1給出的遞推公式中，an表示為關(guān)于an-1的一個(gè)函數(shù)式，因此an=2an-1+1，an-1=2an-2+1，…，a2=2a1+1，采用逐式代入的方法可得：an=2（2an-2+1）+1=22（2an-3+1）+（2+1）=…=2n-1a1+（2n-2+…+22+2+1）=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1.

于是，a1+a2+…+an=（2-1）+（22-1）+…+（2n-1）=（2+22+…+2n）-n=2n+1-2-n<2n+1-n.

點(diǎn)評： 逐式代入是一種常用方法，應(yīng)熟練掌握，例1就是使用了逐式代入的方法順利證得.那么，是不是遞推數(shù)列問題都可以用逐式代入的方法去解決呢？

例2 已知在數(shù)列{xn}中，xn≠0且xn+1=xn-（n∈N*）.問：是否存在不同的正整數(shù)m，n，使xm=xn成立？若存在，求出所有正整數(shù)對{m，n};若不存在，請說明理由.

解析： 若對例2中的遞推公式使用逐式代入法，則有：xn=xn-1-=（xn-2-）-（xn-2-）2=（xn-3-）-（xn-3-）2-[（xn-3-）-（xn-3-）2]2=…，xn的表達(dá)式不僅越來越復(fù)雜，而且還顯得雜亂無章. 那么該怎么辦呢？我們還得從原遞推公式中去想想辦法.

由xn≠0，得xn+1-xn=-<0？圯xn+1

點(diǎn)評： 從例2我們可以看出，雖然逐式代入應(yīng)用廣泛，但有些題目用此方法并不合適，這就需要我們認(rèn)真審題，充分利用題目中的已知條件，靈活變通，尋求新思路.

例3 已知數(shù)列{an}的相鄰兩項(xiàng)a2k-1，a2k是關(guān)于x的方程x2-（3k+2k）x+3k·2k=0的兩個(gè)根，且a2k-1≤a2k（k=1，2，3，…）.

（1） 求a1，a3，a5，a7;

（2） 求數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)和S2n.

解析： 由題意可知，a2k-1+a2k=3k+2k，a2k-1·a2k=3k·2k（k=1，2，3，…），分別取k=1，2，3，4，再根據(jù)a2k-1≤a2k（k=1，2，3，…）便可確定a1，a3，a5，a7;而S2n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n-1+a2n），故可將n個(gè)方程累加求得S2n.

（1） 當(dāng)k=1時(shí)，a1+a2=3+2=5，a1·a2=3×2=6，因?yàn)閍1≤a2，所以a1=2.同理，當(dāng)k=2時(shí)，a3=4;當(dāng)k=3時(shí)，a5=8;當(dāng)k=4時(shí)，a7=12.

（2） S2n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n-1+a2n）=（3·1+21）+（3·2+22）+…+（3n+2n）=3（1+2+…+n）+（2+22+…+2n）=3·+=+2n+1-2.

點(diǎn)評： 累加、累乘為遞推法應(yīng)用中的另一種常用方法，例2中的（2）就是使用累加的方法得到了數(shù)列前2n項(xiàng)的和.但是任何方法都不是萬能的！

例4 已知正項(xiàng)數(shù)列{xn}中，x1=1，且+xn=3+2xn+1（n∈N*），求證：xn≤n-1（n∈N*）.

解析： 由遞推公式得：+xn=3+2xn+1，+xn-1=3+2xn，…，+x1=3+2x2，顯然，不管是使用累加、累乘或是逐式代入都很難求得結(jié)果. 所以，又得對遞推公式進(jìn)行變通運(yùn)用，尋求新的解題思路.

當(dāng)n=1時(shí)，x1=1，xn≤n-1成立;

當(dāng)n>1時(shí)，+xn=3+2xn+1=（xn+1）2+（xn+1）+（2-）xn+1>（xn+1）2+（xn+1）.因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x2+x在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，而f（xn）>f（xn+1），故xn>xn+1.由xn>0，xn+1>0得xn+1<·xn？圯xn<·xn-1<2·xn-2<…

綜上所述，xn≤n-1（n∈N*）.

點(diǎn)評： 遞推法應(yīng)用中，一定不能只局限于考慮使用某一特定的方法解題，很多時(shí)候我們需要根據(jù)實(shí)際問題，對遞推公式進(jìn)行適當(dāng)變通，在熟練掌握常用的解題方法的前提下，根據(jù)具體問題尋求新的規(guī)律解題.

數(shù)列問題一直是高考的重點(diǎn)，近些年來遞推數(shù)列成為高考命題的熱點(diǎn)，掌握遞推數(shù)列問題的求解方法是復(fù)習(xí)備考的一個(gè)重要任務(wù).

“遞推公式千姿百態(tài)，數(shù)列問題‘稀奇古怪”， 遞推數(shù)列的原創(chuàng)題會(huì)隨著遞推公式的變化層出不窮，同學(xué)們在高考復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)做好這樣的心理準(zhǔn)備.然而，不論問題情境如何變化，遞推數(shù)列的“魂”是始終不變的——那就是以遞推公式為中心，對其進(jìn)行適時(shí)變通運(yùn)用！

例1 已知數(shù)列{an}中，a1=1，an=2an-1+1（n∈N*）.求證：a1+a2+…+an<2n+1-n.

解析： 例1給出的遞推公式中，an表示為關(guān)于an-1的一個(gè)函數(shù)式，因此an=2an-1+1，an-1=2an-2+1，…，a2=2a1+1，采用逐式代入的方法可得：an=2（2an-2+1）+1=22（2an-3+1）+（2+1）=…=2n-1a1+（2n-2+…+22+2+1）=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1.

于是，a1+a2+…+an=（2-1）+（22-1）+…+（2n-1）=（2+22+…+2n）-n=2n+1-2-n<2n+1-n.

點(diǎn)評： 逐式代入是一種常用方法，應(yīng)熟練掌握，例1就是使用了逐式代入的方法順利證得.那么，是不是遞推數(shù)列問題都可以用逐式代入的方法去解決呢？

例2 已知在數(shù)列{xn}中，xn≠0且xn+1=xn-（n∈N*）.問：是否存在不同的正整數(shù)m，n，使xm=xn成立？若存在，求出所有正整數(shù)對{m，n};若不存在，請說明理由.

解析： 若對例2中的遞推公式使用逐式代入法，則有：xn=xn-1-=（xn-2-）-（xn-2-）2=（xn-3-）-（xn-3-）2-[（xn-3-）-（xn-3-）2]2=…，xn的表達(dá)式不僅越來越復(fù)雜，而且還顯得雜亂無章. 那么該怎么辦呢？我們還得從原遞推公式中去想想辦法.

由xn≠0，得xn+1-xn=-<0？圯xn+1

點(diǎn)評： 從例2我們可以看出，雖然逐式代入應(yīng)用廣泛，但有些題目用此方法并不合適，這就需要我們認(rèn)真審題，充分利用題目中的已知條件，靈活變通，尋求新思路.

例3 已知數(shù)列{an}的相鄰兩項(xiàng)a2k-1，a2k是關(guān)于x的方程x2-（3k+2k）x+3k·2k=0的兩個(gè)根，且a2k-1≤a2k（k=1，2，3，…）.

（1） 求a1，a3，a5，a7;

（2） 求數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)和S2n.

解析： 由題意可知，a2k-1+a2k=3k+2k，a2k-1·a2k=3k·2k（k=1，2，3，…），分別取k=1，2，3，4，再根據(jù)a2k-1≤a2k（k=1，2，3，…）便可確定a1，a3，a5，a7;而S2n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n-1+a2n），故可將n個(gè)方程累加求得S2n.

（1） 當(dāng)k=1時(shí)，a1+a2=3+2=5，a1·a2=3×2=6，因?yàn)閍1≤a2，所以a1=2.同理，當(dāng)k=2時(shí)，a3=4;當(dāng)k=3時(shí)，a5=8;當(dāng)k=4時(shí)，a7=12.

（2） S2n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n-1+a2n）=（3·1+21）+（3·2+22）+…+（3n+2n）=3（1+2+…+n）+（2+22+…+2n）=3·+=+2n+1-2.

點(diǎn)評： 累加、累乘為遞推法應(yīng)用中的另一種常用方法，例2中的（2）就是使用累加的方法得到了數(shù)列前2n項(xiàng)的和.但是任何方法都不是萬能的！

例4 已知正項(xiàng)數(shù)列{xn}中，x1=1，且+xn=3+2xn+1（n∈N*），求證：xn≤n-1（n∈N*）.

解析： 由遞推公式得：+xn=3+2xn+1，+xn-1=3+2xn，…，+x1=3+2x2，顯然，不管是使用累加、累乘或是逐式代入都很難求得結(jié)果. 所以，又得對遞推公式進(jìn)行變通運(yùn)用，尋求新的解題思路.

當(dāng)n=1時(shí)，x1=1，xn≤n-1成立;

當(dāng)n>1時(shí)，+xn=3+2xn+1=（xn+1）2+（xn+1）+（2-）xn+1>（xn+1）2+（xn+1）.因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x2+x在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，而f（xn）>f（xn+1），故xn>xn+1.由xn>0，xn+1>0得xn+1<·xn？圯xn<·xn-1<2·xn-2<…

綜上所述，xn≤n-1（n∈N*）.

點(diǎn)評： 遞推法應(yīng)用中，一定不能只局限于考慮使用某一特定的方法解題，很多時(shí)候我們需要根據(jù)實(shí)際問題，對遞推公式進(jìn)行適當(dāng)變通，在熟練掌握常用的解題方法的前提下，根據(jù)具體問題尋求新的規(guī)律解題.

數(shù)列問題一直是高考的重點(diǎn)，近些年來遞推數(shù)列成為高考命題的熱點(diǎn)，掌握遞推數(shù)列問題的求解方法是復(fù)習(xí)備考的一個(gè)重要任務(wù).

“遞推公式千姿百態(tài)，數(shù)列問題‘稀奇古怪”， 遞推數(shù)列的原創(chuàng)題會(huì)隨著遞推公式的變化層出不窮，同學(xué)們在高考復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)做好這樣的心理準(zhǔn)備.然而，不論問題情境如何變化，遞推數(shù)列的“魂”是始終不變的——那就是以遞推公式為中心，對其進(jìn)行適時(shí)變通運(yùn)用！

例1 已知數(shù)列{an}中，a1=1，an=2an-1+1（n∈N*）.求證：a1+a2+…+an<2n+1-n.

解析： 例1給出的遞推公式中，an表示為關(guān)于an-1的一個(gè)函數(shù)式，因此an=2an-1+1，an-1=2an-2+1，…，a2=2a1+1，采用逐式代入的方法可得：an=2（2an-2+1）+1=22（2an-3+1）+（2+1）=…=2n-1a1+（2n-2+…+22+2+1）=2n-1+2n-2+…+2+1=2n-1.

于是，a1+a2+…+an=（2-1）+（22-1）+…+（2n-1）=（2+22+…+2n）-n=2n+1-2-n<2n+1-n.

點(diǎn)評： 逐式代入是一種常用方法，應(yīng)熟練掌握，例1就是使用了逐式代入的方法順利證得.那么，是不是遞推數(shù)列問題都可以用逐式代入的方法去解決呢？

例2 已知在數(shù)列{xn}中，xn≠0且xn+1=xn-（n∈N*）.問：是否存在不同的正整數(shù)m，n，使xm=xn成立？若存在，求出所有正整數(shù)對{m，n};若不存在，請說明理由.

解析： 若對例2中的遞推公式使用逐式代入法，則有：xn=xn-1-=（xn-2-）-（xn-2-）2=（xn-3-）-（xn-3-）2-[（xn-3-）-（xn-3-）2]2=…，xn的表達(dá)式不僅越來越復(fù)雜，而且還顯得雜亂無章. 那么該怎么辦呢？我們還得從原遞推公式中去想想辦法.

由xn≠0，得xn+1-xn=-<0？圯xn+1

點(diǎn)評： 從例2我們可以看出，雖然逐式代入應(yīng)用廣泛，但有些題目用此方法并不合適，這就需要我們認(rèn)真審題，充分利用題目中的已知條件，靈活變通，尋求新思路.

例3 已知數(shù)列{an}的相鄰兩項(xiàng)a2k-1，a2k是關(guān)于x的方程x2-（3k+2k）x+3k·2k=0的兩個(gè)根，且a2k-1≤a2k（k=1，2，3，…）.

（1） 求a1，a3，a5，a7;

（2） 求數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)和S2n.

解析： 由題意可知，a2k-1+a2k=3k+2k，a2k-1·a2k=3k·2k（k=1，2，3，…），分別取k=1，2，3，4，再根據(jù)a2k-1≤a2k（k=1，2，3，…）便可確定a1，a3，a5，a7;而S2n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n-1+a2n），故可將n個(gè)方程累加求得S2n.

（1） 當(dāng)k=1時(shí)，a1+a2=3+2=5，a1·a2=3×2=6，因?yàn)閍1≤a2，所以a1=2.同理，當(dāng)k=2時(shí)，a3=4;當(dāng)k=3時(shí)，a5=8;當(dāng)k=4時(shí)，a7=12.

（2） S2n=（a1+a2）+（a3+a4）+…+（a2n-1+a2n）=（3·1+21）+（3·2+22）+…+（3n+2n）=3（1+2+…+n）+（2+22+…+2n）=3·+=+2n+1-2.

點(diǎn)評： 累加、累乘為遞推法應(yīng)用中的另一種常用方法，例2中的（2）就是使用累加的方法得到了數(shù)列前2n項(xiàng)的和.但是任何方法都不是萬能的！

例4 已知正項(xiàng)數(shù)列{xn}中，x1=1，且+xn=3+2xn+1（n∈N*），求證：xn≤n-1（n∈N*）.

解析： 由遞推公式得：+xn=3+2xn+1，+xn-1=3+2xn，…，+x1=3+2x2，顯然，不管是使用累加、累乘或是逐式代入都很難求得結(jié)果. 所以，又得對遞推公式進(jìn)行變通運(yùn)用，尋求新的解題思路.

當(dāng)n=1時(shí)，x1=1，xn≤n-1成立;

當(dāng)n>1時(shí)，+xn=3+2xn+1=（xn+1）2+（xn+1）+（2-）xn+1>（xn+1）2+（xn+1）.因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=x2+x在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞增，而f（xn）>f（xn+1），故xn>xn+1.由xn>0，xn+1>0得xn+1<·xn？圯xn<·xn-1<2·xn-2<…

綜上所述，xn≤n-1（n∈N*）.

點(diǎn)評： 遞推法應(yīng)用中，一定不能只局限于考慮使用某一特定的方法解題，很多時(shí)候我們需要根據(jù)實(shí)際問題，對遞推公式進(jìn)行適當(dāng)變通，在熟練掌握常用的解題方法的前提下，根據(jù)具體問題尋求新的規(guī)律解題.